Бор бойынша сутегі атомының спектрі. Электронның толық энергиясы.

Бордың бірінші постулаты бойынша атомда электрондардың белгілі бір стационар орбиталары бар. Бор стационар орбиталар үшін мына шарт орындалуы тиіс деп тұжырымдады:

m_erv=nħ

мұндағы n =1,2,3, ... . Бұл шарт бойынша стационар орбиталардағы электронның импульс моменті ħ Планк тұрақтысынан бүтін еселікке үлкен дискретті мәндерге ғана ие бола алады. Сонымен бірге Бор атом ядросының өрісінде қозғалып жүрген электронға Ньютонның екінші заңы мен Кулон заңын қолдануға болады деп есептеді. (Ал оның ұсынған өрнегі классикалық физикаға қарама-қайшы екенін ескерте кетейік.)

Заряды Ze атом ядросының өрісінде бір электрон қозғалып жүрген жүйені қарастырайық. Егер Z = 1 болса, бұл сутегі атомы, ал егер Z > 1 болса, бұл сутегі тектес атом, яғни ион. Ядро тарапынан электронға kZe²/r² Кулон күші әрекет етеді, бұл күш Ньютонның екінші заңы бойынша электронның массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең. Электрон дөңгелек орбитамен қозғалады, сондықтан оның центрге тартқыш үдеуі v²/r. Олай болса,m_ev²/r=kZe²/r²

өрнегінен ν жылдамдықты тауып, өрнегіне қойсақ:n²ħ²/m_er=kZe²,

бұдан электронның стационар орбитасының радиусы:r_n=(ħ²/km_e)n²

Егер өрнегінде n = 1, Z = 1 болса, сутегі атомындағы электронның бірінші стационар орбитасының радиусын анықтаймыз. Оны r₀ әрпімен белгілеп, Бор радиусы деп атайды: r₀=ħ²/km_ee²=0,529*10^-10м

Бұл мән молекулалы-кинетикалық теория бойынша есептелген сутегі атомы радиусының мәнімен сәйкес келеді.

Стационар орбитадағы электронның толық энергиясы оның кинетикалық энергиясы және ядромен әрекеттесу кезіндегі потенциалдық энергиясының қосындысынан тұрады:E=m_ev²/2+kZe²/r.

Соңғы теңдеуді өрнегін пайдалана отырып, мынадай түрге келтіруге болады: Е_n=-kZe²/2r. Бұл өрнектегі радиустың орнына өрнегін қойсақ, атомның ішкі энергиясының мүмкін мәндерін алуға болады:Е_n=(k²m_ee⁴/2ħ²)(Z²/n²)

Мұндағы k=1/4 ε₀ SI жүйесінде берілген. n = 1, 2, 3, ... бүтін сандары негізгі кванттық сандар деп aталады.

Сонымен, атомның энергиясы тек өрнегімен анықталатын дискретті мәндерді ғана қабылдай алады.

Сутегі атомы үшін Z = 1, ал оның энергиясының мәндері былай анықталады:E_n=-(k²m_ee⁴/2ħ²)(1/n²).

Сызықтың шығару және жұтылу спектрлері Бор теориясында атомдардың энергиясы өрнегімен анықталатын дискретті мәндерге ғана ие бола алатынымен түсіндіріледі. Бір химиялық элементтің барлық атомдарының энергетикалық деңгейлері бірдей. Электрон бір деңгейден екінші деңгейге ауысқанда фотон сәуле шығарады. Басқа элемент атомдарының энергетикалық деңгейлерінің құрылымы басқа, сондықтан шығару және жұтылу спектрлері өзгеше болады.

Бордың екінші постулатынан сәуле шығару жиілігін анықтайық: hν=E_n-E_m, ν=E_n/2 ħ-E_m/2 ħ.

Соңғы өрнекте ħ=n/2 екенін ескердік. Энергияның мәніне өрнегін қойсақ, ν=k²m_ee⁴/4 ħ³(1/m²-1/n²)

аламыз. Егер R=k²m_ee⁴/4 ħ³

деп белгілесек, өрнегі Бальмердің формуласымен сәйкес келеді. Өрнегіне кіретін шамалардың бәрі белгілі тұрақтылар, олардың мәндерін орнына қойып, R Ридберг тұрақтысын есептеп шығаруға болады. Осындай есептеулердің нәтижесі тәжірибеден алынған мәнмен бірдей болып шыққан. Жиіліктердің формуласымен есептелген мәндері де эксперименттің нәтижесімен дәл келеді.

Бор теориясы атом құрылымының теориясын жасаудағы алғашқы қадам болып табылады. Ол классикалық физика заңдылықтарын микроәлем физикасыныңқұбылыстарына қолдануға жарамайтының айқын көрсетіп берді. Бірақ алғашқы жетістіктерден соң Бор теориясы көптеген қиындықтарға кездесті. Мысалы, ол сутегінен кейінгі ең қарапайым гелий атомының теориясын жасауда толық сәтсіздікке ұшырады. Сәтсіздіктердің басты себебі теорияның ішкі логикалық қарама-қайшылығындаеді, ол жартылай классикалық, жартылай кванттық көзқарастарға сүйенді. Қазіргі кезде Бор теориясы, негізінен, тарихи қызығушылық тудырады. Бірақ бұл теория қазір де бірқатар маңызды физикалық ұғымдарды (мысалы, энергетикалық деңгейлер ұғымын) енгізуге қолданылатын ыңғайлы механикалық модель болып табылатынын есте ұстаған жөн. Сонымен, Бор теориясы кванттық механиканы құрудағы өтпелі кезең болып табылады.