Задача ДС.5. Динамічний аналіз механічної системи, елементи якої здійснюють поступальний, обертальний та плоский рухи

Визначити прискорення тіл, натяги мотузок, якими зв’язані тіла механічної системи та реакцію в блоці 2. Схеми приведені на рис. 1 - 10, маси тіл, їх моменти інерції, розміри тіл, кути, які складають поверхні до горизонту, коефіцієнт тертя кочення між похилою площиною та тілом 3 та коефіцієнт тертя ковзання між похилою площиною та тілом 1 наведені в таблиці ДС.5.

Тіла починають рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння.

Кочення тіла 3 відбувається без ковзання. Силами тертя у підшипниках блоку 2 та масою мотузок нехтувати. Мотузки вважати нерозтяжними та розташованими паралельно відповідним похилим площинам.

Задачу розв’язати, записуючи диференціальні рівняння руху кожного тіла системи.

	2

Таблиця ДС.5 – вихідні дані для задачі ДС.5

№	Рис.	, кг	кг	, кг	, кг	, кг∙м2	, кг∙м2	, см	, см	, см	, см	,°	,°	, см
					–	0,04	0,15				–			0,02	0,1
						0,08	0,04			–	–		–	–	0,12
					–	0,07	0,03	–	–					0,03	0,2
						0,05	0,06	–	–				–	–	0,15
					–	0,05	0,04				–			0,02	0,15
						0,03	0,002			–	–		–	–	0,1
					–	0,08	0,05	–	–					0,015	0,15
						0,04	0,02			–	–		–	–	0,2
					–	0,1	0,05				–			0,02	0,15
						0,05	0,04	–	–				–	–	0,12
					–	0,02	0,02				–			0,025	0,15
						0,09	0,06			–	–		–	–	0,1
					–	0,05	0,15	–	–					0,02	0,1
						0,06	0,1	–	–				–	–	0,12
					–	0,2	0,2				–			0,015	0,1
						0,05	0,08			–	–		–	–	0,15
					–	0,04	0,24	–	–					0,015	0,1
						0,03	0,1			–	–		–	–	0,1
					–	0,08	0,2				–			0,02	0,1
						0,04	0,09	–	–				–	–	0,14
					–	0,05	0,16				–			0,03	0,18
						0,09	0,05			–	–		–	–	0,15
					–	0,06	0,07	–	–					0,02	0,15
						0,04	0,07	–	–				–	–	0,2
					–	0,06	0,05				–			0,025	0,15
						0,04	0,03			–	–		–	–	0,2
					–	0,09	0,06	–	–					0,015	0,2
						0,05	0,01			–	–		–	–	0,1
					–	0,1	0,06				–			0,02	0,1
						0,06	0,03	–	–				–	–	0,15

Фізичний маятник

Рис. 6.1

Фізичний маятник – це будь-яке тіло, що підвішене у точці, яка не співпадає з центром його маси, та має можливість здійснювати коливання навколо цієї точки.

Розглянемо таке тіло, яке підвішене в точці та відхилене від положення рівноваги на кут (рис. 6.1). В цьому випадку сила тяжіння , яка прикладена до центру маси тіла (точка ), створює момент сили відносно точки підвішування

. (6.1)

Цей момент намагається повернути тіло навколо точки до положення рівноваги (у протилежну сторону від відхилення). Таким чином, основне рівняння обертального руху може бути записано у вигляді

, (6.2)

де – момент інерції тіла відносно точки підвішування.

Вираз (6.2) - нелінійне диференціальне рівняння, розв’язок якого є окремою математичною задачею. Проте для малих кутів відхилення рівняння (6.2) стає лінійним і зводиться до відомого рівняння гармонічних коливань

, (6.3)

в якому

, (6.4)

- частота коливань, з якою зв’язаний період коливань

. (6.5)

В останній формулі

(6.6)

– так звана зведена довжина фізичного маятника, яка дорівнює довжині математичного маятника з тим самим періодом коливань.

Таким чином, щоб знайти період (чи частоту) малих коливань фізичного маятника, треба знати масу тіла , відстань між точкою підвішування та центром маси тіла і момент інерції тіла відносно точки підвішування.

Контрольні запитання

1. Що таке фізичний маятник?

2. Запишіть диференціальне рівняння руху фізичного маятника.

3. За яких умов рівняння руху фізичного маятника зводиться до рівняння гармонічних коливань?

4. Запишіть розв’язок диференціального рівняння (6.3).

5. Що таке зведена довжина фізичного маятника?

6. Які величини потрібно знати, щоб визначити період коливань фізичного маятника?