Виведення розрахункових формул

Лабораторна робота №17

ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАНЬ СТРУНИ

Мета роботи

Вивчити явище утворення стоячих хвиль у струні, знайти частоти власних коливань та швидкість поширення хвиль у струні при фіксованій силі натягу.

Прилади та обладнання

Звуковий ґенератор, віброперетворювач, струна, нерухомий блок, масштабна лінійка, тягарці.

Опис вимірювального пристрою

Рис.1

Об’єктом дослідження є вертикальна натягнена струна (1), у якій можуть виникати стоячі хвилі (рис.1). Її нижній кінець прикріплений до вібратора віброперетворювача (2). Це пристрій, що перетворює електричні коливання, створені звуковим ґенератором (5), у механічні коливання тієї ж частоти і збуджує вимушені коливання струни. Верхній кінець струни перекинуто через нерухомий блок (3) і

навантажено основним тягарцем (4). Накладаючи на тягарець (4) додаткові тягарці, можна змінювати силу натягу струни. Довжина L частини струни, яка здійснює механічні коливання, дорівнює віддалі між нижньою точкою закріплення та точкою дотику струни до блоку, і надалі буде вважатися довжиною струни. Частоту (у звуковому діапазоні) і амплітуду коливань вихідного сигналу звукового ґенератора можна регулювати за допомогою відповідних ручок на його передній панелі. Координати вузлів та пучностей стоячої хвилі, а також її довжину визначають масштабною лінійкою (6).

Виведення розрахункових формул

Збуджені вібратором поперечні коливання струни поширюються до верхньої точки закріплення струни. Тут хвиля відбивається і рухається у зворотньому напрямі. В результаті у струні виникають стоячі хвилі. При цьому точки закріплення струни є одночасно вузлами стоячої хвилі, оскільки стоячі хвилі виникають тільки при таких частотах, коли на довжині струни L вкладається ціле число півхвиль, тобто ціле число довжин стоячої хвилі.

Звідси випливає, що

або , (1)

де n= 1, 2, 3 ...

Відповідні власні частоти коливань струни зв’язані з довжиною хвилі співвідношенням:

ν_n , (2)

де u - швидкість поширення хвиль у струні, однакова для всіх частот.

Найнижча частота ν₁ називається основним тоном коливань або першою гармонікою. Всі вищі частоти, кратні до ν₁, називаються обертонами, наприклад: подвоєна частота ν₂ = 2ν₁– це перший обертон або друга гармоніка і т.д.

Вигляд струни у випадку спостереження основного тону та першого і другого обертонів подано на рис.2.

Рис.2

Швидкість поширення поперечних хвиль у струні залежить від сили натягу струни:

= = = . (3)

де F=m_тg- сила натягу струни (m_т –маса тягарця),

– густина матеріалу струни (m – маса струни, V – її об’єм ),

S - площа поперечного перерізу струни, L – довжина струни.

Позначивши - маса одиниці довжини струни, або лінійна густина струни, одержимо:

. (4)

Враховуючи (4), для частот коливань струни отримаємо вираз:

ν_n , (5)

де n=1, 2, 3 ...

Виберемо за початок відліку одну із точок закріплення струни і вісь х спрямуємо вздовж струни. Тоді рівняння стоячої хвилі, що виникає у струні при частоті ν_n , запишемо у вигляді:

_n =2A sin k(L-x) cos(kL - t)=A_c_т cos( n – ωt), (6)

де _n - поперечне відхилення точки струни з координатою x у момент

часу t;

- хвильове число;

A_c_т=2A|sin (L-x)|- амплітуда стоячої хвилі

З умови (L-x_п) = (2m+1)πзнаходимо координати пучностей (А_ст=2А)стоячої хвилі: x_n=[n-(m+ )] . (7)

З умови (L-x_в) = mπзнаходимо координати

вузлів( А_ст=0)стоячої хвилі: x_в = (n – m) (8)

В таблиці наведені координати пучностей x_n і вузлів x_в для основного тону (n=1) і вищих гармонік (n=2,3).