Приклади виконання лабораторного заняття № 4

Приклад 1.

Початкові дані:Х₁₀ = 30 Н·м; Х₂₀ = 220 В; Х₃₀ = 10 А;

DХ₁/Х₁₀ = 50%, DХ₂/Х₂₀ = 20%; DХ₃/Х₃₀ = 60%.

Досліди дублювалися рівномірно в кожній точці плану m = 2.

Результати експериментів

u	х0	х1	х2	х3	хіхj	Yu1 (с-1)	Yu2 (с-1)
	+1	+1	+1	+1			24,3	27,6
	+1	-1	+1	+1			29,8	32,7
	+1	+1	-1	+1			31,2
	+1	-1	-1	+1			39,1	42,8
	+1	+1	+1	-1			34,5	39,12
	+1	-1	+1	-1			40,4	42,4
	+1	+1	-1	-1			22,38	22,92
	+1	-1	-1	-1			30,3	35,7

Виконання завдання 1.

1) Розрахувати мінімальне та максимальне значення кожного фактора (параметра) в реальних (фактичних) одиницях вимірювання за умови, що значення Х_і0 задано в реальних одиницях; позначити їх Х_{і мін} та Х_{і мах}.

Визначаємо значення інтервалу варіювання кожного фактора:

DХ₁ = Х₁₀ ·DХ₁/Х₁₀ = 30·50/100 = 30 ·0,5 = 15 (Н·м);

DХ₂ = 220·20/100 = 220 ·0,2 = 44 (В);

DХ₃ = 10·60/100 = 10 ·0,6 = 6 (А).

Розраховуємо значення Х_{і мін} та Х_{і мах}:

Х_{1 мін} = Х₁₀ – DХ₁ = 30 – 15 = 15 (Н·м); Х_{1 мах} = Х₁₀ +DХ₁ = 30 + 15 = 45 (Н·м).

Х_{2 мін} = Х₂₀ – DХ₂ = 220 – 44 = 176 (В); Х_{2 мах} = Х₂₀ +DХ₂ = 220 + 44 = 264 (В).

Х_{3 мін} = Х₃₀ – DХ₃ = 10 – 6 = 4 (А); Х_{3 мах} = Х₃₀ +DХ₃ = 10 + 6 = 16 (А).

2) Скласти робочу матрицю експерименту. Позначити її «Таблиця 1».

Використовуємо отримані значення факторів на мінімальному та максимальному рівні, записуємо їх в таблицю.

Таблиця 1.

Робоча матриця експерименту

№ досліду	Х1 (Н·м)	Х2 (В)	Х3 (А)	Y1	Y2
				24,3	27,6
				29,8	32,7
				31,2	38,0
				39,1	42,8
				34,5	39,12
				40,4	42,4
				22,38	22,92
				30,3	35,7

3) Скласти розширену матрицю планування типу 2³ та результатів розрахунків з врахуванням умов проведення паралельних дослідів. Позначити «Таблиця 2».

Результат виконання цього пункту наведений нижче.

Таблиця 2.

Матриця планування і результати розрахунків

№ д-у	Планування	Результати експерт-ту	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У1	У2				( - )2
									24,3	27,6
		-1			-1	-1		-1	29,8	32,7
			-1		-1		-1	-1	31,2	38,0
		-1	-1			-1	-1		39,1	42,8
				-1		-1	-1	-1	34,5	39,12
		-1		-1	-1		-1		40,4	42,4
			-1	-1	-1	-1			22,38	22,92
		-1	-1	-1				-1	30,3	35,7

4) Розрахувати середнє значення в паралельних дослідах.

Середнє значення в паралельних дослідах розраховується за формулою:

.

В даному випадку з врахуванням кількості паралельних дослідів (m = 2) розраховуємо за формулою:

.

Для першого досліду (перший рядок матриці планування) отримаємо

;

для другого ;

для третього

і так далі. Результати записуємо у стовпець таблиці 2 (для опису послідовності заповнення таблиці прийнята її нумерація 2.1, 2.2 і так далі).

Таблиця 2.1.

№ д-у	Матриця планування	Результати експерт-ту	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У1	У2				( - )2
									24,3	27,6	25,95
		-1			-1	-1		-1	29,8	32,7	31,25
			-1		-1		-1	-1	31,2	38,0	34,6
		-1	-1			-1	-1		39,1	42,8	40,95
				-1		-1	-1	-1	34,5	39,12	36,81
		-1		-1	-1		-1		40,4	42,4	41,4
			-1	-1	-1	-1			22,38	22,92	22,65
		-1	-1	-1				-1	30,3	35,7

5) Розрахувати значення порядкової дисперсії відтворення .

Порядкова дисперсія розраховується за формулою

,

або для нашого приклада має загальний вигляд

.

Виконуємо розрахунки порядкових дисперсій. Для першого рядка (и = 1):

;

для другого ;

для третього

і так далі. Результати заносимо в стовпець таблиці 2.

Таблиця 2.2.

№	Матриця планування	Результати експерт-ту	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У1	У2				(∆)2
									24,3	27,6	25,95	5,445
		-			-1	-1		-1	29,8	32,7	31,25	4,205
			-		-1		-1	-1	31,2	38,0	34,6	23,12
		-	-			-1	-1		39,1	42,8	40,95	6,845
				-		-1	-1	-1	34,5	39,12	36,81	10,672
		-		-	-1		-1		40,4	42,4	41,4
			-	-	-1	-1			22,38	22,92	22,65	0,146
		-	-	-				-1	30,3	35,7		14,58

6) Виконати перевірку однорідності дисперсій за критерієм Кохрена. Зробити висновок.

Для перевірки необхідно визначити розрахункове значення критерію Кохрена за формулою

;

де - максимальне значення з розрахункових значень порядкових дисперсій; N – кількість дослідів (рядків матриці планування).

Перевіряється виконання умови

G_p < G_T (q, f₁, f₂);

де G_T (q, f₁, f₂) – табличне значення критерію Кохрена, яке обирається в залежності від q – прийнятого рівня значущості; f₁ - число ступенів вільності кожної оцінки порядкової дисперсії (f₁ = m – 1); f₂ – число незалежних оцінок дисперсії (f₂ = N).

Якщо умова виконується, то експеримент вважається відтворюваним та можна продовжувати розрахунки.

Визначаємо значення розрахункового значення критерію Кохрена для приклада, при цьому використовуємо відповідний стовпець ( ) таблиці 2.

.

Знаходимо табличне значення критерію Кохрена за умов для приклада m=2 та N = 8

q = 0,05; f₁ = 2 – 1 = 1; f₂ = 8.

Таблиця значень критерію Кохрена для рівня значущості q = 0,05 наведена в додатку 1:

G_T (0,05; 1; 8) = 0,6798.

Виконуємо перевірку:

0,345 < 0,6798 – умова виконується, експеримент відтворюється.

7) Розрахувати значення коефіцієнтів рівняння регресії.

Коефіцієнти при факторах розраховуються за формулою

. (2)

Коефіцієнти, що враховують сумісну дію факторів та використовуються для створення нелінійного рівняння регресії, визначаються так

,(i < j). (3)

Виконуємо розрахунок коефіцієнта b₀ при умовному факторі х₀ (це вільний коефіцієнт рівняння регресії)

Розраховуємо коефіцієнт при факторі х₁ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₁ та стовпця )

[1·25,95 + (-1)·31,25 + 1·34,6 + (-1)·40,95 + 1·36,81 + (-1)·41,4 + 1·22,65 +

+ (-1)·33] = -3,324.

Розраховуємо коефіцієнт при факторі х₂ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₂ та стовпця )

[1·25,95 + 1·31,25 + (-1)·34,6 + (-1)·40,95 + 1·36,81 + 1·41,4 + (-1)·22,65 +

+ (-1)·33] = 0,526.

Розраховуємо коефіцієнт при факторі х₃ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₃ та стовпця )

[1·25,95 + 1·31,25 + 1·34,6 + 1·40,95 + (-1)·36,81 + (-1)·41,4 + (-1)·22,65 +

+ (-1)·33] = -0,139.

Розраховуємо коефіцієнт при сумісної дії факторів х₁х₂ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₁х₂ та стовпця )

[1·25,95 + (-1)·31,25 +(-1)·34,6 + 1·40,95 + 1·36,81 +(-1)·41,4 +(-1)·22,65 +

+ 1·33] = 0,851.

Розраховуємо коефіцієнт при сумісної дії факторів х₁х₃ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₁х₃ та стовпця )

[1·25,95 + (-1)·31,25 + 1·34,6 +(-1)·40,95 +(-1)·36,81 + 1·41,4 +(-1)·22,65 +

+ 1·33] = 0,411.

Розраховуємо коефіцієнт при сумісної дії факторів х₂х₃ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₂х₃ та стовпця )

[1·25,95 + 1·31,25 + (-1)·34,6 + (-1)·40,95 +(-1)·36,81 +(-1)·41,4 + 1·22,65+

+ 1·33] = -5,114.

Розраховуємо коефіцієнт при сумісної дії всіх факторів х₁х₂х₃ (перемножуємо по рядкам и елементи стовпця х₁х₂х₃ та стовпця )

[1·25,95 + (-1)·31,25 + (-1)·34,6 + 1·40,95 + (-1)·36,81 + 1·41,4 + 1·22,65 +

+ (-1)·33] = -0,589.

8) Записати отримане рівняння регресії в чисельному вигляді.

Загальний вигляд математичної залежності цільової функції від параметрів процесу х₁, х₂, х₃ , яка може бути отримана за результатами ПФЕ типу 2³, наступний:

b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃ . (4)

Використовуємо отримані значення коефіцієнтів для запису рівняння регресії та отримуємо наступний вираз:

33,326 – 3,324x₁ + 0,526x₂ – 0,139x₃ +0,851x₁x₂ +0,411x₁x₃ – 5,114x₂x₃ –

- 0,589x₁x₂x₃ .

Виконання завдання 2.

1) Розрахувати дисперсію відтворення (помилку усього експерименту).

Дисперсія відтворення для всього експерименту розраховується за формулою

.

Використовуємо раніш розраховане значення суми (з формули для визначення критерію Кохрена), отримуємо значення дисперсії відтворення

.

2) Виконати оцінювання значущості коефіцієнтів рівняння регресії за критерієм Стьюдента. Зробити висновок.

Значущість коефіцієнтів рівняння регресії перевіряється за критерієм Стьюдента

t_ip > t_T (q, f₀) ; (5)

де t_ip – розрахункове значення критерію Стьюдента для і-го коефіцієнта при і-ому факторі; t_T (q, f₀) – табличне значення критерію Стьюдента, яке обирається в залежності від q та f₀ – числа ступенів вільності дисперсії відтворення, f₀ = N(m – 1) .

Якщо умова виконується, то відповідний коефіцієнт рівняння регресії вважається значущим. Якщо умова не виконується, коефіцієнт вважається незначущим та вилучається із розгляду.

Розрахункове значення критерію Стьюдента визначається за формулою

; (6)

де b_і – значення коефіцієнта рівняння регресії, для якого визначається розрахункове значення критерію Стьюдента; S_bi – середньоквадратичне відхилення коефіцієнтів регресії:

. (7)

Розраховуємо значення середньоквадратичного відхилення коефіцієнтів:

.

Для коефіцієнта b₀ визначаємо розрахункове значення критерію Стьюдента

;

так само для інших коефіцієнтів:

; ; ;

; ; ;

.

Знаходимо табличне значення критерію Стьюдента, якщо f₀ = N(m – 1) = 8(2 – 1) = 8. Таблиця значень критерію Стьюдента для рівня значущості q = 0,05 наведена в додатку 2:

t_T (0,05; 8) = 2,31.

Виконуємо оцінювання значущості по кожному коефіцієнту та робимо висновки:

для b₀ 32,577 > 2,31 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁ 3,249 > 2,31 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₂ 0,514 < 2,31 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₃ 0,135 < 2,31 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₁₂ 0,832 < 2,31 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₁₃ 0,402 < 2,31 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₂₃ 4,99 > 2,31 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁₂₃ 0,576 < 2,31 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий.

3) Записати остаточне рівняння регресії.

Записуємо в чисельному вигляді рівняння регресії зі значущими коефіцієнтами

33,326 – 3,324x₁ – 5,114x₂x₃ .

4) Визначити розрахункове значення в кожній точці факторного простору за отриманим рівнянням регресії.

Розраховуємо значення для кожного рядка матриці планування з врахуванням значень факторів (+1 або -1) за отриманим рівнянням регресії.

Для першого досліду (перший рядок и = 1):

33,326 – 3,324· (+1) – 5,114· (+1) = 24,888;

для другого (и = 2): 33,326 – 3,324· (-1) – 5,114· (+1) = 31,536;

для и = 3: 33,326 – 3,324· (+1) – 5,114· (-1) = 35,116;

для и = 4: 33,326 – 3,324· (-1) – 5,114· (-1) = 41,764;

для и = 5: 33,326 – 3,324· (+1) – 5,114· (-1) = 35,116;

для и = 6: 33,326 – 3,324· (-1) – 5,114· (-1) = 41,764;

для и = 7: 33,326 – 3,324· (+1) – 5,114· (+1) = 24,888;

для и =8: 33,326 – 3,324· (-1) – 5,114· (+1) = 31,536.

Отримані значення записуємо в стовпець таблиці 2.

Таблиця 2.3.

№	Матриця планування	Результати експерт-ту	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У1	У2				(∆)2
									24,3	27,6	25,95	5,445	24,888
		-			-1	-1		-1	29,8	32,7	31,25	4,205	31,536
			-		-1		-1	-1	31,2	38,0	34,6	23,12	35,116
		-	-			-1	-1		39,1	42,8	40,95	6,845	41,764
				-		-1	-1	-1	34,5	39,12	36,81	10,672	35,116
		-		-	-1		-1		40,4	42,4	41,4		41,764
			-	-	-1	-1			22,38	22,92	22,65	0,146	24,888
		-	-	-				-1	30,3	35,7		14,58	31,536

5) Розрахувати квадратичне відхилення розрахункового значення від середнього .

Використовуємо формулу та значення відповідних стовпців таблиці 2. Для першого рядка отримуємо (25,95 – 24,888)² = 1,129; записуємо результат в стовпець таблиці 2. Результати розрахунків для інших рядків наведені в таблиці 2.

Таблиця 2.4.

№	Матриця планування	Результати експерт-ту	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У1	У2
									24,3	27,6	25,95	5,445	24,888	1,129
		-			-1	-1		-1	29,8	32,7	31,25	4,205	31,536	0,082
			-		-1		-1	-1	31,2	38,0	34,6	23,12	35,116	0,266
		-	-			-1	-1		39,1	42,8	40,95	6,845	41,764	0,663
				-		-1	-1	-1	34,5	39,12	36,81	10,672	35,116	2,870
		-		-	-1		-1		40,4	42,4	41,4		41,764	0,133
			-	-	-1	-1			22,38	22,92	22,65	0,146	24,888	5,009
		-	-	-				-1	30,3	35,7		14,58	31,536	2,143

6) Виконати перевірку адекватності отриманого рівняння регресії за критерієм Фішера. Зробити висновок.

Адекватність отриманого рівняння регресії перевіряється за критерієм Фішера

F_P < F_T (q, f_аd , f₀) ; (8)

де F_P – розрахункове значення критерію Фішера; F_T (q, f_аd , f₀) – табличне значення критерію Фішера, яке обирається в залежності від q, f₀ та f_аd – числа ступенів вільності дисперсії адекватності, f_аd = N – l , l – число членів рівняння регресії, що залишились після оцінювання значущості коефіцієнтів.

Якщо умова виконується, то отриманий адекватний математичний опис (тобто рівняння регресії адекватно описує досліджуваний процес). Якщо умова не виконується, то необхідно врахувати новий фактор, або зменшити інтервал варіювання факторів.

Розрахункове значення критерію Фішера визначається за формулою

; (9)

де – дисперсія адекватності; визначається за формулою

. (10)

Визначаємо число членів рівняння регресії, що залишились після оцінювання значущості коефіцієнтів, l = 3. Користуючись даними таблиці 2, розраховуємо значення дисперсії адекватності

.

Розраховуємо значення критерію Фішера

.

Знаходимо табличне значення критерію Фішера, якщо f_аd = N – l = 8-3 = 5; f₀ = 8. Таблиця значень критерію Фішера для рівня значущості q = 0,05 наведена в додатку 3:

F_T (0,05; 8; 5) = 3,6875.

Виконуємо перевірку та робимо висновок:

0,587 < 3,6875 – умова виконується, рівняння регресії адекватне.

Виконання завдання 3.

1) Виконати перетворення факторів х_і до реальних (фактичних) величин Х_і за відповідними чисельними формулами переходу кожного фактора.

Кодування факторів здійснюється за формулою

. (11)

Використовуємо значення Х₁₀ та DХ₁, які отримані в п.1 завдання 1. Тоді

; ; .

2) Підставити отримані вирази в рівняння регресії.

У = 33,326 – 3,324· – 5,114· · .

3) Виконати необхідні спрощення та отримати математичну залежність цільової функції У від параметрів процесу Х₁, Х₂, Х₃.

У = 33,326 – 0,2216·(X₁ - 30) – 0,0194·(X₂ - 220)·(X₃ - 10) =

= 33,326 – 0,2216·X₁ + 6,648 – 0,0194·X₂ ·X₃ + 4,268·X₃ + 0,194·X₂ – 42,68 ;

або остаточно

У = -2,706 – 0,2216 ·X₁ + 0,194·X₂ + 4,268·X₃ – 0,0194·X₂ ·X₃ .

Висновок. В результаті проведеного аналізу експериментальних даних отримана математична залежність, що адекватно описує досліджуваний процес. За допомогою цієї залежності можна прогнозувати значення змінної У за будь-якими значеннями факторів.

Наприклад, необхідно визначити значення У, якщо Х₁ = 40 Н·м; Х₂ = 200 В; Х₃ = 8 А.

У = -2,706 – 0,2216 ·40 + 0,194 ·200 + 4,268 ·8 – 0,0194·200 ·8 = 30,334 (с^-1).

Таким чином, за умов Х₁ = 40 Н·м; Х₂ = 200 В; Х₃ = 8 А очікуване значення цільової функції дорівнюватиме 30,334 с^-1 .

Приклад 2.

Початкові дані: Х₁₀ = 20 ºС; Х₂₀ = 35 ºС; Х₃₀ = 24 м³;

DХ₁/Х₁₀ = 25%, DХ₂/Х₂₀ = 20%; DХ₃/Х₃₀ = 50%.

Досліди дублювалися в одній (нульовий) точці плану N₀ = 3, тобто в центрі плану.

Результати окремих спостережень в центрі плану:

Y₀₁ = 71,2; Y₀₂ =74,3; Y₀₃ =78,1 (Вт).

Результати експериментів

u	х0	х1	х2	х3	хіхj	Yu (Вт)
	+1	+1	+1	+1
	+1	-1	+1	+1
	+1	+1	-1	+1
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	+1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	-1	-1

Виконання завдання 1.

1) Розрахувати мінімальне та максимальне значення кожного фактора (параметра) в реальних (фактичних) одиницях вимірювання за умови, що значення Х_і0 задано в реальних одиницях; позначити їх Х_{і мін} та Х_{і мах}.

Визначаємо значення інтервалу варіювання кожного фактора:

DХ₁ = Х₁₀ ·DХ₁/Х₁₀ = 20·25/100 = 20 ·0,25 = 5 (ºС);

DХ₂ =35 ·0,2 = 7 (ºС);

DХ₃ = 24 ·0,5 = 12 (м³).

Розраховуємо значення Х_{і мін} та Х_{і мах}:

Х_{1 мін} = Х₁₀ – DХ₁ = 20 – 5 = 15 (ºС); Х_{1 мах} = Х₁₀ +DХ₁ = 20 + 5 = 25 (ºС).

Х_{2 мін} = Х₂₀ – DХ₂ = 35 – 7 = 28 (ºС); Х_{2 мах} = Х₂₀ +DХ₂ = 35 + 7 = 42 (ºС).

Х_{3 мін} = Х₃₀ – DХ₃ = 24 – 12 = 12 (м³); Х_{3 мах} = Х₃₀ +DХ₃ = 24 + 12 = 36 (м³).

2) Скласти робочу матрицю експерименту. Позначити її «Таблиця 1»

Таблиця 1.

Робоча матриця експерименту

№ досліду	Х1 (ºС )	Х2 (ºС)	Х3 (м3)	Y (Вт)

3) Скласти розширену матрицю планування типу 2³ та результатів розрахунків з врахуванням умов проведення паралельних дослідів. Позначити «Таблиця 2».

В даному випадку поле результатів експерименту складається з одного стовпця.

Таблиця 2.

Матриця планування і результати розрахунків

№ д-у	Планування	Рез.експ.	Розрахунки
х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У =		( - )2
		-1			-1	-1		-1
			-1		-1		-1	-1
		-1	-1			-1	-1
				-1		-1	-1	-1
		-1		-1	-1		-1
			-1	-1	-1	-1
		-1	-1	-1				-1

4) Розрахувати середнє значення в паралельних дослідах.

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

5) Розрахувати значення порядкової дисперсії відтворення .

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

6) Виконати перевірку однорідності дисперсій за критерієм Кохрена.

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

7) Розрахувати значення коефіцієнтів рівняння регресії.

Коефіцієнти при факторах розраховуються за формулою (2). Коефіцієнти, що враховують сумісну дію факторів та використовуються для створення нелінійного рівняння регресії, - за формулою (3).

Виконуємо розрахунок коефіцієнта b₀ при умовному факторі х₀ (це вільний коефіцієнт рівняння регресії)

Розраховуємо коефіцієнти при факторах х_і (перемножуємо по рядкам и елементи відповідного стовпця х_і та стовпця )

[1·50 + (-1)·40 + 1·80 + (-1)·60 + 1·7 + (-1)·10 + 1·50 + (-1)·93] = -2.

[1·50 + 1·40 + (-1)·80 + (-1)·60 + 1·7 + 1·10 + (-1)·50 + (-1)·93] = -22.

[1·50 + 1·40 + 1·80 + 1·60 + (-1)·7 + (-1)·10 + (-1)·50 + (-1)·93] = 8,75.

Розраховуємо коефіцієнти при сумісної дії факторів

[1·50 + (-1)·40 + (-1)·80 + 1·60 + 1·7 + (-1)·10 + (-1)·50 + 1·93] = 3,75.

[1·50 + (-1)·40 + 1·80 + (-1)·60 + (-1)·7 + 1·10 + (-1)·50 + 1·93] = 9,5.

[1·50 + 1·40 + (-1)·80 + (-1)·60 + (-1)·7 + (-1)·10 + 1·50 + 1·93] = 9,5.

[1·50 + (-1)·40 + (-1)·80 + 1·60 + (-1)·7 + 1·10 + 1·50 + (-1)·93] = -6,25.

8) Записати отримане рівняння регресії в чисельному вигляді.

Використовуємо отримані значення коефіцієнтів для запису рівняння регресії у вигляді (4) та отримуємо наступний вираз:

48,75 – 2x₁ – 22x₂ + 8,75x₃ + 3,75x₁x₂ + 9,5x₁x₃ + 9,5x₂x₃ – 6,25x₁x₂x₃ .

Виконання завдання 2.

1) Розрахувати дисперсію відтворення (помилку усього експерименту).

Дисперсія відтворення для всього експерименту для випадку проведення паралельних дослідів в центрі плану розраховується за формулою (1).

Для її визначення розраховуємо середнє значення в паралельних дослідах в центрі плану

;

тоді отримуємо значення дисперсії відтворення

.

2) Виконати оцінювання значущості коефіцієнтів рівняння регресії за критерієм Стьюдента. Зробити висновок.

Значущість коефіцієнтів рівняння регресії перевіряється за критерієм Стьюдента (5), розрахункове значення критерію Стьюдента - за формулою (6), середньоквадратичне відхилення коефіцієнтів регресії – за формулою (7).

Розраховуємо значення середньоквадратичного відхилення коефіцієнтів:

.

Для коефіцієнта b₀ визначаємо розрахункове значення критерію Стьюдента

;

так само для інших коефіцієнтів:

; ; ;

; ; ;

.

Знаходимо табличне значення критерію Стьюдента, якщо

f₀ = N₀ – 1 = 3 – 1 = 2;

t_T (0,05; 2) = 4,3.

Виконуємо оцінювання значущості по кожному коефіцієнту та робимо висновки:

для b₀ 52,139 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁ 2,139 < 4,3 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₂ 23,529 < 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₃ 9,358 < 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁₂ 4,011 < 4,3 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₁₃ 10,16 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₂₃ 10,16 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁₂₃ 6,685 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий.

3) Записати остаточне рівняння регресії.

Записуємо в чисельному вигляді рівняння регресії зі значущими коефіцієнтами

48,75 – 22x₂ + 8,75x₃ + 9,5x₁x₃ + 9,5x₂x₃ – 6,25x₁x₂x₃ .

4) Визначити розрахункове значення в кожній точці факторного простору за отриманим рівнянням регресії.

Розраховуємо значення для кожного рядка матриці планування з врахуванням значень факторів (+1 або -1) за отриманим рівнянням регресії.

Для першого досліду (перший рядок и = 1):

48,75 – 22· (+1) + 8,75· (+1) + 9,5· (+1) + 9,5· (+1) – 6,25· (+1) = 48,25 .

для и = 2: 48,75 –22·(+1) +8,75·(+1) +9,5· (-1) +9,5· (+1) –6,25· (-1) = 41,75;

для и = 3: 48,75 –22·(-1) +8,75·(+1) +9,5· (+1) +9,5· (-1) –6,25· (-1) = 85,75;

для и = 4: 48,75 –22·(-1) +8,75·(+1) +9,5· (-1) +9,5· (-1) –6,25· (+1) = 54,25;

для и = 5: 48,75 –22· (+1) +8,75· (-1) +9,5· (-1) +9,5· (-1) –6,25· (-1) = 5,25;

для и = 6: 48,75 –22·(+1) +8,75·(-1) +9,5· (+1) +9,5· (-1) –6,25· (+1) = 11,75;

для и = 7: 48,75 –22·(-1) +8,75· (-1) +9,5· (-1) +9,5· (+1) –6,25· (+1) = 55,75;

для и =8: 48,75 –22·(-1) +8,75· (-1) +9,5· (+1) +9,5· (+1) –6,25· (-1) = 87,25.

Отримані значення записуємо в стовпець таблиці 2.

Таблиця 2.1.

Матриця планування і результати розрахунків