Определение модуля сдвига по кручению

Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с введением по теме: "Деформация твердого тела"

Постановка экспериментальной задачи. Модуль сдвига можно определить, исследуя деформацию закручивания однородного круглого стержня. Если к круглому стержню радиуса r и длиной L приложить вращающий момент М, то угол закручивания φ определится соотношением

,

(6.1)

где G - модуль сдвига материала, из которого сделан стержень.

Описание экспериментальной установки. В данной работе для определения модуля сдвига используется установка, схематически изображенная на рис. 6.1

Рис. 6.1	Рис 6.2

Верхний конец вертикального стержня С жестко закреплен на стойке, а нижний соединен с диском Д. Момент M, закручивающий стержень, создают две скрепленные с ободом диска нити, перекинутые через блоки Б. К концам нитей подвешиваются одинаковые грузы P₁ и P₂ Конец стержня снабжен зеркальцем 3. Для определения угла закручивания надо луч осветителя направить на зеркальце и отраженный от него зайчик установить на нулевое деление шкалы, расположенной на расстоянии D от зеркальца. Из рис. 6.2 видно, что при повороте зеркальца на угол φ нормаль ON к новому положению зеркальца составит с прежним ее положением OC угол NOC = φ. Отраженный от зеркальца луч повернется на угол, равный 2φ. Как следует из рис. 6.2, , где D – расстояние от зеркала до шкалы, а d -смещение зайчика по шкале. Отсюда угол поворота стержня в радианах определяется из формулы

(6.2)

При вычислении угла φ по этой формуле членами разложения в ряд со степенями больше 2 можно пренебречь, ввиду их малости, тогда

.

(6.3)

Момент силы, действующий на стержень, равен M =PR, где P – суммарный вес грузов P₁ и P₂ , R – радиус диска Д (плечо вращающей силы). Тогда формула (13) примет вид

.

(6.4)

В линейной зависимости φ = f(P) тангенс угла наклона tgθ прямой к оси абсцисс будет равен

.

(6.5)

Отсюда модуль сдвига материала стержня будет определяться через tgθ

.

(6.6)

Порядок выполнения работы

Устанавливают осветитель так, чтобы отраженный от зеркальца луч фокусировался на нулевом делении шкалы, шкала должна быть перпендикулярна лучу. На грузодержатели, левый и правый, кладут по одному грузу и определяют отклонение зайчика по шкале d₁. Затем увеличивают нагрузку; кладут последовательно по 2, 3 и т.д. до 8 грузов на каждый грузодержатель, каждый раз определяя отклонение d_n.

Но формуле (6.3) вычисляют значения углов поворота φ стержня для каждой суммарной нагрузки и строят график зависимости φ (угла поворота стержня в радианах) от Р (значения нагрузки в tgθ ньютонах).

Эту линейную зависимость обрабатывают по методу наименьших квадратов, определяют тангенс угла наклона прямой tgθ и его доверительные границы Δtgθ. Затем по формуле (6.6) определяют величину модуля сдвига G материала стержня.

Формулы для расчета погрешности результата экспериментаПогрешность определяют по следующей формуле:

.

(6.7)

Параметры установки:

Стальной стержень	Латунный стержень
L = (128,7 ± 0,1) см R = (50,0 ± 0,1) мм 2r = (6,00 ± 0,01) мм	L = (128,8 ± 0,1) см R = (49,5 ± 0,1) мм 2r = (4,95 ± 0,01) мм

Содержание отчета.

1. Общий вес грузов на грузодержателях выраженный в ньютонах (Н), отсчет по шкале осветителя d и расстояние D от зеркальца на установке до шкалы в миллиметрах.

2. Расчет величины углов поворота стержня для всех нагрузок.

3. График зависимости угла поворота стержня в радианах от величины груза в ньютонах. Эта зависимость должна быть линейной. По графику необходимо определить приблизительное значение тангенса угла наклона этой прямой к оси абсцисс – tgθ.

4. Расчет по методу наименьших квадратов tgθ.

5. Расчет величины G по формуле (6.6).

6. Расчет погрешности модуля сдвига по формуле (6.7).

7. Окончательный результат модуля сдвига с погрешностью в системе СИ.

Контрольные вопросы

s Чем отличается деформация кручения от деформации растяжения?

s В каких случаях зависимость φ =f(P) будет линейной?

s Что дает использование зеркальца в данной работе?

s Что такое модуль кручения? Как он связан с модулем сдвига?

Лабораторная работа 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА КРУГЛОГО СТЕРЖНЯ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с введением по теме: “Деформация твердого тела”

Физическое обоснование эксперимента

Моментом силыотносительно некоторой точки О называется векторная величина М, определяемая выражением: , где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси С называется физическая величина равная сумме произведений их масс на квадраты расстояний до оси:I = Sm_ir_i²

К твердому телу, совершающему вращательные движения, может быть применен закон вращательного движения

,

(7.1)

где М – момент возвращающей силы относительно оси вращения, I – момент инерции тела относительно той же оси, – угловое ускорение.

Если закрепить верхний конец круглого стержня, а нижний конец с прикрепленным к нему диском повернуть на угол φ и отпустить, то стержень может совершать крутильные колебания, при этом роль момента возвращающей силы будет выполнять момент силы упругости деформированного стержня.

Из уравнения (15) и третьего закона Ньютона видно, что момент силы равен

.

(7.2)

Подставляя это значение в (7.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее движение колеблющегося стержня

.

(7.3)

Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением этого уравнения является функция вида φ = φ_оcos(ωt + α), где - круговая частота.

Период таких колебаний равен соответственно:

.

(7.4)

Отсюда можно найти выражение для модуля сдвига G, если в (7.4) подставить значение величины χ из (14): .

Окончательно имеем

.

(7.5)

Таким образом, для определения модуля сдвига G методом крутильных колебаний необходимо определить длину стержня L, его радиус r, момент инерции колеблющегося тела I и период его колебаний T.

Для расчета момента инерции рассматриваемого маятника используется дополнительное массивное кольцо K, момент инерции которого I_o можно вычислить из геометрических размеров:

,

(7.6)

где R₁ и R₂ – внутренний и внешний радиусы кольца, m – его масса.

Если положить такое кольцо концентрически на диск (рис.7.1), то момент инерции получившейся системы будет равен (I + I_o), т. к. момент инерции величина аддитивная. Период крутильных колебаний Т₁ этой системы в соответствии с формулой (7.4) будет:

.

(7.7)

Из выражений (7.7) и (7.4) получаем

.

(7.8)

Таким образом, определив момент инерции крутильного маятника, можно по формуле (7.5) можно определить модуль сдвига G.

Метод исследования и описание установки

Рис. 7.1

К нижнему концу зажатой вверху толстой проволоки, играющей роль круглого стержня, прикреплен горизонтальный диск (рис. 7.1). На этот диск может накладываться дополнительно массивное кольцо К. На диске Д нанесена стрелка, которая при положении равновесия должна находиться против неподвижной метки на стене.