Zбkladnн poznatky z matematiky

Obsah

Informace o projektu.. 2

Obsah.. 3

Prщvodce studiem... 4

1. Zбkladnн poznatky z matematiky.. 5

Cнle kapitoly.. 5

Klниovб slova.. 5

1.1. Инselnй obory.. 6

1.1.1. Poиetnн operace s инsly. 7

1.1.2. Pшirozenб инsla. 7

1.1.3. Celб инsla. 8

1.1.4. Racionбlnн инsla. 9

1.1.5. Reбlnб инsla. 12

1.1.6. Absolutnн hodnota reбlnйho инsla. 12

1.2. Elementбrnн teorie инsel. 15

1.2.1. Nбsobek a dмlitel инsla. 15

1.2.2. Znaky dмlitelnosti 16

1.2.3. Prvoинsla a инsla sloћenб. 18

1.2.4. Nejvмtљн spoleиnэ dмlitel, nejmenљн spoleиnэ nбsobek. 19

1.3. Pomмr, trojиlenka, procenta.. 22

1.3.1. Pomмr. 22

1.3.2. Mмшнtko plбnu a mapy. 24

1.3.3. Pшнmб a nepшнmб ъmмrnost 25

1.3.4. Procenta. 27

1.4. Mocniny s pшirozenэm a celэm exponentem.. 30

1.4.1. Mocniny s pшirozenэm exponentem.. 30

1.4.2. Mocniny s celэm exponentem.. 32

1.5. Pravoъhlэ trojъhelnнk.. 35

1.5.1. Pythagorova vмta. 35

1.5.2. Trigonometrie pravoъhlйho trojъhelnнku. 39

Seznam pouћitй literatury.. 43

Seznam obrбzkщ.. 45

Seznam pouћitэch ikon.. 46

Prщvodce studiem

Zбkladnн poznatky z matematiky jsou prvnн uиebnicн matematiky, se kterou budete v prvnнm roиnнku stшednн љkoly pracovat nejen v hodinбch matematiky, ale i pшi svй domбcн pшнpravм. Tato uиebnice tvoшн souhrnnй opakovбnн uиiva zбkladnн љkoly s malou mнrou nadstavby. Jejн obsah tvoшн инselnй obory, kterй jsou doplnмny absolutnн hodnotou reбlnйho инsla, se kterou jste se na zбkladnн љkole setkali pouze okrajovм. Dбle si zopakujete elementбrnн teorii инsel, kterб obsahuje znaky dмlitelnosti, prvoинsla, sloћenб инsla, nбsobky, dмlitele. Ve tшetн kapitole se zamмшнme na pomмr, mмшнtko, trojиlenku, procenta. V prбci s mocninami s pшirozenэm a celэm mocnitelem se zdokonalнme ve иtvrtй kapitole a poslednн ибst opakovбnн se zamмшн na pravoъhlэ trojъhelnнk, kde se vrбtнme do 8. a 9. roиnнku zбkladnн љkoly, kde jste zнskali zбkladnн dovednosti v prбci s Pythagorovou vмtou a trigonometriн. Vмtљina pojmщ tйto uиebnice je vбm jiћ znбma ze zбkladnн љkoly, takћe by vбm mмla tato uиebnice pomoci v jednoduљљнm pшechodu na stшedoљkolskй uиivo, kterй na tuto uиebnici bude navazovat.

Инselnй obory

V tйto ибsti se budeme zabэvat инselnэmi obory a jejнmi vlastnostmi. Nejprve je tшeba инselnэ obor definovat.

Definice: Инselnэ obor je mnoћina инsel, na kterou se omezujeme pшi шeљenн urиitй ъlohy, tj. mnoћina, ve kterй hledбme шeљenн ъlohy.

Zopakujme si, kterй druhy инsel jiћ znбme a k иemu je v praxi vyuћнvбme nejиastмji.

Pшirozenб инsla jsou инsla, kterэmi mщћeme oznaиit poиet nмиeho (poиet prvkщ nмjakй mnoћiny), tzn. инsla

Mnoћina vљech pшirozenэch инsel je nejzбkladnмjљн инselnou mnoћinou. Mnoћinu vљech pшirozenэch инsel oznaиujeme N.

Celб инsla jsou pшirozenб инsla, zбpornб celб инsla a nula, tzn. инsla Mnoћinu vљech celэch инsel oznaиujeme Z. Umoћтujн nбm vyjбdшit zmмny poиtщ, jejich porovnбvбnн, zmмny stavщ atd.

Racionбlnн инsla jsou инsla, kterб lze zapsat zlomkem1, tj. celб инsla, desetinnб инsla a zlomky, tzn. инsla . Mnoћinu vљech racionбlnнch инsel oznaиujeme Q. Pouћнvajн se k vyjбdшenн ибstн celku.

Reбlnб инsla jsou инsla, kterб lze znбzornit na инselnй ose. Mnoћinu vљech reбlnэch инsel oznaиujeme R. Mezi reбlnб инsla patшн vљechna инsla, kterб zatнm znбte.

Vztahy mezi zбkladnнmi инselnэmi mnoћinami mщћeme tedy shrnout do symbolickйho zбpisu: .

Obrбzek 1 - Schematickй znбzornмnн oborщ инsel

Kromм tмchto oznaиenн mnoћin budeme pouћнvat i zбpisy rщznэch podmnoћin vэљe uvedenэch инselnэch oborщ.

N₀ … pшirozenб инsla a инsla nula (vљechna nezбpornб инsla)

Z^– … celб zбpornб инsla

R⁺ … kladnб reбlnб инsla

Poиetnн operace s инsly

Vмta o uzavшenosti (U) oboru vzhledem ke sинtбnн a nбsobenн.

Vмta o asociativnosti (A) sинtбnн a nбsobenн.

Vмta o komutativnosti (K) sинtбnн a nбsobenн.

Vмta o neutrбlnosti (N) инsla 1 vzhledem k nбsobenн.

Vмta o distributivnosti (D) nбsobenн vzhledem ke sинtбnн.

1.1.2. Pшirozenб инsla

Pro kaћdб tшi pшirozenб инslaa, b, cplatн: a + b je pшirozenй инslo (U) a . b je pшirozenй инslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D)

1.1.3. Celб инsla

Pro kaћdб tшi celб инslaa, b, cplatн: a + b je celй инslo (U) a . b je celй инslo (U) a – b je celй инslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 0 + a = a (N) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D)

Ke kaћdйmu celйmu инslu a existuje takovй celй инslo (– a), ћe platн a + (– a) = 0. Инsla a a (–a) se nazэvajн инsla navzбjem opaиnб.

Pшнklad 1:

Vypoинtejte co nejъspornмji:

Шeљenн: Vyuћijeme vмty (A), (K) a (D) a pravidla pro vэpoиty инselnэch vэrazщ.

Cviиenн 1:

1. V Arabskй pouљti byla namмшena teplota + 57 °C, ve vэchodnн Sibiшi 78 °C. Jakэ je rozdнl teplot? [135 °C]

2. Nejvyљљн hora svмta Mount Everest mмшн 8 847 m. Nejvмtљн hloubka moшe byla namмшena u Filipнn 10 899 m. Vypoинtejte vэљkovэ rozdнl. [19 746 m]

3. Pokladnн mмla rбno v pokladnм hotovost 5 000 Kи. Bмhem dne postupnм vydala dvakrбt 253 Kи, pшijala 18 Kи, tшikrбt pшijala 72 Kи, vydala 118 Kи a иtyшikrбt vydala 95 Kи. Jakэ byl stav hotovosti na konci pracovnн doby? [4 230 Kи]

Racionбlnн инsla

Vљechna инsla tйto mnoћiny lze zapsat ve tvaru zlomku , kde p je celй инslo a q je pшirozenй инslo.

Racionбlnн инslo v zбkladnнm tvaru je zlomek, ve kterйm jsou p a q инsla nesoudмlnб (jejich spoleиnэm dмlitelem je pouze инslo jedna).

Slovo racionбlnн pouћнvбme ve vэznamu pomмrovэ, podнlovэ.

Pro kaћdб tшi racionбlnн инslaa, b, cplatн: a + b je racionбlnн инslo (U) a . b je racionбlnн инslo (U) a – b je racionбlnн инslo (U) a : b, kde b ¹ 0, je racionбlnн инslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 0 + a = a (N) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D)

Porovnбvбnн racionбlnнch инsel: racionбlnн инsla zapsanб zlomky v zбkladnнm tvaru porovnбvбme na zбkladм srovnбnн souиinщ ps, qr:

, prбvм kdyћ ps < qr,

, prбvм kdyћ ps = qr,

, prбvм kdyћ ps > qr.

Pшнklad 2:

Porovnejte zlomky .

Шeљenн: 7 . 9 = 63, 12 . 5 = 60

Platн 63 > 60, tzn. .

Pro libovolnб dvм racionбlnн инsla platн:

Racionбlnн инsla zapisujeme ve tvaru:

- zlomku ,

- desetinnйho инsla ,

- nekoneиnйho periodickйho desetinnйho rozvoje s vyznaиenou periodou .

- nмkterб racionбlnн инsla zapisujeme jako инsla smнљenб (инsla vмtљн neћ jedna nebo menљн neћ minus jedna). Napшнklad инslo coћ je zlomek v zбkladnнm tvaru, mщћeme zapsat jako smнљenй инslo (иteme: osm a dvм tшetiny).

Pшнklad 3:

Pшeveпte zlomky na desetinnб инsla:

Шeљenн:

Pшнklad 4:

Danб desetinnб инsla vyjбdшete zlomkem v zбkladnнm tvaru:

.

Шeљenн:

Pшнklad 5:

Vypoинtejte:

Шeљenн:

Cviиenн 2:

1. Vypoинtejte: [ ]

2. Vypoинtejte: [ ]

3. Vypoинtejte: [ ]

4. Vypoинtejte: [0]

5. Vypoинtejte: [ ]

6. Vypoинtejte: [1]

Reбlnб инsla

Reбlnэmi инsly nazэvбme инsla, kterб vyjadшujн hodnoty veliиin, dйlky ъseиek, инsla k nim opaиnб a nulu. Kaћdй reбlnй инslo je na инselnй ose znбzornмno prбvм jednнm bodem. Kaћdэ bod инselnй osy je obrazem prбvм jednoho reбlnйho инsla.

Reбlnб инsla jsou sjednocenн racionбlnнch a iracionбlnнch инsel:

- racionбlnн – lze je zapsat ve tvaru zlomku,

- iracionбlnн – nelze zapsat ve tvaru zlomku.

Iracionбlnн инsla jsou nepodнlovб инsla:

- lze zapsat pouze nekoneиnэm neperiodickэm desetinnэm rozvojem,

- v praxi se nahrazujн desetinnэmi инsly zaokrouhlenэmi na zvolenэ poиet desetinnэch mнst (dle poћadovanй pшesnosti),

- pшi jejich porovnбvбnн je nejdшнve vhodnм zaokrouhlнme na dostateиnэ poиet desetinnэch mнst.

1.1.6. Absolutnн hodnota reбlnйho инsla

Definice absolutnн hodnoty: Absolutnн hodnota инsla je rovna vzdбlenosti tohoto инsla na инselnй ose od poибtku.   Absolutnн hodnota mщћe bэt definovбna i nбsledovnм: Pro kaћdй reбlnй инsloa je absolutnн hodnota tohoto инsla rovna: je-li pak ; je-li pak

Vlastnosti инsel s absolutnн hodnotou: Pokud poинtбte pшнklady, kde se vyskytujн absolutnн hodnoty, musнme pшi vэpoиtu uvaћovat nбsledujнcн vlastnosti: pro vљechna reбlnб инsla a platн: ; je-li , potom se ; je-li , potom se ; pro vљechna reбlnб инsla a platн: ; pro vљechna reбlnб инsla a, b platн: ; pro vљechna reбlnб инsla a, b, platн: ; pro vљechna reбlnб инsla a platн: ; pro vљechna reбlnб инsla a, b platн: ; pro vљechna reбlnб инsla a, b platн:

Pшнklad 6:

Na инselnй ose znбzornмte vљechna reбlnб инsla, pro nмћ platн:

Шeљenн:

a)

b)

c)

Pшнklad 7:

Naleznмte mnoћinu, kterб odpovнdб danй nerovnosti: |x - 1| ≤ 2

Шeљenн:

Zadanб nerovnost nбm ve skuteиnosti шнkб „Vzdбlenost x od 1 je menљн nebo rovna 2“. Tedy vнme, ћe stшedem intervalu je инslo 1. Odeиtenнm a pшiиtenнm 2 ke stшedu intervalu zнskбme dva body na ose. Pokud mб bэt vzdбlenost menљн nebo rovna dvмma, pak je jasnй, ћe hledanэ interval je pшesnм ten mezi dvмma body na ose a v jeho stшedu je 1. Protoћe krajnн body dнky rovnosti mohou patшit do intervalu, jednб se o interval uzavшenэ .

Cviиenн 3:

1. Znбzornмte na инselnй ose a zapiљte шeљenн:

2. Znбzornмte na инselnй ose a zapiљte шeљenн:

Elementбrnн teorie инsel

Nбsobek a dмlitel инsla

Zбpis инsla mщћeme pomocн pojmщ nбsobek a dмlitel vyjбdшit иtyшmi zpщsoby:

Инslo 56 je nбsobkem инsla 7.

Инslo 56 je nбsobkem инsla 8.

Инslo 7 je dмlitelem инsla 56.

Инslo 8 je dмlitelem инsla 56.

Souиin dvou инsel je nбsobkem kaћdйho z tмchto инsel.

Pojmy nбsobek a dмlitel pro mnoћinu pшirozenэch инsel a, b definujeme:

Инslo a je nбsobkem инsla b (инslo b je dмlitelem инsla a), prбvм kdyћ existuje pшirozenй инslo x takovй, ћe .

Pшirozenб инsla nazэvбme nesoudмlnб, je-li jejich spoleиnэm dмlitelem pouze инslo 1. Pшirozenб инsla jsou soudмlnб, majн-li spoleиnйho dмlitele vмtљнho neћ 1.

V ъlohбch o dмlitelnosti иasto potшebujeme urиit vљechny dмlitele danйho инsla. Jak je najdeme? Kaћdй инslo vмtљн neћ 1 mб dva dмlitele – инslo 1 a samo sebe. Nejmenљн dмlitel kaћdйho инsla je tedy инslo 1. Dбle dмlнme postupnм инsly 2, 3, 4 … a zjiљќujeme, zda podнl vyjde beze zbytku. Pokud ano, zapнљeme ho pod dмlitele.

Pшнklad 1:

Urиete vљechny dмlitele инsla 42.

Шeљenн:

Obм barevnй ибsti tabulky jsou si rovny, takћe staин pracovat pouze s jednou ибstн tabulky.

Cviиenн 1:

1. Upravte danй zlomky na zбkladnн tvar:

.

2. Urиete mnoћiny vљech dмlitelщ инsel:

Znaky dмlitelnosti

Znaky dмlitelnost инsel ъzce souvisн s rozvinutэm zбpisem инsla v desнtkovй soustavм.

Pшirozenй инslo je dмlitelnй: 2: prбvм kdyћ je poslednн инslice jeho zбpisu dмlitelnб 2, 3: prбvм kdyћ je jeho cifernэ souиet dмlitelnэ 3, 4: prбvм kdyћ jeho poslednн dvojинslн je dмlitelnй 4, 5: prбvм kdyћ jeho zбpis konин nulou nebo pмtkou, 9: prбvм kdyћ je jeho cifernэ souиet dмlitelnэ 9, 10: prбvм kdyћ jeho zбpis konин nulou,   6: prбvм kdyћ je dмlitelnй 2 a 3, 12: prбvм kdyћ je dмlitelnй 3 a 4, (nelze pouћнvat 6 a 2, protoћe jsou to soudмlnб инsla), 15: prбvм kdyћ je dмlitelnй 3 a 5, 18: prбvм kdyћ je dмlitelnй 2 a 9, (nelze pouћнvat 6 a 3, protoћe jsou to soudмlnб инsla).

Pшнklad 2:

U nбsledujнcнch инsel urиi, zda jsou dмlitelnб nмkterэm z инsel: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 a 15:

.

Шeљenн:

a) 297

poslednн cifra 7 Þ nenн dмlitelnй 2, 4, 5, 6, 10, 12 a 15

cifernэ souиet 18 Þ je dмlitelnй 3 a 9

b) 3 460

poslednн cifra 0 Þ dмlitelnй 2, 5, 10

poslednн dvojинslн 60 Þ dмlitelnй 4

cifernэ souиet 13 Þ nenн dмlitelnй 3 a 9 Þ nenн dмlitelnй 6, 12 a 15

c) 3 162

poslednн cifra 2 Þ dмlitelnй 2; nenн dмlitelnй 5, 10, 15

poslednн dvojинslн 62 Þ nenн dмlitelnй 4, 12

cifernэ souиet 12 Þ je dмlitelnй 3 Þ je dмlitelnй 6; nenн dмlitelnй 9

d) 70 010

poslednн cifra 0 Þ dмlitelnй 2, 5, 10

poslednн dvojинslн 10 Þ nenн dмlitelnй 4, 12

cifernэ souиet 8 Þ nenн dмlitelnй 3 a 9 Þ nenн dмlitelnй 6, 12 a 15

e) 7 555

poslednн cifra 5 Þ dмlitelnй 5; nenн dмlitelnй 2, 4, 10, 12

cifernэ souиet 22 Þ nenн dмlitelnй 3 a 9 Þ nenн dмlitelnй 6, 15

f) 50 5984

poslednн cifra 4 Þ dмlitelnй 2, nenн dмlitelnй 5, 10, 15

poslednн dvojинslн 84 Þ dмlitelnй 4

cifernэ souиet 31 Þ nenн dмlitelnй 3 a 9 Þ nenн dмlitelnй 6, 12

Cviиenн 2:

1. Doplтte vynechanou инslici tak, aby инslo bylo dмlitelnй иtyшmi. Uveпte vљechny moћnosti.

2. Doplтte vynechanou инslici tak, aby инslo bylo dмlitelnй devнti. Uveпte vљechny moћnosti.

3. Doplтte vynechanou инslici tak, aby bylo инslo dмlitelnй љesti. Uveпte vљechny moћnosti.

1.2.3. Prvoинsla a инsla sloћenб

Prvoинsla jsou vљechna pшirozenб инsla, kterб majн prбvм dva dмlitele, инslo jedna a samo sebe. Sloћenб инsla jsou vљechna pшirozenб инsla, kterб majн aspoт tшi rщznй dмlitele. Инslo jedna nenн ani prvoинslo, ani инslo sloћenй.

Sloћenй инslo иasto potшebujeme vyjбdшit ve tvaru souиinu jeho dмlitelщ vмtљнch neћ jedna. Takovйmu vyjбdшenн шнkбme rozklad sloћenйho инsla (napш. ). Pokud rozloћнme sloћenй инslo na souиin, ve kterйm kaћdэ иinitel je prvoинslo, шнkбme tomuto rozkladu prvoинselnэ rozklad sloћenйho инsla.

Zpщsoby, kterй nбm umoћnн prvoинselnэ rozklad sloћenйho инsla:

Pшнklad 3:

Proveпte prvoинselnэ rozklad инsla 60.

Шeљenн:

a) postupnэ rozklad:

b) stromeиek:

c) tabulkovэ zбpis („ћebшнk“):

V prvoинselnйm rozkladu jsme инslo 60 zapsali jako souиin . Lze ho zapsat i struиnмji uћitнm mocnin prvoинsel: . Mocniny seшazujeme vzestupnм, takto vytvoшнme jednoznaиnэ rozklad pro kaћdй pшirozenй инslo Þ zбkladnн vмta aritmetiky.

Zбkladnн vмta aritmetiky: Kaћdй pшirozenй инslo n > 1 lze zapsat jedinэm zpщsobem ve tvaru kde jsou prvoинsla a jsou pшirozenб инsla.

Cviиenн 3:

1. Vypiљte prvoинsla menљн neћ 30.

2. Zapiљte prvoинselnэ rozklad danэch инsel jako souиin mocnin prvoинsel:

1.2.4. Nejvмtљн spoleиnэ dмlitel, nejmenљн spoleиnэ nбsobek

Nejvмtљн spoleиnэ dмlitel xskupiny pшirozenэch инsel a, b, c je takovэ spoleиnэ dмlitel tмchto инsel, kterэ je ze vљech spoleиnэch dмlitelщ nejvмtљн. Zapisujeme: D(a, b, c) = x

Nejvмtљн spoleиnэ dмlitelинsel a, b, c je souиin mocnin tмch prvoинsel, kterб se vyskytujн zбroveт ve vљech prvoинselnэch rozkladech инsel a, b, c; pшitom exponent kaћdйho prvoинsla je nejmenљн exponent vyskytujнcн se u tohoto prvoинsla v rozkladech инsel a, b, c.

Pшнklad 4:

Najdмte nejvмtљнho spoleиnйho dмlitele инsel 32, 48, 96.

Шeљenн:

1. zpщsob: pomocн mnoћin dмlitelщ

Najdeme spoleиnй dмlitele . Nejvмtљн spoleиnэ dмlitel je инslo 16.

2. zpщsob: pomocн prvoинselnэch rozkladщ

32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵

48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 2⁴ . 3

96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 2⁵ . 3

Hledбme vљechna prvoинsla, kterб se vyskytujн ve vљech tшech rozkladech.

Cviиenн 4:

1. Urиete D(60, 75). [15]

2. Urиete D(135, 420). [15]

3. Urиete D(108, 132, 180). [12]

Nejmenљн spoleиnэ nбsobek xskupiny pшirozenэch инsel a, b, c je ten spoleиnэ nбsobek tмchto инsel, kterэ je ze vљech spoleиnэch nбsobkщ nejmenљн. Zapisujeme: n(a, b, c) = x.

Nejmenљн spoleиnэ nбsobekинsel a, b, c je souиin mocnin vљech prvoинsel, kterб se vyskytujн aspoт v jednom prvoинselnйm rozkladu инsel a, b, c; pшitom exponent kaћdйho prvoинsla je nejvмtљн exponent vyskytujнcн se u tohoto prvoинsla v rozkladech инsel a, b, c.

Pшнklad 5:

Najdмte nejmenљн spoleиnэ nбsobek инsel 6, 21, 28.

Шeљenн:

1. zpщsob: pomocн mnoћin nбsobkщ

Nejmenљн spoleиnэ nбsobek je инslo 84.

2. zpщsob: pomocн prvoинselnэch rozkladщ

6 = 2 . 3

21 = 3 . 7

28 = 2 . 2 . 7

Vэsledek musн obsahovat vљechna rщznб prvoинsla z jejich rozkladщ, a to vћdy v nejvyљљн mocninм.

Cviиenн 5:

1. Urиete n(28, 32). [224]

2. Urиete n(105, 140). [420]

3. Urиete n(18, 24, 30). [360]

Pomмr, trojиlenka, procenta

Trojиlenka pшedstavuje mnemotechnickэ postup, jak rychle vyшeљit ъlohy na pшнmou a nepшнmou ъmмrnost. Trojиlenka se pouћнvб pшi jednoduchэch vэpoиtech pшнmй a nepшнmй ъmмrnosti. Vмtљinou znбme tшi na sobм zбvislй ъdaje a mбme vypoинtat иtvrtэ. V trojиlence musнme pшнmou a nepшнmou ъmмru peиlivм rozliљit, mб totiћ rozdнlnй vэpoиty. Pшнmб ъmмrnost znamenб, ћe инm vнce je vмcн A, tнm vнce je vмcн B. Napшнklad инm vнce koupнme propisek, tнm vнce nбs to bude stбt. Инm vнce lidн se zъиastnн zбjezdu, tнm vмtљн zisk mб cestovnн kancelбш. Nepшнmб ъmмra funguje pшesnм opaиnм. Инm vнce je vмcн A, tнm mйnм je vмcн B. Typicky инm vнce lidн pracuje na stavbм altбnku, tнm dшнve je altбnek dokonиen. Инm vнce strбnek knihy pшeиtete, tнm mйnм strбnek vбm zbэvб do konce.

Trojиlenkou nazэvбme ъlohu, kterб obsahuje dvojice na sobм zбvislэch veliиin (pшнmo nebonepшнmo).Veliиiny se zapнљн do urиitйho schйmatu, љipkami se vyjбdшн pшнsluљnй zбvislosti (souhlasnмorientovanэmi љipkami pшнmб ъmмrnost, nesouhlasnм orientovanэmi љipkami nepшнmбъmмrnost). Z praktickэch dщvodщ pro snadnмjљн vэpoиet je vhodnй zaинnat psбt љipky vћdy upromмnnй x. Trojиlenku mщћeme шeљit rщznэmi zpщsoby, nejиastмjљн je pomocн ъmмry nebo„pшes jednotku“. Trojиlenku budeme pouћнvat k vэpoиtщm nejen pшнmй a nepшнmй ъmмrnosti, ale ukбћeme si jejн vyuћitн u pшнkladщ s mмшнtky map a pшi vэpoиtech procent.

Pomмr

Porovnбme-li dvм veliиiny podнlem, nazэvбme pшнsluљnэ zбpis pomмr.

Podнl a : b, kde a > 0, b > 0, nazэvбme pomмr инsel a a b. Инslo a nazэvбme prvnн иlen pomмru, инslo b je jeho druhэ иlen. Иteme a ku b. Pшevrбcenэ pomмr k pomмru a : b je pomмr b : a (pomмry jsou navzбjem pшevrбcenй). Pokud jsou oba иleny pomмru vyjбdшeny nesoudмlnэmi pшirozenэmi инsly, шнkбme, ћe pomмr je v zбkladnнm tvaru.

Uћitн:

• zmмna v danйm pomмru
• dмlenн v danйm pomмru
• mмшнtko plбnu a mapy

Pшнklad 1:

Dшevмnou tyи dlouhou 3,3 m rozdмlte v pomмru 4 : 7.

Шeљenн:

Tyи rozdмlнme tak, ћe prvnн kus bude pшedstavovat 4 stejnй dнly a druhэ kus 7 stejnэch dнlщ, tedy dohromady 11 dнlщ.

3,3 m rozdмlнme nejprve na 11 dнlщ Þ 3,3 : 11 = 0,3

Prvnн kus mмшн 0,3 . 4 = 1,2 m.

Druhэ kus mмшн 0,3 . 7 = 2,1 m.

Pшi dмlenн celku v danйm pomмru musнme иleny pomмru seинst a souиtem dмlit velikost celku; tнm zjistнme velikost jednoho dнlu. Touto hodnotou pak uћ jen vynбsobнme иleny pomмru a zнskбme poћadovanй ъdaje.

Pшнklad 2:

Rozmмry obdйlnнku jsou 45 cm a 50 cm. Jakй bude mнt obdйlnнk rozmмry na vэkresu v mмшнtku 3 : 5.

Шeљenн:

Mмшнtko 3 : 5 vyjadшuje zmenљenн v danйm pomмru. Rozmмry zнskбme tak, ћe danй rozmмry nбsobнme zlomkem .

Zmenљenэ obdйlnнk bude mнt rozmмry 27 cm a 30 cm.

Cviиenн 1:

1. Rovnostrannэ trojъhelnнk mб dйlku strany 1,5 cm. Jakй bude mнt rozmмry zvмtљнme-li je v pomмru 4 : 3? [2 cm]

2. Rozdмlte:

a) 132 oшechщ v pomмru 3 : 8; [36; 96]

b) prбdelnн љтщru dйlky 42 m v pomмru 4 : 3; [24 m; 18 m]

c) 45 minut v pomмru 2 : 7 [10 min; 35 min]

d) 7,8 kg rybнzu v pomмru 7 : 6. [4,2 kg; 3,6 kg]

3. V trojъhelnнku ABC se velikost vnмjљнho ъhlu pшi vrcholu C rovnб 126°. Velikost vnitшnнch ъhlщ α, β pшi vrcholech A, B jsou v pomмru 5 : 9. Vypoинtejte velikost vnitшnнch ъhlщ α, β, g trojъhelnнku ABC. [45°, 81°,54°]

Mмшнtko plбnu a mapy

Ze zemмpisu uћ znбte mмшнtko mapy. Je-li na mapм ъdaj napш. 1 : 50 000, znamenб to, ћe 1 cm na mapм pшedstavuje 50 000 cm ve skuteиnosti. Na technickйm vэkresu souибstky do hodinek zase musн bэt mмшнtko opaиnй, napш. 10 : 1. Souибstka je pшнliљ malб, neћ aby ji bylo moћno zobrazit ve skuteиnй velikosti (tedy v pomмru 1 : 1). Pomмr 10 : 1 znamenб, ћe 10 mm na vэkresu pшedstavuje jen 1 mm ve skuteиnosti. Mapa tedy pшedstavuje zmenљenн v danйm pomмru (1 : 50 000) a vэkres zvмtљenн v danйm pomмru (10 : 1).

V mмшнtku udбvб prvnн иlen vћdy velikost na mapм (plбnu, vэkresu) a druhэ иlen skuteиnou velikost.

Pшнklad 3:

Vzdбlenost dvou obcн je na mapм 4 cm, ve skuteиnosti 12 km. Urиete mмшнtko mapy.

Шeљenн:

12 km = 1 200 000 cm

4 : 1 200 000 = 1 : 300 000

Mмшнtko mapy je 1 : 300 000.

Pшнklad 4:

Souибstka na technickйm vэkresu je narэsovбna v pomмru 8 : 3. Jakб je dйlka skuteиnйho rozmмru, kterэ na vэkresu mмшн 128 mm?

Шeљenн:

Dйlka skuteиnйho rozmмru je 48 mm.

Cviиenн 2:

1. Jakou dйlkou bude na mapм v mмшнtku 1 : 3 000 zobrazena skuteиnб dйlka 1,2 km?

[40 cm]

2. 6,5 cm na mapм pшedstavuje 3,9 km ve skuteиnosti. Urиete mмшнtko tйto mapy.

[1 : 60 000]

3. Rozmмry negativu jsou 36 mm a 24 mm. Jakэ je pomмr zvмtљenн, jestliћe rozmмry fotografie jsou 9 cm a 13,5 cm? [15 : 4]

Pшнmб a nepшнmб ъmмrnost

Pшнmб ъmмrnost: roste-li prvnн veliиina, roste i druhб. Sniћuje-li se prvnн veliиina, sniћuje se i druhб. (Napш. инm vнce rohlнkщ koupнme, tнm vнce za nм zaplatнme.) Grafem pшнmй ъmмrnosti je pшнmka. Pшнmб ъmмrnost je ъmмrnost mezi dvмma veliиinami, kterй spoleиnм rostou ve stбle stejnйm pomмru („инm vнc, tнm vнc“):

· poиet odpracovanэch hodin a poиet dnн (pokud kaћdэ den odpracujeme stejnэ poиet hodin)

· poиet vэrobkщ a poиet krabic s nimi (pokud kaћdб krabice obsahuje stejnэ poиet vэrobkщ)

· cena a poиet nakoupenэch pшedmмtщ (pokud kaћdэ z nich stojн stejnм).

Pшнmб ъmмrnost je takovб zбvislost jednй veliиiny na druhй, kdy se pшi zvэљenн hodnoty jednй veliиiny zvэљн i hodnota druhй veliиiny. Obecnм lze takovou zбvislost popsat vzorcem , kde k je koeficient pшнmй ъmмrnosti.

Nepшнmб ъmмrnost: roste-li prvnн veliиina, druhб klesб. Klesб-li prvnн veliиina, druhб roste. (Napш. инm rychlejљн mбme pшipojenн k Internetu, tнm menљн dobu potшebujeme ke staћenн souboru). Grafem nepшнmй ъmмrnosti je hyperbola. Nepшнmб ъmмrnost je zбvislost mezi dvмma veliиinami, pro kterou platн: kolikrбt se zvмtљн hodnota jednй veliиiny, tolikrбt se zmenљн hodnota druhй („инm vнc, tнm mнт“).

Nepшнmб ъmмrnost je takovб zбvislost jednй veliиiny na druhй, kdy se pшi zvэљenн hodnoty jednй veliиiny snнћн hodnota druhй veliиiny. Obecnм lze takovou zбvislost popsat vzorcem , kde k je koeficient nepшнmй ъmмrnosti.

Pшнklad 5:

Ze sadu o vэmмшe 3,5 hektaru se zнskб 9,1 tuny jablek. Jak velkэ by musel bэt sad, aby se sklidilo 19,5 tuny jablek?

Шeљenн:

3,5 ha …………… 9,1 t

x ha …………….. 19,5 t

Aby se sklidilo 19,5 t jablek, je potшeba vэmмra sadu 7,5 ha.

Pшнklad 6:

Jednu zakбzku zvlбdnou иtyшi stroje za 324 hodin. Za jakou dobu by tutйћ zakбzku zvlбdlo љest strojщ?

Шeљenн:

4 stroje …………… 324 h

6 strojщ …………… x h

Љest strojщ udмlб tutйћ zakбzku za 216 h.

Cviиenн 3:

1. Za 2,8 hodiny ujel Radim ve svйm autм celkem 190,4 km. Jak dlouho jeљtм pojede, jestliћe mб celkem ujet 564,4 km? [5,5 h]

2. Osm stejnэch talншщ stojн 176 Kи; pмt stejnэch pшнborщ stojн 135 Kи. Kolik talншщ a pшнborщ si mщћe Olga koupit, jestliћe ke kaћdйmu talншi potшebuje jeden pшнbor a na ъtratu mб 1 000 Kи, potшebuje vљak jeљtм koupit tшi hrnce za 363 Kи?

[13]

3. Љest studentщ uklidilo v minulйm roce љkolnн tмlocviиnu za љest hodin. Kolik studentщ bude tшeba na ъklid tмlocviиny letos, mб-li bэt uklizena za 7 200 s?

[18 studentщ]

4. Osm zamмstnancщ splnн zakбzku za 85 hodin. Po 21 hodinбch museli tшi zamмstnanci odejнt na jinou prбci. Za kolik dalљнch hodin bude zakбzka splnмna?

[102,4 h]

5. Osm zednнkщ postavн dщm za 630 dnн. Kolik zednнkщ musнme po 150 dnech prбce pшidat, aby byla celб stavba dokonиena za 320 dnн? [4 zednнky]

6. Z 20 kg pampeliљek se zнskб 5,3 kg medu. Z kolika kilogramщ pampeliљek se zнskб 23,6 kg medu? [89 kg]

Procenta

Znaин se %, vмtљinou popisujн pomмr. Nebo pшesnмji kolik procent majн rщznй zastoupenй sloћky nebo o kolik procent se zmмnil stav. Procenta pшedstavujн jinэ zpщsob, jak vyjбdшit ибst celku (setiny, tzn. zlomek) pomocн celйho инsla.

Procenta obvykle oznaиujн nмjakou relativnн ибst z celku, pшiиemћ celek jako takovэ se vyjбdшн jako 100 %. Nбzev pochбzн z italљtiny, per cento znamenб ze sta. Pшi poинtбnн s procenty si musнme vћdy ujasnit, co je zбklad (100 %)!

Procenta se dajн vћdy pшepsat do zlomku. Jedno procento se rovnб jednй setinм celku. Deset procent se rovnб deseti setinбm celku, neboli zkrбcenм jednй desetinм. Padesбt procent je padesбt setin, zkrбcenм jedna polovina.

Zбpis napш. „45 %“ (45 procent) je ve skuteиnosti jenom zkratkou pro zlomek , tzn. desetinnй инslo 0,45.

K vэpoиtщm procent se nejиastмji pouћнvб trojиlenka. Pomмry hodnot se porovnбvajн jako u pшнmй ъmмrnosti.

Promile se nejиastмji pouћнvajн pшi mмшenн alkoholu v krvi шidiиe. Nмkteшн lidй se mylnм domnнvajн, ћe promile je tisнcina z procenta, ale to je chyba, pozor na to. Promile je tisнcina z celku. Jinak se s promilн poинtб ъplnм stejnм jako s procenty. 1 ‰ = 0,001 zбkladu

Pшнklad 7: Vэpoиet procentnн ибsti, znбme-li zбklad a poиet procent.

Urиi DPH ve vэљi 19 % z ибstky 2 500 Kи.

Шeљenн:

100 % …………… 2 500 Kи

19 % …………….. x Kи

DPH иinн 475 Kи.

Pшнklad 8: Vэpoиet zбkladu (100 %), znбme-li procentnн ибst a poиet procent.

Jakб byla pщvodnн cena televize, jestliћe byla zlevnмna o 20 % na 6 400 Kи?

Шeљenн:

(Sleva o 20 % znamenб, ћe souиasnб cena tvoшн 80 % pщvodnн ceny!)

80 % …………… 6 400 Kи

100 % …………… x Kи

Pщvodnн cena televize byla 8 000 Kи.

Pшнklad 9: Vэpoиet poиtu procent, znбme-li zбklad a procentovou ибst.

O kolik procent byl automobil zdraћen, jestliћe jeho pщvodnн cena byla 420 000 Kи, a nynн stojн 460 000 Kи?

Шeљenн:

420 000 Kи ……………. 100 %

460 000 Kи ……………. x %

109,5 % - 100 % = 9,5 %

Automobil byl zdraћen o 9,5 %.

Cviиenн 4:

1. Kolik g tuku je obsaћeno v 200 g sэra s deklarovanэm 30% podнlem tuku?

[60 g]

2. Po slevм o 10 % stojн boty 1 800 Kи. Jakб byla pщvodnн cena?

[2 000 Kи]

3. Ve firmм je 25 zamмstnancщ, z toho 40 % ћen. Kolik je ve firmм muћщ a kolik ћen?

[15 muћщ; 10 ћen]

4. Krevnн zkouљkou bylo zjiљtмno v krvi шidiиe 0,6 ‰ alkoholu. Kolik je to gramщ, je-li v tмle pшibliћnм 6 kg krve? [3,6 g]

5. Ze sйrie 3 200 ruиnнch hustilek bylo pшi kontrole zjiљtмno 16 vadnэch. Jakй procento pшedstavujн vadnй vэrobky? [0,5 %]

Mocniny s celэm exponentem

Nynн pojem mocnina rozљншнme tak, aby mocnitelem mohlo bэt libovolnй celй инslo. V tйto kapitole je ъиelnй rozљншit definici mocniny i pro mocnitel nula a nultou mocninu reбlnйho инsla a ¹ 0 definovat takto:

Pro kaћdй reбlnй инslo a ¹ 0 platн a0 = 1.

Dбle rozљншнme definici mocniny i o zбpornйho mocnitele:

Pro kaћdй reбlnй инslo a ¹ 0 a pro kaћdй celй инslo m platн:

Pшi odstraтovбnн zбpornйho mocnitele postupujeme tedy tak, ћe zбklad mocniny nahradнme pшevrбcenэm инslem a mocnitele nahradнme инslem opaиnэm.

Pravidla pro poинtбnн s mocninami: Pro kaћdб dvм reбlnб инsla a, b a pro libovolnб celб инsla r, s platн:

Pшнklad 4:

Za pшedpokladu, ћe a, b, c jsou nenulovб reбlnб инsla, vypoинtejte:

Шeљenн:

Cviиenн 2:

Zjednoduљte a vэsledek zapiљte jako mocniny s pшirozenэm mocnitelem:

Pravoъhlэ trojъhelnнk

Pythagorova vмta

Zopakujte si, co jiћ o pravoъhlйm trojъhelnнku vнte:

· Pшepona je strana, kterб leћн proti pravйmu ъhlu; je nejdelљн stranou pravoъhlйho trojъhelnнku.

· Oba ъhly pшilehlй k pшeponм jsou ostrй a jejich souиet je 90°.

· Odvмsny jsou strany leћнcн na ramenech pravйho ъhlu.

· Obvyklй oznaиenн v pravoъhlйm trojъhelnнku – obr.2.

Obrбzek 2 – Oznaиenн v pravoъhlйm trojъhelnнku

· Strana AB = c je pшepona.

· Strany AC = b a BC = a jsou odvмsny.

Pythagorova vмta popisuje vztah, kterэ platн mezi dйlkami stran pravoъhlэch trojъhelnнkщ v rovinм. Umoћтuje dopoинtat dйlku tшetн strany takovйho trojъhelnнka, kde jsou znбmy dйlky dvou zbэvajнcнch stran.

Vмta znн: Obsah иtverce sestrojenйho nad pшeponou (nejdelљн stranou) pravoъhlйho trojъhelnнka je roven souиtu obsahщ иtvercщ nad jeho odvмsnami (dvмma kratљнmi stranami). (obr. 3)

Matematicky mщћeme tuto vмtu zapsat:

Obrбzek 3 – Pythagorova vмta

Poznбmka: Pythagoras ze Samu byl шeckэ matematik, kterэ ћil v letech 580-500 pш. n. I. Studoval matematiku a astronomii v Egyptм a v Babylonii. Ћil v jiћnн Itбlii a na Sicнlii, kde zaloћil slavnou filozofickou љkolu, kterб vэznamnм pшispмla k rozvoji matematiky. Pythagorejci objevili napш. znбmou vмtu, ћe souиet velikostн vnitшnнch ъhlщ v trojъhelnнku je 180°, dбle geometrickй шeљenн kvadratickэch rovnic, zjistili tйћ, ћe dйlka ъhlopшниky иtverce nenн ћбdnэm racionбlnнm nбsobkem dйlky jeho strany. Tak vlastnм objevili iracionбlnн инsla.

Zajнmavй je, ћe Pythagorova vмta, kterб Pythagora nejvнce proslavila, byla znбma ve zvlбљtnнch pшнpadech jiћ dlouho pшed Pythagorem ve starй Инnм (2000 let pш.n.l.) a v Indii (800 let pш. n. l.).

Pшнklad 1:

Dйlka odvмsny a v pravoъhlйm trojъhelnнku ABCje 3 cm, dйlka odvмsny b je 4 cm, vypoинtejte dйlku pшepony.

Шeљenн:

Δ ABC; a = 3, b = 4, c = ?

Obrбzek 4 – Mмшenн pravйho ъhlu v Egyptм

Tomuto trojъhelnнku se nмkdy шнkб trojъhelnнk 3, 4, 5 a je to jeden z tzv. Pythagorejskэch trojъhelnнkщ, coћ jsou pravoъhlй trojъhelnнky, jejichћ dйlky stran jsou vyjбdшeny celэmi pшirozenэmi инsly. Nejvмtљн z trojice инsel vyjadшuje dйlku pшepony. Z dalљнch Pythagorejskэch trojъhelnнkщ uveпme tшeba trojъhelnнk 6, 8, 10 nebo 5, 12, 13. Mщћete si ovмшit, zda to skuteиnм platн.

Pшнklad 2:

Dмtskй hшiљtм tvoшн obdйlnнk o stranбch 12 m a 15 m. Urиete dйlku ъhlopшниky tohoto obdйlnнku.

Шeљenн:

Dйlka ъhlopшниky je 19,2 m.

Obrбzek 5 – Obdйlnнk

Pшнklad 3:

Vypoиtмte vэљku rovnostrannйho trojъhelnнku o stranм a = 10 dm.

Шeљenн:

Velikost vэљky je 8,7 dm.

Obrбzek 6 - Trojъhelnнk

Pшнklad 4:

Na obrбzku 7 jsou body K, L, M, N stшedy stran иtverce ABCD se stranou dйlky 4 cm. Vypoинtejte obsah a obvod љestiъhelnнku AKLCMN.

Obrбzek 7 - Љestiъhelnнk

Шeљenн:

|AK| = |LC| = |CM| = |NA| = 2 cm

|KL|² = |KB|² + |BL|²

|KL|² = 2² + 2²

|KL| =

|KL| =

|KL| = 2,8 cm

|KL| = |MN| = 2,8 cm

Obvod љestiъhelnнku je 13,6 cm a obsah je 12 cm².

Cviиenн 1:

1. Vypoинtejte dйlku ъhlopшниky AC obdйlnнku ABCD, je-li dбno a = 15 cm a b = 8 cm.

[17 cm]

2. Kolik korun stojн omнtnutн љtнtu domu tvaru rovnoramennйho trojъhelnнku, stojн-li 1 m² omнtky 115 Kи? Zбkladna trojъhelnнku je 16 m a ramena majн dйlku 10 m.

[5 520 Kи]

3. Иtverec mб ъhlopшниku dlouhou 18,2 cm. Vypoинtejte obvod иtverce:

[51,6 cm]

4. Tyи dйlky 8,5 m je opшena o zeп. Jejн spodnн konec se opнrб o zem ve vzdбlenosti 1,8 m od zdi. Do jakй vэљky na zdi sahб hornн konec tyиe? [8,31 m]

5. Mostnн kruhovэ oblouk mб rozpмtн 30 m a vэљku 5 m. Vypoинtejte polomмr kruћnice, jejнћ ибstн je kruhovэ oblouk. [25 m]

Obsah

Informace o projektu.. 2

Obsah.. 3

Prщvodce studiem... 4

1. Zбkladnн poznatky z matematiky.. 5

Cнle kapitoly.. 5

Klниovб slova.. 5

1.1. Инselnй obory.. 6

1.1.1. Poиetnн operace s инsly. 7

1.1.2. Pшirozenб инsla. 7

1.1.3. Celб инsla. 8

1.1.4. Racionбlnн инsla. 9

1.1.5. Reбlnб инsla. 12

1.1.6. Absolutnн hodnota reбlnйho инsla. 12

1.2. Elementбrnн teorie инsel. 15

1.2.1. Nбsobek a dмlitel инsla. 15

1.2.2. Znaky dмlitelnosti 16

1.2.3. Prvoинsla a инsla sloћenб. 18

1.2.4. Nejvмtљн spoleиnэ dмlitel, nejmenљн spoleиnэ nбsobek. 19

1.3. Pomмr, trojиlenka, procenta.. 22

1.3.1. Pomмr. 22

1.3.2. Mмшнtko plбnu a mapy. 24

1.3.3. Pшнmб a nepшнmб ъmмrnost 25

1.3.4. Procenta. 27

1.4. Mocniny s pшirozenэm a celэm exponentem.. 30

1.4.1. Mocniny s pшirozenэm exponentem.. 30

1.4.2. Mocniny s celэm exponentem.. 32

1.5. Pravoъhlэ trojъhelnнk.. 35

1.5.1. Pythagorova vмta. 35

1.5.2. Trigonometrie pravoъhlйho trojъhelnнku. 39

Seznam pouћitй literatury.. 43

Seznam obrбzkщ.. 45

Seznam pouћitэch ikon.. 46

Prщvodce studiem

Zбkladnн poznatky z matematiky jsou prvnн uиebnicн matematiky, se kterou budete v prvnнm roиnнku stшednн љkoly pracovat nejen v hodinбch matematiky, ale i pшi svй domбcн pшнpravм. Tato uиebnice tvoшн souhrnnй opakovбnн uиiva zбkladnн љkoly s malou mнrou nadstavby. Jejн obsah tvoшн инselnй obory, kterй jsou doplnмny absolutnн hodnotou reбlnйho инsla, se kte