Кванттық үлестірілулер

Кванттық статистиканың негізгі есебі – барлық бөлшектер жүйесінің ең ықтимал күйін сипаттайтын параметрлердің орташа мәнін анықтау және осы параметрлерге сәйкес таралу функцияларын табу.

Бөлшектердің Кванттық үлестірілулер - student2.ru энергия бойынша кванттық үлестірілуін қарастырамыз. Бұл үлестірілу энергиясы Кванттық үлестірілулер - student2.ru бір күйдегі бөлшектердің орташа санын анықтайтын, Кванттық үлестірілулер - student2.ru функция түрінде жазылады

Фермиондар үшін Кванттық үлестірілулер - student2.ru , (13.1)

Бозондар үшін Кванттық үлестірілулер - student2.ru , (13.2)

мұндағы Кванттық үлестірілулер - student2.ru – химиялық потенциал.

Бұл үлестірулердің ерекшеліктері:

– фермиондар үшін Кванттық үлестірілулер - student2.ru функциясының мәні бірден артық болмауы керек, ал бозондар үшін кез келген мән бола алады;

– бозондар үшін (13.2) өрнектегі Кванттық үлестірілулер - student2.ru мәні оң сан болуы мүмкін емес;

– егер Кванттық үлестірілулер - student2.ru болса, онда екі үлестірілудің де алымдарындағы бірлікті ескермеуге болады және формула Болцман үлестірілуіне өтеді

Кванттық үлестірілулер - student2.ru , (13.3)

мұндағы Кванттық үлестірілулер - student2.ru – нормалау коэффициенті.

Бұл жағдайда бөлшектердің түрі өзгермейді (бозон бозон болып, фермион фермион болып қалады), формула сәйкес келеді.

13.3 Металдардағы электрондар үшін Ферми-Дирак үлестірілуі

Классикалық электронды теорияда металдардың көптеген қасиеттері еркін электрондар моделімен түсіндіріледі. Кванттық физикада еркін электрондары жуықтап тік бұрышты потенциалды шұңқырдағы фермиондардан тұратын идеал газ ретінде қарастыруға болады. Электрондардың энергетикалық спектрі дискретті, бірақ энергетикалық деңгейлері тығыз орналасқандықтан оларды квазиүздіксіз деп алуға болады. Абсолют нөл Кванттық үлестірілулер - student2.ru температурадағы электронды газды қарастырамыз.

Кванттық үлестірілулер - student2.ru

13.2 сурет

Бұл жағдайда

Кванттық үлестірілулер - student2.ru , егер Кванттық үлестірілулер - student2.ru ,

Кванттық үлестірілулер - student2.ru , егер Кванттық үлестірілулер - student2.ru .

Суретте (13.2 суретке қараңыз) тұтас сызықпен f функциясының сызбасы көрсетілген. Сызбада энергиясы Кванттық үлестірілулер - student2.ru барлық күйлер толтырылған, ал энергиясы Кванттық үлестірілулер - student2.ru күйлер бос. Қарастырылып отырған жағдайда Кванттық үлестірілулер - student2.ru шамасын Ферми энергиясы немесе Кванттық үлестірілулер - student2.ru Ферми деңгейі деп атайды. Ферми энергиясы - Кванттық үлестірілулер - student2.ru жағдайда металдардағы еркін электрондардың энергиясының максимал мәні

Кванттық үлестірілулер - student2.ru , (13.4)

мұндағы Кванттық үлестірілулер - student2.ru - электрон массасы; Кванттық үлестірілулер - student2.ru - металдағы электрондардың концентрациясы.

Металдар үшін: Кванттық үлестірілулер - student2.ru ≈ 5 эВ. Еркін электрондардың орташа энергиясы есептеулер бойынша

Кванттық үлестірілулер - student2.ru . (13.5)

Классикалық газдарда мұндай орташа энергияға Кванттық үлестірілулер - student2.ru ~ Кванттық үлестірілулер - student2.ru температура сәйкес келер еді. Бұл температура кез келген металдың балқу температурасынан бірнеше есе артып кетеді. Ферми деңгейіндегі электрондардың жылдамдығы Кванттық үлестірілулер - student2.ru шамасында.

Электронды газдың мұндай күйі (13.2 суреттегі Кванттық үлестірілулер - student2.ru сызбасының тұтас қисық) толығымен азғындалған газ деп аталады.

Ферми-Дирак үлестірілуі Кванттық үлестірілулер - student2.ru жағдайда еркін элетрондар мен атомдардың жылулық қозғалысының әсерлесу салдарынан Ферми деңгейінен (13.2 суреттегі Кванттық үлестірілулер - student2.ru сызбасының пунктирлі қисық) асып кетеді. Асып кету аймағы шамамен жылулық қозғалыстың kT энергиясымен шамалас. Сондықтан тек Ферми деңгейіне жанасып жатқан ең жоғарғы деңгейлердегі электрондар ғана өзінің энергияларын өзгерте алады.

Кванттық үлестірілулер - student2.ru

13.3 сурет

Электронды газ потенциалды шұңқырда орналасқан деп алып, электрондардың үлестірілуін қарастырамыз.

A

Мұндағы Кванттық үлестірілулер - student2.ru -потенциалды шұңқырдың тереңдігі. Кванттық үлестірілулер - student2.ru – Ферми деңгейі, бұл деңгейден төменгі аймақ еркін электрондармен толтырылған, ал электрондардың металдан шығу жұмысының жаймасы стрелкамен көрсетілген.

Суретте көрсетілгендей, электрондардың металдан шығу жұмысы классикалық физикадағыдай, потенциалды шұңқырдың түбінен бастап емес, электрондармен толтырылған ең жоғарғы энергетикалық деңгейден бастап есептелінеді екен.

Ферми энергиясы температураға тәуелді болғандықтан, шығу жұмысы да температураға тәуелді болады. Электрондардың кинетикалық энергиясы потенциалды шұңқырдың түбінен бастап есептелінеді.

Металлдардың электр өткізгіштігінің кванттық теориясы классикалық электронды теориядан алынған

Кванттық үлестірілулер - student2.ru .

Меншікті электр өткізгіштік өрнегі

Кванттық үлестірілулер - student2.ru . (13.6)

Бұл өрнек те классикалық теориядан алынған өрнекке ұқсағанымен одан едәуір айырмашылығы бар. Өрнектің алымындағы Кванттық үлестірілулер - student2.ru орташа жылулық жылдамдықтың орнында Кванттық үлестірілулер - student2.ru – электроны бар жоғарғы энергетикалық деңгейдегі электрон жылдамдығы тұр. Бұл жылдамдық металдың температурасына тәуелді емес. Толқынның кристалдық тор түйіндерінен шашыраусыз өтуінің орташа қашықтығы - Кванттық үлестірілулер - student2.ru . Ол жүздеген тор периодына тең болуы мүмкін. Температураның артуына байланысты электронды толқындардың тордың жылулық тербелістерінен шашырауы артуы мүмкін, сондықтан Кванттық үлестірілулер - student2.ru шамасы азаяды. Бөлме температурасында Кванттық үлестірілулер - student2.ru шамасы температураға кері пропорционал Кванттық үлестірілулер - student2.ru ~ Кванттық үлестірілулер - student2.ru , ол тәжірибе нәтижесімен сәйкес келеді.

Кванттық және классикалық статистикалардың айырмашылықтары төменгі температурада және электрондардың үлкен концентрациясында, яғни азғындалған күйде айқын байқалады. Металдағы электронды газ тығыздығы өте үлкен Кванттық үлестірілулер - student2.ru , тіпті кәдімгі температурада да бұл газ азғындалған күйде болады.

Наши рекомендации