Первый закон Ньютона. Масса. Сила 4 страница

П=-GmM/R.

Величину

j = П/m,

являющуюся энергетической характери­стикой поля тяготения, называют потенци­алом. Потенциал поля тяготения j—ска­лярная величина, определяемая потенци­альной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по пере­мещению единичной массы, из данной точ­ки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой M, равен

j=-GM/R, (25.4)

где R — расстояние от этого тела до рас­сматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что гео­метрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую повер­хность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, назы­ваются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потен­циалом поля тяготения (j) и его напря­женностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

dA=-тdj.

С другой стороны, dA=Fdl (dl—эле­ментарное перемещение). Учитывая (24.1), получим, что

dA=mgdl,

т. е.

mgdl=-mdj,

или

g=-dj/dl.

Величина dj/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направле­нии перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

g=-.gradj, (25.5)

где gradj=(dj/дx)i+(дj/dy)j+(дj/dz)k—

градиент скаляра j (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности g направлен в сто­рону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рас­смотрим потенциальную энергию тела, на­ходящегося на высоте h относительно Земли:

где R₀— радиус Земли.

Так как

P=GmM/R²₀и g=P/m=GM/R²₀,

(25.6) то, учитывая условие h<<R₀, получим

П=mGMh/R²₀= mgh.

Таким образом, мы вывели формулу, со­впадающую с (12.7), которая постулиро­валась раньше.

Космические скорости

Для запуска ракет в космическое про­странство надо в зависимости от постав­ленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космиче­скими.

Первой космической (или круговой) скоростьюv₁называют такую минималь­ную скорость, которую надо сообщить те­лу, чтобы оно могло двигаться вокруг Зем­ли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спут­ник, движущийся по круговой орбите ра­диусом r, действует сила тяготения Зем­ли, сообщающая ему нормальное ускоре­ние v²₁/r. По второму закону Ньютона,

GmM/r²=mv²₁/r.

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, тогда r»R₀ (радиус Земли) и g=GM/R²₀(cм. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Первой космической скорости недоста­точно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй кос­мической. Второй космической (или пара­болической) скоростьюv₂ называют ту наименьшую скорость, которую надо со­общить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спут­ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со­противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кине­тическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:

Третьей космической скоростью v₃на­зывают скорость, которую необходимо со­общить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей явля­ется сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осуществление на­чато К. Э. Циолковским, им была выведе­на уже рассмотренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать ско­рость ракет.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при за­пуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ра­кеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бур­ное развитие как советской, так и зару­бежной космонавтики.

Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как уже отмечалось (см. § 5,6), законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсче­та, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы дина­мики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые си­лы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для лю­бой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неи­нерциальных системах отсчета, т. е.

mа' = F+F_ин. (27.1)

Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

ma' = ma+F_ин.

Силы инерции обусловлены ускорен­ным движением системы отсчета относи­тельно измеряемой системы, поэтому в об­щем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инер­ции при ускоренном поступательном дви­жении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра­щающейся системе отсчета; 3) силы инер­ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступа­тельном движении системы отсчета.Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Т.

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а₀, то нить начнет откло­няться от вертикали назад до такого угла а, пока результирующая сила F=P+T не обеспе­чит ускорение шарика, равное а₀. Таким обра­зом, результирующая сила F направлена в сто­рону ускорения тележки а₀ и для установивше­гося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а₀)равна

F = mgtga=ma₀,

откуда угол отклонения нити от вертикали tga=a₀/g,

т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик по­коится, что возможно, если сила F уравновеши­вается равной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие дру­гие силы не действуют. Таким образом,

F_и=-ma₀. (27.2)

Проявление сил инерции при поступатель­ном движении наблюдается в повседневных яв­лениях. Например, когда поезд набирает ско­рость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторо­ну и пассажир отделяется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном тор­можении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета.Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью w(w=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ­лены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.41).

В инерциальной системе отсчета, связан­ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж­ности радиусом R (расстояние от точки крепле­ния маятника к диску до оси вращения). Следо­вательно, на него действует сила, равная F = mw²R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействую­щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: F=P+T,Когда движение шарика установит-

ся, то F=mgtgalfa=mw²R, откуда tgalfa=w²R/g,

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние К от шари­ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения w.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав­ной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, гак как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F_ц, называемая центробеж­ной силой инерции,направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

F_ц=-mw²R. (27.3)

Действию центробежных сил инерции под­вергаются, например, пассажиры в движущем­ся транспорте на поворотах, летчики при выпол­нении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробеж­ных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) при­нимаются специальные меры для уравновеши­вания центробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центро­бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу­са R, но не зависит от скорости тел относитель­но вращающихся систем отсчета. Следователь­но, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное рассто­яние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью v' вдоль радиуса равномерно враща­ющегося диска (v’ = const, w=const, v'┴w). Если диск не вращается, то шарик, направлен­ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан­ном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скорость v' относитель­но диска изменяет свое направление. Это воз­можно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v'.

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь­зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре­ния равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относи­тельно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове­шивается приложенной к шарику силой инер­ции F_K, перпендикулярной скорости v'. Эта си­ла называется кориолисовой силой инерции.

Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор f_k перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе­мы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд на­блюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Корио­лиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к на­правлению движения, т. е. тело несколько от­клонится на восток. Если тело движется на юг. то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в север­ном полушарии наблюдается более сильное под­мывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнаши-

ваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к на­правлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно состав­лять 1 см при падении с высоты 100 м). С си­лой Кориолиса связано поведение маятника Фу­ко, явившееся в свое время одним из доказа­тельств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального на­правления.

Раскрывая содержание F_ин в формуле

(27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

mа'=F+F_и+F_ц+F_K, где силы инерции задаются формулами

(27.2) — (27.4).

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодей­ствием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэтому они не подчиня­ются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодей­ствующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вы­зывается силой, а сила всегда обусловле­на взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускоре­нием, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в не­инерциальной системе отсчета, силы инер­ции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает,

что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импуль­са, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциаль­ных системах отсчета таких сил не су­ществует.

Возникает вопрос о «реальности» или «фик­тивности» сил инерции. В ньютоновской механи­ке, согласно которой сила есть результат взаи­модействия тел, на силы инерции можно смот­реть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако воз­можна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредст­вом силовых полей, то силы инерции рассматри­ваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реаль­ных», многие явления, о которых упоминалось в настоящем параграфе, объясняются с по­мощью сил инерции.

Силы инерции, действующие на тела в неи­нерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях со­общают этим телам одинаковые ускорения. По­этому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством облада­ют тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Напри­мер, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тя­готения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна):все физические явления в по­ле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

Элементы механики жидкостей

§ 28. Давление в жидкости и газе

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодей­ствия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся раз­лететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жид­кость обладает практически неизменным объемом.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одина­ковыми параметрами и идентичными урав­нениями. Поэтому гидроаэромеханика —раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимо­действие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.

В механике с большой степенью точно­сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные,непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот­ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи­маемостью жидкости и газа во многих за­дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость по­местить тонкую пластинку, то части жид­кости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее эле­мент DS с силами DF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке DS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 44).

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо­ны жидкости на единицу площади, назы­вается давлениемр жидкости:

p=DF/DS.

Единица давления—паскаль(Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си­лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па=1 Н/м²).

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жид­кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид­костью.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоя­щейся несжимаемой жидкости. При рав­новесии жидкости давление по горизонта­ли всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная повер­хность покоящейся жидкости всегда гори­зонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при попере­чном сечении S столба жидкости, его вы­соте h и плотности r вес P = rgSh, а дав­ление на нижнее основание

p =P/S=rgSh/S=rgh, (28.1)

т. е. давление изменяется линейно с высо­той. Давление rgh называется гидростати­ческим давлением.

Согласно формуле (28.1), сила давле­ния на нижние слои жидкости будет боль­ше, чем на верхние, поэтому на тело, по­груженное в жидкость, действует выталки­вающая сила, определяемая законом Архимеда:на тело, погруженное в жид­кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива­ющая сила, равная весу вытесненной те­лом жидкости (газа):

F_А =rgV,

где r — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

§ 29. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течени­ем,а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.Графически движе­ние жидкостей изображается с помощью линий тока,которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ­лению с вектором скорости жидкости в со­ответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отно­шением числа линий к площади перпенди­кулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким об­разом, по картине линий тока можно су­дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проя­вить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линия­ми тока, называют трубкой тока.Течение жидкости называется установившимся (или стационарным),если форма и распо­ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпенди­кулярные направлению скорости (рис. 46).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости SvDt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂v₂, где v₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что ско­рость жидкости в сечении постоянна. Ес­ли жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е.

S₁v₁ = S₂v₂=const (29.1)

Следовательно, произведение скоро­сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве­личина постоянная для данной трубки то­ка. Соотношение (29.1) называется урав­нением неразрывностидля несжимаемой жидкости

Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеаль­ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения) труб­ку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ ско­рость течения v₁, давление р₁и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Ана­логично, в месте сечения S₂ скорость тече-

ния v₂, давление р₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Dt жид­кость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S'₁и S'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂-Е₁идеаль­ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы от жидкости:

E₂-E₁=A, (30.1)

где E₁ и Е₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁и S₂ соответ­ственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жид­кости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый проме­жуток времени Dt. Для перенесения массы т от S₁ до S'₁жидкость должна переме­ститься на расстояние l1= v₁Dt и от S₂ до S'₂ — на расстояние l₂= v₂Dt. Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, припи­сывают постоянные значения скоро­сти v, давления р и высоты h. Следова­тельно,

A = F₁l₁+F₂l₂, (30.2)

где F₁=p₁S₁ и f₂=-р₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.47).

Полные энергии Е₁и e₂будут склады­ваться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, по­лучим

где r — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называется уравне­нием Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти. Оно хорошо выполняется и для реаль­ных жидкостей, внутреннее трение кото­рых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называ­ется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/2 — динамическим давлением.Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет со­бой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид