Вычисление отметок точек тахеометрического хода

Если расстояния D в тахеометрическом ходе измеряли нитя­ным дальномером, то по полученным углам наклона v и расстоя­ниям D по формуле (172) вычисляют превышения

где i - высота прибора, l - высота визирной цели, f- поправка за кривизну Земли и рефракцию. Из прямых h_пр. и h_обр. превышений определяют среднее значение, если расхождение между h_пр. и h_обр. не превышает 4 см на каждые 100 м расстояния между точ­ками. Пример вычисления отметок точек тахеометрического хо­да приведен в табл. 29.

Высотная невязка

Таблица 29

Точки хода	D, м	hср., м	nh, м	hиспр, м	Н, м
Дорожный					155,24
	155,8	+3,74	+0,02	+3,76
					159,00
	178,5	-3,05	+0,02	-3,03
					155,97
	201,1	+2,77	+0,02	+2,79
					158,76
	144,7	+4,11	+0,01	+4,12
					162,88
	203,3	-1,94	+0,02	-1,92
					160,96
	147,6	-5,13	+0,02	-5,11
Дубки					155,85
Р=1031,0 м

В разомкнутом ходе

где Н_к, Н_н - высоты конечного и начального опорных пунктов хода. С учетом этого

В замкнутом ходе Н_к = Н_н и

Допустимая величина невязки (в метрах) согласно [13, с. 85]

где - длина тахеометрического хода в м, n - число пре­вышений в ходе.

Поправки

Сумма поправок должна быть равна невязке с обратным знаком. Исправленные превышения используют для определения отме­ток

Н₂ = Н_н + h_1,

Н₃ = Н₂ + h₂,

…………….

Н_к = Н_n + h_n.

В замкнутом ходе Н_к = Н_н. В результате вычислений в ра­зомкнутом ходе должна быть получена отметка Н_к конечной опорной точки, а в замкнутом - отметка Н_н начальной опорной точки.

Лекция №6

План:

1. План погрешностей геодезических измерений.

2. Равноточные измерения.

План погрешностей геодезических измерений.

Теория ошибок измерений

Виды ошибок.

Все используемые в геодезии величины получают из изме­рений или из вычислений функций измеренных величин. Срав­нение какой-либо величины с принятой единицей называют из­мерением, а полученное при этом численное значение - резуль­татом измерения. В процессе измерения участвуют объект изме­рения, измерительный прибор, оператор (наблюдатель) и среда, в которой выполняют измерения. Из-за несовершенства измери­тельных приборов, оператора, изменения среды и измеряемого объекта во времени результаты измерений содержат ошибки. Ошибки подразделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают вследствие неисправности при­бора, небрежности наблюдателя или аномального влияния внешней среды. Контроль работ позволяет выявить и устранить грубые ошибки из результатов измерений.

Систематические ошибки являются результатом действия одного или группы факторов и могут быть выражены функцио­нальной зависимостью между факторами и результатом измере­ния. Необходимо найти эту функциональную зависимость и с ее помощью определить и исключить основную часть систематиче­ской ошибки из результата измерения, чтобы остаточная ошибка была пренебрегаемо малой.

Случайные ошибки неизвестны для конкретного результата измерения, зависят от точности прибора, квалификации операто­ра, неучтенного влияния внешней среды; их закономерность проявляется в массе. Случайные ошибки не могут быть устране­ны из результата конкретного измерения, их влияние можно только ослабить путем повышения количества и качества изме­рений и соответствующей математической обработкой результа­тов измерений. Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1) по абсолютной величине они не превосходят определен­ного предела;

2) положительные и отрицательные их значения равновозможны;

3) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие;

4) среднее арифметическое значение случайных ошибок при неограниченном увеличении числа измерений стремится к нулю (свойство компенсации случайных ошибок), т.е.

Эти свойства случайных ошибок возникают из принятых в тео­рии ошибок постулатов: 1) ошибки D_i. подчиняются нормальному закону распределения; 2) математическое ожидание (р_i - вероятность появления случайной ошибки D_i), что возможно при отсутствии систематических ошибок.

Если на оси абсцисс отло­жить величины случайных оши­бок D, а по оси ординат - их число (j(D) - плотность нор­мального распределения ошиб­ки), то получим кривую ошибок, или кривую Гаусса (рис. 43).

Уравнение кривой имеет вид:

где h=1/sÖ2- мера точности; s - среднее квадратнческое от­клонение. Если формула (21) получена по результатам измерений, то h=1/mÖ2, где m - средняя квадратическая ошибка. Принимая D/m = t, вместо (21) получим

. (22)

Пример. Построить кривую нормального распределения, если D = 0, m, 2m, Зm; m=1,00".

Решение. Подставляя в формулу (22) m = 1,00", получаем

у = 0,3989е^-t/2= 0,3989e^-D/2m.

Приведенным значениям D и m соответствуют:

Построенная по значениям D и у кривая (см.рис. 43) имеет следующие свойства:

лежит выше оси абсцисс, так как не имеет значений y£ 0;

симметрична относительно оси оу;

при D=0 величина у принимает максимальное значение;

имеет точки перегиба при D = ± m;

касательные к кривой в точках перегиба пересекаются с осью абсцисс в точках ±2m.

Критерии оценки точности измерений

Средняя квадратическая ошибка m - величина, опреде­ляемая по формуле Гаусса

(23)

где истинные ошибки D_i = х_i - X(i = 1,2,...,n);x_i -результат изме­рения величины, истинное значение которой равно X.

Средняя ошибка J - среднее арифметическое из абсолют­ных значений случайных ошибок, т.е.

Вероятная, или срединная, ошибка r находится в середине ряда, в котором все ошибки располагают по убыванию или воз­растанию их абсолютных значений.

Средняя квадратическая ошибка более предпочтительна, чем средняя и вероятная, так как на ее величину большое влияние оказывают большие по абсолютной величине ошибки и она бо­лее устойчива, т.е. довольно надежно определяется при неболь­шом n числе ошибок. Среднюю квадратическую ошибку самой средней квадратической ошибки определяют по формуле

. (25)

Предельное значение ошибки

. (26)

При ограниченном числе измерений на практике считают

(27)

Средняя квадратическая ошибка т связана со средней ошиб­кой J и вероятной ошибкой r приближенными формулами

. (28)

Все приведенные выше ошибки называют абсолютными. Кроме абсолютных имеются относительные ошибки f кото­рыми называют отношение абсолютной ошибки к среднему зна­чению измеряемой величины. Относительные ошибки выражают дробью, числитель которой равен единице, а знаменатель - от­ношению среднего значения измеряемой величины к абсолют­ной ошибке. В зависимости от используемой абсолютной ошиб­ки относительные ошибки называют: средней квадратической относительной, средней относительной, вероятной относитель­ной, предельной относительной.

Например, длина линии s = 285,00 м измерена со средней квадратической ошибкой m_s=0.15 м. Средняя квадратическая

Относительная ошибка . Знаменатель относительной ошибки целесообразно округлять с со­хранением двух первых значащих цифр.

Если ряд равноточных измерений одной и той же величины имеет случайные д. и систематические 8, ошибки, то суммар­ные ошибки будут равны

Возведя левые и правые части этого равенства в квадрат, по­сле суммирования и деления на 2 получим

При большом числе n измерений последнее слагаемое на ос­новании четвертого свойства случайных ошибок будет близким к нулю. С учетом этого

,

где m_D - средняя квадратическая случайная ошибка; m_d - сред­няя квадратическая систематическая ошибка.

Если m_d £ (1/3)m_D, то

Следовательно, систематическую ошибку, не превышаю­щую (1/3) m_D, можно не учитывать. При этом значение ту будет получено с искажением не более 5%. Если m_d£(l/5)m_D, то искажение m_s вследствие сокращения на величину m_d уменьшится до 2%.

Равноточные измерения

Неравноточные измерения.

Измерения, имеющие различные средние квадратические ошибки, называют неравноточными. При совместной обработке результатов неравноточных измерений их неодинаковую точ­ность учитывают с помощью весов. Весом р называют величину,

обратно пропорциональную квадрату средней квадратической ошибки

, (69)

где m=c=const - произвольная величина, постоянная для всех

измерений. Следовательно, чем точнее результат, тем меньше соответствующая ему средняя квадратическая ошибка и тем больше его вес. Веса являются относительными величинами, поэтому их можно одновременно уменьшать или увеличивать в различное число раз.

При р=1 по формуле (69) получим m=m, т.е. m - средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (средняя квадратическая ошибка единицы веса).

В практике геодезических работ в качестве веса принимают:

1) при обработке результатов угловых измерений одним и тем же прибором - величины, пропорциональные количеству измерений каждого угла; для суммы углов в ходе, имеющем n_i

вершин, р_i =1/n_i

2) при обработке линейных измерений одним и тем же мер­ным прибором p_i=1/s_i, где s_i,- длина линии;

3) при определении превышений из геометрического ниве­лирования - величины, обратно пропорциональные длине ходов или числу станций;

4) при тригонометрическом нивелировании p_i=1/s_i², где s_i,- расстояние между пунктами.

Веса функций измеренных величин.

Для определения обратного веса функции

учитывая формулы (47) и (69), для коррелированных аргументов после деления обеих частей выражения на m² получаем

(70)

Для некоррелированных аргументов (r_x= о) находим

Пример. Определить вес функции u = 3х₁, + 2х₂, если r_x=+0.5; Px₁=Px₂=1

Решение. По формуле (70) имеем

p =1/19 =0,053

Обработка результатов равноточных измерений одной величины.

Положим, что некоторая величина, истинное значение кото­рой равно X, измерена n раз; в результате измерений получены значенияx₁, x₂,…, x_n, свободные от систематических ошибок.

Случайные ошибки результатов измерений

Суммируя левые и правые части этих выражений, находим

откуда

Последнее слагаемое при большом числе n на основании четвертого свойства случайных ошибок стремится к нулю, по­этому

где х' - приближенное значение измеряемой величины; e_i - укло­нение x_i от x', т.е. e_i=x_i-x¢,i=1,2,...,n;n - число измерений.

Формула (56) показывает, что вероятнейшим, т.е. наиболее на­дежным, значением является среднее арифметическое х (ариф­метическая середина) из результатов равноточных измерений.

Для определения средней квадратической ошибки арифме­тической середины воспользуемся формулой (48). Для большей наглядности перепишем формулу (56) в виде выражения

Очевидно,

Для равноточных измерений m_x1=m_x2=...=m_xn=m_x. поэтому

(57)

Следовательно, точность среднего арифметического возрас­тает с увеличением числа измерений n , но при n=15-20 преобла­дающее влияние на величину М будут оказывать остаточные систематические ошибки, поэтому практически выполнять более 15-20 измерений нецелесообразно. Для существенного повыше­ния точности результатов измерений необходимо использовать более точные приборы, более совершенную методику измерений и т.п.

Для определения входящей в формулу (57) средней квадра­тической ошибки m_x одного измерения в формуле Гаусса(47) выразим [Δ²] через [n²], где n_i = х_i -x - отклонения изме­ренной величины от арифметической средины х. Подставляя в

D_i = x_i -Х вместо х, его значение х_i = x +n_i, находим

D_i = x – X - n_i

Возведя в квадрат левые и правые части, после суммирова­ния имеем

. (58)

Суммируя левые и правые части выражений

получаем

[v]-=[x]-nx

Подставляя вместо X его значение из (56), имеем

, и

т.е. сумма отклонений v равна нулю при любом числе измере­ний (первое свойство ошибок v). Если при определении средне­го арифметического х имеется ошибка округления

После деления левой и правой части равенства (58) на n по­лучаем

При большом числе n значение истинной ошибки арифме­тической средины можно принять равным значению М, опреде­ляемому по формуле (57), учитывая формулу Гаусса,

откуда находим формулу Бесселя

. (59)

Для контроля вычисления [v²] используют формулу

где v_i = x_i - x; x приближенное значение измеряемой вели­чины х.

Средние квадратические ошибки величин т и М определяют по формулам

. (60)