Физическое определение плотности тока.
Выделим элементарный объем трубки тока, ограниченный двумя близкорасположенными поверхностями, ортогональными к линиям тока.
Рис. 1
Пусть точка наблюдения принадлежит одной из этих поверхностей (см. рис.1). Будем считать, что трубка тока и поверхности выбраны так, что - физически бесконечно малый объем, так что внутри этого объема характеристики заряженной среды от точки к точке не меняются. Тогда ясно, что указанные поверхности – участки параллельных плоскостей, перпендикулярных к линиям тока. Ясно также, что выделенный объем есть цилиндр (не обязательно круглый!) с площадью основания (значок « » показывает, что площадка перпендикулярна линиям тока; полагаем, что - физически бесконечно малая площадь) и высотой . Здесь - расстояние между указанными плоскостями, - векторный элемент линии тока. Объем можно записать через скалярное произведение , где = , направление орта совпадает с направлением скорости переноса заряда. Внутри объема находится заряд , который покинет выделенный объем за время : = . Очевидно, что
, (7)
откуда в силу (5)
(8)
Обозначим через силу тока через элемент поверхности . Ясно, что , где элементарный заряд определяется формулой (7). Тогда
, (9)
где - сила тока (в момент времени ) через элемент поверхности , содержащий точку . Соотношение (9) проясняет смысл термина «плотность тока».
Как известно, направление вектора определяется ортом . Поэтому из соотношения (9) следует:
. (10)
Соотношение (9) можно рассматривать в качестве физического21 определения вектора .
Объемная плотность тока есть вектор, направление которого совпадает с направлением тока в точке в момент времени , а величина определяется из соотношения (10). Другими словами: пусть есть физически бесконечно малая площадь, содержащая точку и перпендикулярная линии тока в этой точке; величина объемной плотности тока вводится так, чтобы произведение равнялось силе тока через элемент в момент времени .
Единица измерения плотности тока:[А/м2]. (СИ).
Рассмотрим теперь ток через элемент площади (физически бесконечно малый), содержащий точку и произвольно ориентированный по отношению к линии тока в этой точке. Не ограничивая общности, будем считать элемент плоским и будем считать, что граница элемента принадлежит трубке тока, о которой говорилось выше. См. рис. 2. Пусть - орт положительной нормали к элементу .
Рис. 2
Важно: силе протекающего через площадку тока нужно приписывать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, протекает ли ток через в направлении произвольно выбранной положительной нормали к этой площадке или же в обратном ей направлении. (Тамм, стр.137-138).
Сила тока через ориентированную площадку такая же, как сила тока через площадку , если , и противоположна по знаку, если , т.е.
. (12)
Ясно, что
.
Следовательно,
.
Окончательно,
. (13)
Очевидно, что интеграл
(14)
по любой кусочно-гладкой поверхности равен силе тока через эту поверхность в момент времени .
Интеграл (14) есть поток векторного поля через поверхность . Соотношение (14) также можно принять за определение (математическое) силы тока.
Итак, сила тока - интегральная характеристика электрического тока, определяемая математически как поток вектора через любую поверхность .
Заметим, что в силу (13)
, (19)
где - проекция вектора на положительную нормаль к .
Задача. Движение зарядов происходит в цилиндрической области. Радиус цилиндра , ось цилиндра совмещена с осью . Распространение заряда происходит в направлении . Будем считать, что цилиндр имеет бесконечную протяженность вдоль оси . Сила тока в любом сечении цилиндра плоскостью постоянна и равна . В каждый момент времени объемная плотность заряда в любой точке внутри цилиндра равна , где - полярный радиус, - коэффициент пропорциональности. На единицу длины цилиндра приходится заряд . Найдите объемные плотности заряда и тока.
Решение.
. (Ф1)
Пусть область - отрезок цилиндра единичной длины.
.
Следовательно,
, (Ф2)
где - поперечное сечение цилиндра.
. (Ф3)
Поэтому в силу (Ф2) и (Ф3)
. (Ф4)
Возвращаясь к (Ф1), получаем:
. (Ф5)
Пусть - скорость переноса заряда. В нашем случае .
Объемная плотность тока
. (Ф5)
Остается найти величину скорости переноса заряда.
Частицы проходят отрезок единичной длины за время .
,
откуда
(Ф6)
Окончательно получаем:
. (Ф7)
Поверхностный и линейный токи.Если вдоль заряженной поверхности имеет место направленное движение носителей заряда, говорят о поверхностном токе, распределение которого описывается плотностью поверхностного тока
,
где - локальная средняя скорость частиц, направленная по касательной к линии тока. Плотность реального объемного и модельного поверхностного токов можно связать предельным переходом
,
где h -толщина слоя движущихся зарядов [Кураев, с.13, Батыгин с. 134].
Аналогично движение зарядов вдоль заряженной нити называют линейным током32. Его характеристика - плотность линейного тока (линейная плотность тока)
.
Очевидно, что плотность линейного тока равна заряду, переносимому в единицу времени через точку на линии тока, т.е. току, текущему вдоль нити
,
(см. размерности), - единичный вектор вдоль линии тока (см. выше).
Действительно, пусть элемент нити содержит точку .
,
где - заряд элемента нити; .
Следовательно,
, .