Физические основы механики
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Механика – это наука о простейших формах движения материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда существует в пространстве и во времени. Пространство и время являются основными формами существования материи. Предметом классической механики является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Механика подразделяется на 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.
При решении задач по кинематике студент должен уметь записывать закон движения материальной точки, определяющий ее положение в любой момент времени. Используя математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени и решать обратные задачи.
Для решения задач динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела студент должен уметь составлять их уравнение движения, выражающее второй закон Ньютона. Для этого необходимо: 1) сделать чертеж и изобразить на нем все силы, действующие на тело; 2) записать уравнение движения в векторной форме; 3) выбрать оси координат и найти проекции уравнения на выбранные оси; 4) если в задаче рассматривается движение системы связанных между собой тел, то уравнение движения надо записать для каждого тела в отдельности; кроме того, надо записать уравнения, выражающие кинематические условия, связывающие ускорения отдельных тел системы; 5) число полученных уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Задачи на динамику охватывают также такие вопросы, как закон движения центра масс механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы и ее выражение через интеграл, связь кинетической энергии механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон сохранения и изменения механической энергии. Тщательного изучения и понимания требуют вопросы о поле как форме материи, осуществляющей взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной энергии материальной точки во внешнем поле и потенциальной энергии механической системы.
В задачах на кинематику и динамику вращательного движения твердого тела главное внимание необходимо уделить изучению соотношений между линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента инерции тела, закона сохранения момента количества движения и механической энергии.
Задачи на механические колебания охватывают такие вопросы, как определение амплитуды, скорости, ускорения, энергии при механических колебаниях. Волновые процессы представлены задачами, в которых определяются период, длина, скорость распространения, энергия и объемная плотность энергии механических волн.
В контрольную работу включены задачи по элементам теории относительности, которые охватывают следующие вопросы: относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границу применимости, и что они получаются как следствие теории относительности.
Основные законы и формулы
| Мгновенная скорость |  или  |
| Мгновенное ускорение |  |
| Тангенциальное ускорение |  |
| Нормальное ускорение |  |
| Полное ускорение |  ;  |
| Уравнения равнопеременного поступательного движения |   |
| Угловая скорость |  |
| Угловая скорость для равномерного вращательного движения |  или w=2p×n |
| Угловое ускорение |  |
| Уравнения равнопеременного вращательного движения |   |
| Связь между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения | S=jR, u=wR  ,  |
| Второй закон Ньютона для поступательного движения |  |
| Второй закон Ньютона для поступательного движения при m=const |  |
| Импульс материальной точки массы m, движущейся со скоростью u |  |
| Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел |  |
| Сила трения (скольжения) | Fтр=kN |
| Работа переменной силы на пути s |  |
| Мощность |  |
| Сила упругости | Fупр=-kDx |
| Сила гравитационного взаимодействия |  |
| Потенциальная энергия упруго- деформированного тела |  |
| Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела, находящегося в однородном поле тяжести | П=mgh |
| Кинетическая энергия тела |  |
| Закон сохранения механической энергии | Е=К+П=const |
| Момент инерции материальной точки |  |
| Моменты инерции некоторых тел массой m: | |
| сплошного цилиндра (диска) радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра |  |
| полого цилиндра радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра |  |
| шара радиуса R относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара |  |
| тонкого стержня длиной l , если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через центр масс стержня |  |
| тонкого стержня длиной l , если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через один из концов стержня |  |
| тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера) |  |
| Момент силы относительно оси вращения |  |
| Основное уравнение динамики вращательного движения |  |
| Основное уравнение динамики вращательного движения при J=const |  |
| Момент импульса твердого тела относительно оси вращения |  |
| Закон сохранения момента импульса для изолированной системы |  |
| Кинетическая энергия вращающегося тела |  |
| Работа при вращательном движении | dA=Mdj |
| Зависимость длины тела и времени от скорости в релятивистской механике |   |
| Зависимость массы частицы от скорости u, сравнимой со скоростью света |  |
| Энергия покоя частицы |  |
| Полная энергия частицы, движущейся со скоростьюu, сравнимой со скоростью света |  |
| Кинетическая энергия релятивистской частицы |  |
| Теорема сложения скоростей в теории относительности |  |
| Уравнение гармонического колебания |  |
| Скорость колеблющейся материальной точки |  |
| Ускорение колеблющейся материальной точки |  |
| Период колебаний пружинного маятника |  |
| Период колебаний математического маятника |  |
| Полная энергия при гармоническом колебании |  |
| Длина волны |  |
| Уравнение бегущей волны |  |
Примеры решения задач
1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct3 , где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c3. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с.
| Дано: | Решение: |
| x=A+Bt+Ct3 А=3 м В=2,5 м/с С=0,25м/c3 t1=1 с t2=6 с | Средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, тогда модуль средней скорости равен:  , где  =3+2,5×1+0,25×13=5,75 м |
| Найти: <u> - ? <а> - ? |  =3+2,5×6+0,25×63=72 м Средняя скорость:  |
Среднее ускорение это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, тогда модуль среднего ускорения равен:  , где    Среднее ускорение:  Ответ:  ;  . |
2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
. Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
| Дано: | Решение: |
 r=0,1 м t=4 с | Угловая скорость w вращающегося тела равна первой производной от угла поворота от времени:  |
| Найти:а - ? | В момент времени t=4 с: w=20-4×4=4 рад/с |
 | Угловое ускорение e вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:  рад/с2 Материальная точка, принадлежащая телу, движется по окружности радиуса r. Движение материальной точки ускоренное с постоянным угловым ускорением (e=const). Следовательно, тангенциальное ускорение аt будет посто- янным, а нормальное ускорение аn непрерывно возрастаетсо временем, т.е. вектор полного ускорения точки со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Полное ускорение точки, движущейся по окружности, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения  , направленного по касательной к траектории и нормального ускорения  , направленного к центру кривизны траектории. Модуль полного ускорения:  (1) |
Тангенциальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой: аt=e×r, (2) где e - угловое ускорение тела. Нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой: аn=w2r, (3) где w - угловая скорость тела. Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем  (4) | |
Подставив найденные значения w и e и заданное значение r в формулу (4), получим:  м/с2 Направление полного ускорения определится, если найти угол, который вектор ускорения образует с нормалью к траектории (см. рис.):  или  (5) По формулам (2) и (3) найдем значения  и  : =-0,4 м/с2, =1,6 м/с2. Подставив эти значения и значение полного ускорения в формулы (5), получим: cosa=0,97, sina=0,24. | |
| Пользуясь тригонометрическими таблицами или калькулятором, найдем значение угла a: a»14°. Ответ: a=1,65 м/с2, a»14°. |
3. Автомашина массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути, и за 5 мин преодолевает путь S=5 км. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность.
| Дано: | Решение: |
| m=1,8 т=1800 кг h=3 м l=100 м t=5 мин=300 с S=5 км=5000 м m=0,1 |  Сделаем рисунок. Покажем, какие силы действуют на автомашину. |
| Найти: A-? P-? | Уравнение движения автомашины в векторной форме:  |
Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y (см. рис.): ox:  oy:  Из последнего  , тогда  . Сила тяги двигателя автомашины будет равна:  Работа, совершаемая двигателем автомашины:  , где  ,  ,  Подставляем числовые значения и получаем:  = =12,7 МДж Средняя мощность, развиваемая двигателем автомашины:  кВт | |
Максимальная мощность, развиваемая двигателем автомашины:  , где  Подставляем числовые значения и получаем:  84 кВт Ответ: A=12,7 МДж; áPñ=42 кВт; Pmax=84 кВт. |
4. Шар массой m1=3 кг движется со скоростью u1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
| Дано: | Решение: |
| m1=3 кг u1=2 м/с m2=5 кг | Работа будет равна изменению кинетической энергии системы:  , (1) |
| Найти: A - ? | где кинетическая энергия шаров до столкновения:  (2) |
Она равна кинетической энергии первого шара, т.к. второй шар покоится.  (3) кинетическая энергия шаров после столкновения. Здесь скорость u – скорость системы двух шаров после столкновения. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса:   (4) Из выражений (1) – (4) окончательно получаем:  Подставляем числовые значения и получаем:  Дж Ответ: А=3,74 Дж |
5. Камень брошен со скоростью u0=15 м/с под углом a=60° к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг.
| Дано: | Решение: |
| u0=15 м/с a=60° t=1 с m=0,2 кг | Движение камня сложное, криволинейное: вдоль оси OX равномерное с постоянной скоростью  , (1) а вдоль оси OY равнопеременное с постоянным ускорением g=9,8 м/с2:. |
| Найти: Wк - ? Wп - ? W - ? |  (2) |
 | |
Через t=1 с скорость камня будет равна:  (3) | |
Кинетическая энергия камня через t=1 с будет равна:  Найдем на какой высоте окажется камень через t=1 с:  Тогда потенциальная энергия камня в этот момент равна:  Полная механическая энергия камня через t=1 с равна:  В верхней точке траектории  , следовательно, полная скорость в этой точке равна:  . Тогда кинетическая энергия в верхней точке траектории равна:  Чтобы найти потенциальную энергию в верхней точке траектории, найдем максимальную высоту подъема. | |
Для этого найдем время подъема. В верхней точке траектории , следовательно,  Отсюда получаем время подъема:  Зная время подъема, можно найти максимальную высоту подъема:  Найдем потенциальную энергию в верхней точке траектории: | |
 Полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна:  Видно, что выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна полной механической энергии камня через 1 с после начала полета. Ответ: Wк=5,6 Дж; Wп=16,9 Дж; W=22,5 Дж. |
6. Две гири с массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m=1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
| Дано: | Решение: |
| m1=2 кг m2=1 кг m=1 кг | Запишим уравнения движения гирь:  |
| Найти: a - ? Т1 - ? Т2 - ? |  |
 | Запишим эти уравнения в проекциях на ось Y:  (1)  (2) Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, и разность сил натяжения будет создавать момент сил, вращающий блок. Запишим основной закон динамики:  , (3) |
где  , а  - момент инерции блока. Решая (1) - (3) совместно, найдем  м/с2 (4) | |
Подставляя (4) в (1) и (2), получим  =14 Н  =12,6 Н Ответ: a=2,8 м/с2; T1=14 Н; T2=12,6 Н. |
7. Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n=1/6 с-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
| Дано: | Решение: |
| R=1,5 м m1=180 кг n=1/6 с-1 m2=60 кг | По закону сохранения момента импульса:  , (1) где Jпл, Jчел – моменты инерции платформы и стоящего в ее центре человека; w1 – угловая скорость платформы с |
| Найти: u - ? | человеком, стоящим в ее центре;  - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; w2 – угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением: u=w2R (2) Определив из уравнения (1) w2 и подставив полученное выражение в (2), будем иметь:  (3) |
Момент инерции платформы определим как для диска:  Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки:  ,  | |
| Угловая скорость платформы до перехода человека из центра на край платформы: w=2pn. Заменив в формуле (3) величины Jпл, Jчел, , и w2 их выражениями, получим: | |
  Подставляем числовые значения и получаем:  м/с Ответ: u=1 м/с. |
8. К пружине подвешен груз массой m=10 кг, который совершает колебания с амплитудой 5 см. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l=1,5 см, найти: частоту, период и циклическую частоту вертикальных колебаний пружины, жесткость пружины, полную энергию, максимальную скорость и максимальное ускорение.
| Дано: | Решение: |
| m=10 кг А=5 см=0,05 м F=9,8 Н l=1,5 см=0,015 м | Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид: , (1) где s – смещение маятника от положения равновесия; |
| Найти: n - ? T - ? w - ? k - ? W - ? umax - ? amax - ? | А – амплитуда колебаний; w=2pn – циклическая частота;  - частота колебаний; Т – период колебаний; j0 – начальная фаза. |
Из закона Гука F=kl найдем коэффициент жесткости пружины:  ;  653 Н/м Зная коэффициент жесткости пружины, найдем период колебаний груза на пружине:  ;  с Следовательно, частота и циклическая частота соответст венно равны: | |
;  Гц; w=2pn=2×3,14×1,25=7,85 с-1 | |
Скорость колебаний:  , (2) где umax=Аw - максимальная скорость колебаний. umax=0,05×7,85=0,4 м/с Ускорение маятника:  , (3) где  - максимальное ускорение.  м/с2 Полная энергия маятника:   Дж Ответ: k=653 Н/м;  Гц; Т=0,8 с; w=7,85 с-1; umax=0,4 м/с;  м/с2; W=0,77 Дж. |
9. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 0,75 м.