Первый закон Ньютона. Масса. Сила 6 страница

В системе К' им соответствуют координа­ты х'₁и x'₂и моменты времени t'₁и t'₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁=х₂) и являются одновременны­ми (t₁=t₂), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

x'₁=x'₂,t'₁=t'₂

т. е. эти события являются одновременны­ми и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К простран­ственно разобщены (х₁¹х₂), но одновре­менны (t₁=t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенны­ми, оказываются и неодновременными. Знак разности t'₂- t'₁определяется знаком выражения v(x₁-x₂), поэтому в различ­ных точках системы отсчета К' (при раз­ных v) разность t'₂-t'₁будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие пред­шествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным собы­тиям, так как можно показать, что по­рядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относи­тельно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показа­ний часов в конце и начале события) t=t₂-t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность

этого же события в системе К

t'=t'₂-t'₁, (37.1)

причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют

Подставляя (37.2) в (37.1), получим

Из соотношения (37.3) вытекает, что t<t', т. е. длительность события, проис­ходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, отно­сительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолко­ван следующим образом: интервал време­ни t', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала т, отсчитан­ного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоя­щихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относитель­ности понятий «неподвижная» и «движу­щаяся» системы соотношения для t и t' обратимы. Из (37.3) следует, что замедле­ние хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивист­ского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадок­са часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая много­численные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический кос­мический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли до­ходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света (Ö(1-b²) = 0,001). По зем­ным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю

в 1/Ö(1-b²) раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов,в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправ­ность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассужде­ния состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,— не эквивалент­ны: земная система инерциальна, а кора­бельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реаль­ным и получил экспериментальное под­тверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элемен­тарных частиц в опытах с p-мезонами. Среднее время жизни покоящихся p-мезо­нов (по часам, движущимся вместе с ни­ми) t»2,2•10^-8с. Следовательно, p-ме­зоны, образующиеся в верхних слоях ат­мосферы (на высоте «30 км) и движущи­еся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить рассто­яния сt»6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это реля­тивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок

жизни p-мезона t' =t/Ö(1-b²), а путь этих

частиц в атмосфере vt'= (bct'= bct/Ö(1-b²). Так как b»1, то vt'>>сt.

3. Длина тел в разных системах отсче­та.Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет l'₀=x'₂ -х'₁, где х'₁и х'₂ — не изменя­ющиеся со временем t'координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоит­ся. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необхо­димо измерить координаты его концов х₁ и x₂в системе K в один и тот же момент времени t. Их разность l= х₂-х₁и даст длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), полу­чим

Таким образом, длина стержня, измерен­ная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, из­меренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоит­ся в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выраже­нию (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что ли­нейный размер тела, движущегося относи­тельно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения

в Ö(1-b²) раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Ло­ренца (36.3) следует, что

y'₂-y'₁=y₂-y₁и z'₂ - z'₁=z₂ - z₁ ,

т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Та­ким образом, линейные размеры тела наи­большие в той инерциальной системе от­счета, относительно которой тело покоит­ся.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.Рассмотрим движение матери­альной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К дви­жение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К,' в момент времени t' —координатами х' , у' , z' , то

представляют собой соответственно проек­ции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скоро­сти рассматриваемой точки относительно систем K и K'.

Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преобразова­ния, получаем релятивистский закон сло­жения скоростейспециальной теории от­носительности:

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость uотноси­тельно системы К. совпадает с u_х, а скоро­сть u' относительно К' — с u'_х. Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скоро­сти v, u' и u малы по сравнению со скоро­стью света с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей

в классической механике (см. (34.4)). Та­ким образом, законы релятивистской ме­ханики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения ско­ростей подчиняется второму постулату Эй­нштейна (см. §35). Действительно, если u' = с, то формула (37.6) примет вид u= (c+v)/(1+cv/c)=с (аналогично можно показать, что при u =с скорость u' также рав­на с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постула­тами Эйнштейна.

Докажем также, что если складывае­мые скорости сколь угодно близки к скоро­сти света с, то их результирующая ско­рость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предель­ный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (37.6) получим u=с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакуу­ме есть предельная скорость, которую не­возможно превысить. Скорость света в ка­кой-либо среде, равная с/n (n — абсолют­ный показатель преломления среды), предельной величиной не является (под­робнее см. § 189).

. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный ха­рактер длин и промежутков времени в тео­рии Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвари­антной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами

(х, у, z, t), такой физической величиной является интервалмежду двумя событи­ями:

ного трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначе­ние t₁₂=t₂-t₁, получим

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциаль­ных системах отсчета. Обозначив Dt = t₂-t₁, Dx=x₂-x₁, Dy =y₂ -y₁ иDz=z₂-z1, выражение (38.1) можно записать в виде

Интервал между теми же событиями в системе К' равен

Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Подставив эти значения в (38.2), по­сле элементарных преобразований полу­чим, что (s'₁₂)² = c²(Dt)²-(Dx)²-(Dy)²-(Dz)², т. е.

(s'₁₂)² = s²₁₂.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, опре­деляя пространственно-временные соотно­шения между событиями, является инва­риантом при переходе от одной инерциаль­ной системы отсчета к другой. Инвари­антность интервала означает, что, не­смотря на относительность длин и про­межутков времени, течение событий носит

объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Теория относительности, таким обра­зом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалектическом материализме. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следователь­но, представления об абсолютном про­странстве и времени являются несостоя­тельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свиде­тельствует о том, что пространство и вре­мя органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Про­странство и время не существуют вне ма­терии и независимо от нее. Ф. Энгельс подчеркивал, что «обе эти формы су­ществования материи без материи суть ничто, простые представления, абстрак­ции, существующие только в нашей голо­ве» (Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 550).

Дальнейшее развитие теории относи­тельности (общая теория относительно­сти,или теория тяготения)показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия про­странства-времени не является евклидо­вой (т. е. не зависящей от размеров об­ласти пространства-времени), а изменяет­ся от одной области к другой в за­висимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина по­стоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электрона­ми было установлено, что масса тела за­висит от скорости его движения, а имен­но возрастает с увеличением скорости по закону

где m₀ — масса покояматериальной точ­ки, т. е. масса, измеренная в той инерци­альной системе отсчета, относительно ко­торой материальная точка находится в по­кое; с —скорость света в вакууме; m — масса точки в системе отсчета, относи­тельно которой она движется со скоростью v. Из принципа относительности Эйн­штейна (см. §35), утверждающего инва­риантность всех законов природы при пе­реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвари­антности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по от­ношению к преобразованиям Лоренца, ес­ли в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской дина­микиматериальной точки имеет вид

— релятивистский импульсматериальной точки.

Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньюто­новской механики (6.7). Однако физиче­ский смысл его другой: справа стоит про­изводная по времени от релятивистского импульса, определяемого форму­лой (39.4). Таким образом, уравне­ние (39.2) инвариантно по отношению

к преобразованиям Лоренца и, следова­тельно, удовлетворяет принципу относи­тельности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инва­риантными величинами. Более того, в об­щем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике вы­полняется закон сохранения релятивист­ского импульса:релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто во­обще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивист­ское выражение для импульса.

Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значитель­но меньших скорости света, уравне­ние (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следо­вательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<<с. Законы классиче­ской механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<с (формально переход осуще­ствляется при с®¥). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоро­стями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство за­висимости массы от скорости (39.1) явля­ется подтверждением справедливости спе­циальной теории относительности. В даль­нейшем (см. §116) будет показано, что на основании этой зависимости про­изводятся расчеты ускорителей

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятиви­стской частицы (материальной точки). Раньше (§ 12) было показано, что при­ращение кинетической энергии материаль­ной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dT = dA или dT=Fdr. (40.1)

Учитывая, что dr= vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получим

Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv=vdv, и формулы (39.1), придем к выражению

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоя­щейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, то, проинтегриро­вав (40.2), получим

Т=(m-m₀)с², (40.3)

или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

Выражение (40.4) при скоростях v<<с пе­реходит в классическое:

T = m₀v²/2

(разлагая в ряд (1-v²/с²)^-1/2= 1 +¹/₂Xv²/c²+³/₈v⁴/c⁴+... при v<<с, правомерно

пренебречь членами второго порядка ма­лости).

А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедли­во не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энер­гии, а именно: любое изменение массы Dm сопровождается изменением полной энер­гии материальной точки,

DE=с²Dm. (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энер­гией тела Е и его массой m:

Уравнение (40.6), равно как и (40.5), вы­ражает фундаментальный закон приро­ды— закон взаимосвязи (пропорциональ­ности) массы и энергии:полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отме­тим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (40.6) можно, учитывая выра­жение (40.3), записать в виде

Е = m₀с² + Т,

откуда следует, что покоящееся тело (Т = = 0) также обладает энергией

Е₀=m₀с²,

называемой энергией покоя.Классическая механика энергию покоя Е₀не учитывает, считая, что при v=0энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон со­хранения энергии:полная энергия замкну­той системы сохраняется, т. е: не изменя­ется с течением времени.

Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между пол­ной энергией и импульсом частицы:

Возвращаясь к уравнению (40.6), от­метим еще раз, что оно имеет универсаль­ный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

m=Е/с² (40.8)

связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рас­сматривают энергию связи. Энергия связи системыравна работе, которую необходи­мо затратить, чтобы разложить эту систе­му на составные части (например, атомное ядро—на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

где m_0i — масса покоя i-й частицы в сво­бодном состоянии; m₀— масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорционально­сти) массы и энергии блестяще подтвер­жден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетиче­ских эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Рассматривая выводы специальной те­ории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, по­требовала пересмотра многих установив­шихся и ставших привычными представле­ний. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не яв­ляются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

Эту ломку укоренившихся представле­ний некоторые буржуазные философы пы­тались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энерге­тизма и философского релятивизма. Пер­вая из этих теорий рассматривала воз­можность преобразования массы в энер­гию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, одна­ко при этом масса не «переходит в энер­гию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения — одного из основ­ных положений диалектического материа­лизма.

Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Одна­ко из постулатов и следствий теории Эйн­штейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерци­альных системах отсчета различны, не да­ет оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невоз­можно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человече­ские представления о пространстве и вре­мени относительны, но из этих относитель­ных представлений складывается абсо­лютная истина, эти относительные пред­ставления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представле­ний о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных зна­ний о строении и формах движения мате­рии не опровергает объективной реально­сти внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).

Основной вывод теории относительно­сти сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и об­разуют единую форму существования ма­терии — пространство-время. Только по­этому пространственно-временной интер­вал между двумя событиями является абсолютным, в то время как простран­ственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следова­тельно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространствен­но-временных соотношений движущейся материи.

Основы молекулярной физики и термодинамики