Наближене відновлення внутрішньої структури об'єкта методом комп'ютерної томографії.

Важливим є застосування операторів інтерлінації та інтерфлетації до розв'язання радонівської задачі комп'ютерної томографії . Тут на їхній основі вдалося побудувати оператори інтерполяції на фіксованій системі вузлових точок інтерполяції із даними коефіцієнтами Фур'є до фіксованого порядку. Деякі з цих коефіцієнтів Фур'є фактично є проекціями, що надходять на спецпроцесор з комп'ютерного томографа. В монографії О.М.Литвина [8,гл.5] висвітлено деякі положення цього методу для двовимірного випадку.

Цифрова обробка сигналів.

Одним з перспективних напрямків застосування операторів сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації є цифрова обробка сигналів. В основу такого застосування покладено побудову економних кубатурних формул для наближеного обчислення коефіцієнтів Фур'є функцій багатьох змінних. Ці формули для досягнення потрібної точності у двовимірному випадку вимагають на порядок меншої кількості експериментальних даних, ніж методи, в яких використовуються класичні сплайни. В монографії О.М.Литвина [8,гл.6] висвітлено цей підхід для двовимірного випадку

Оператор інтерлінації функції на двох прямих .

Оператор має такі властивості:

При цьому справедлива тотожність ,

.

Оператор інтерлінації функції на трьох прямих .

Оператор

має такі властивості:

При цьому, якщо , то для залишку справедлива рівність

Така формула інтерлінації може знайти застосування, наприклад, якщо треба задовольнити неоднорідні граничні умови у нестаціонарній задачі теплопровідності.

Оператор інтерлінації функції на чотирьох прямих .

Оператор

має властивості

При цьому для залишку справедлива рівність

Тобто оператор точно відновлює всі функції, які задовольняють умову

Якщо , то

,

Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

Оператор

має такі властивості .

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

має такі властивості

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

є оператором поліноміальної інтерполяції Лагранжа.

Оператор

є оператором поліноміальної інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних прямих.

Приклад 1. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних (табл. 2.2 ) при заданих слідах цієї функції на:

а) двох прямих ;

б) трьох прямих ;

в) чотирьох прямих ;

г) системі взаємно перпендикулярних прямих , розбиваючи область наближення на 100 рівних прямокутників

Таблиця 2.2

x1	x2	y1	y2

Розв'язування.

1. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на двох прямих .

Експериментальними даними є . Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації на двох лініях має вигляд

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

2. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на трьох прямих .

Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації функції двох змінних на трьох прямих має вигляд

.

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

3. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на чотирьох прямих .

Експериментальними даними є

, ,

.

Звідси витікає, що

,

.

Оператор інтерлінації на чотирьох прямих має вигляд:

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.