Бірмезгілділік ұғымының абсолютті сипаты.

=l ' .

Уақыт интервалының инварианттылығы.Уақыт интервалы Галилей түрлендірулерінің инварианты болып табылады:

Dt = t2 - t1 = t2 '-t1 '= Dt' .

Жылдамдықтар қосындысы. K' координаталар жүйесінде материялы нүкте қозғалып келе жатыр делік. Қозғалмайтын координаталар жүйесінде оның жылдамдығының проекциялары мына теңдіктермен беріледі:

Ux=Ux'+v, Uy=Uy', Uz=Uz'.

Бұлар классикалық механикадағы жылдамдықтарды қосудың формулалары болып табылады.

Үдеудің инварианттылығы. Осының алдындағы теңдіктерді екендігін есте ұстай отырып, дифференциалдасақ, мынаны табамыз:

dt = dt'

d 2 x dt 2

d 2 x'

= 2 ,

dt'

d 2 y dt 2

d 2 y'

= ,

dt'2

d 2 z dt 2

d 2 z'

= .

dt'2

Осы формулалар көрсеткендей, үдеу Галилей түрлендірулеріне қарасты

инвариантты болады.

Салыстырмалы теорияның негізін Эйнштейннің салыстырмалылық принципіжәне жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципідеп аталатын екі постулаты құрайды. Біріншісіне сәйкес, табиғаттың барлық заңдары барлық инерциялдық санақ жүйелерінде бірдей. Екі әлемдік нүктелердің арасындағы қашықтықтың квадраты (бұл қашықтықты кеңістікті-

уақытты интервалдеп атайды және DS

формуламен анықталады:

символымен белгілейді) мына

DS 2 =c2Dt 2 -Dx2 -Dy2 -Dz2 .

Лоренц түрлендірулері. Инерциялы екі санақ жүйесін қарастырайық та оларды К және K' деп белгілейік. K' жүйесі К жүйесіне қарасты V жылдамдығымен қозғалсын делік. x және x' остерін V векторы бойымен бағыттап, y және y', сонымен қоса z және z' остерін бір біріне параллелді деп жорамалдайық. Салыстырмалылық принципінің айтуына сай К және K' жүйелері мүлдем тең құқықты.

2-сурет

Галилей түрлендірулерінен жылдамдықтар қосындысы заңы шығады:

Ux = Ux'+v . (2)

Бұл заң жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципімен қарама- қайшылықта болады. Расында да, егер K' жүйесіндегі жарық сигналы V векторы бағытында с жылдамдығымен таралатын болса, онда (2) сәйкес, K жүйесіндегі сигнал жылдамдығы c+v тең болып шығады, яғни с-дан асып түседі. Бұдан шығатыны, Галилей түрлендірулері басқа формулалармен алмастырылулары қажеттігі туындайды. Осы формулаларды келтірейік:

+æ v ö

èø

x = x'+vt' ,

v2

y = y',

z = z',

t' ç ÷x'

c2

t =

. (3)

1-

c2

(3) формулаларының жиынтығы Лоренц түрлендірулеріатына ие.

Егер (6.3) теңдеуі штрихталған шамаларға қатысты шешілетін болса, K

жүйесінен K' жүйесіне өтуге керекті түрлендірулер формулалары пайда болады:

-æ v ö

x' = x - vt ,

v2

1-

c2

y' = y,

z' = z,

t

t' =

ç ÷x

è c2 ø

. (4)

v<<c жағдайында Лоренц түрлендірулерінің Галилей түрлендірулеріне өтетінін оңай түсінуге болады.

Түрлендірулердің инварианттары. Әрбір оқиғаға көңілдегі төртөлшемді кеңістікте ct, x, y, z координаталы әлемдік нүктені қатар қоюға болады. Бір оқиға ct, x1, y1, z1 координаталы, ал екіншісі – ct, x2, y2, z2 координаталы болсын

делік. Белгілерді енгізелік:

t2 - t1 = Dt,

x2 - x1 = Dx , т.т.

K жүйесіндегі интервал квадраты (6.1) формуласымен анықталады. K'

жүйесіндегі тап сол оқиғалардың арасындағы интервал квадраты мынаған тең:

DS'2 = c2Dt'2 -Dx'2 -Dy'2-Dz'2. (5)

формулаларына сай, ал одан әрі осы мәндерді (5) формуласына салсақ, онда

азғантай түрлендірулерден кейін көреміз, яғни,

DS '2 = c2Dt 2 - Dx2 - Dy2 - Dz2

екендігін

DS '2 =DS 2 .

Осылайша, интервал бір инерциялы санақ жүйесінен екіншісіне өткенде инвариантты болады.

Тура осылайша, меншікті уақыттың аралығы (денемен бірге қозғалатынсағат бойынша алынған уақыт осы дененің меншікті уақыты деп аталады да әдетте  әрпімен белгіленеді) оқиғалар арасындағы интервалға пропорционалды:

D = 1DS .

c

Интервал инвариант болып табылады. Демек, меншікті уақыт та инвариантты.

Релятивистік механикадағы жылдамдықтарды қосудың формуласы:

ux '+v

ux =

,

1+vux '

c2

uy =

1+vux '

c2

, uz =

1+vux '

c2

. (6)

v<<c болған жағдайда (6) арақатынастары классикалық механикадағы жылдамдықтарды қосудың формуласына айналады.

Қозғалыстың релятивистік теңдеуі:

æ ö

ç ÷

d ç moV

dt

÷= F .

Бұл теңдеу Ньютонның қозғалыс теңдеуінің жинақтау қорытындысы. Оны неғұрлым ыңғайлы етіп былай жазуға болады:

d p = F , dt

p = mV , m = mo .

m шамасы релятивистік масса, немесе жай ғана массадеп аталады; mo – тыныштық массасы; p релятивистік импульснемесе, жай ғана импульсделінеді.

Релятивистік жағдайдағы энергияның сақталу заңы:

moc

+ En

= const .

Потенциалдық энергияның En бейрелятивистік теориядағы мәні тура сол, ал

m c 2

E = o

шамасы дененің толық энергиясыдеп аталады. Дене тыныштық жағдайында тұрған кезде (v=0), ол

E0=moc2

энергиясына ие, ол тыныштық энергиясыдеп аталады.

Ерікті жылдамдықпен қозғалушы дененің Ek кинетикалық энергиясы

мынадай:

Ek = E - moc

æ

ç

2 ç

= moc ç

çç

è

ö

÷

- .

1 ÷

1- v

1÷

ø

c2 ÷÷

Релятивистік массаға арналған формуланы есте ұстай отырып

m = mo ,

толық энергияға арналған теңдікті мына түрде жазамыз:

E=mc2.

Бұл теңдік – физиканың ең іргелі заңдарының бірі болып табылады және масса мен энергия арасындағы арақатынас деп аталады, оны Эйнштейн анықтаған.

Релятивистік импульске арналған теңдеуден

p = moV

және толық энергия теңдеуінен E =

moc

v жылдамдығын алып тастасақ, импульср арқылы бөлшектің толық энергиясыналамыз:

E = c .

Лекция