Молекулярная физика и термодинамика

Статистический и термодинамический методы исследования. Тепловое движение.

Макроскопические параметры.

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Средняя квадратичная скорость. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Число степеней свободы. Закон Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Средняя кинетическая энергия молекулы.

Распределение молекул по скоростям. График распределения Максвелла. Наиболее вероятная скорость.

Барометрическая формула.

Идеальный газ в поле силы тяжести. Изменение концентрации частиц с высотой. Распределение Больцмана.

Столкновение между молекулами. Средняя длина свободного пробега молекул.

Явления переноса в газах

Внутренняя энергия идеального газа.

Теплоемкость идеального газа. Уравнение Майера.

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам.

Работа, совершаемая газом в изопроцессах.

Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Круговые процессы. Тепловой двигатель. Цикл Карно. КПД.

Обратимые и необратимые процессы. Энтропия и ее статистический смысл.

Второе начало термодинамики.

Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса.

Электростатика и постоянный ток

Элементарный заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.

Электрическое поле. Напряженность поля. Силовые линии поля. Принцип суперпозиций полей.

Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

Вычисление напряженности поля бесконечной однородно заряженной плоскости, двух разноименно заряженных плоскостей.

Вычисление напряженности поля бесконечного равномерно заряженного по поверхности цилиндра.

Вычисление напряженности поля равномерно заряженного по объему шара.

Работа сил электрического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряженности.

Потенциал электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.

Электрическое поле в веществе. Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлeктpикoв.

Вектор поляризации. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость.

Вектор электрического смещения.

Теорема Остроградского–Гаусса для электрического поля в веществе. Расчет напряженности электрического поля в диэлектриках.

Электроемкость проводников. Конденсаторы. Соединение конденсаторов.

Энергия системы неподвижных точечных зарядов.

Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Электрический ток. Сила тока. Плотность тока. Закон Ома для однородного участка цепи.

Электродвижущая сила (ЭДС). Закон Ома для полной цепи. Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС.

Закон Ома в дифференциальной форме.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2003.

2. Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Академия, 2003.

3. Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. - М.: Высшая школа, 2003.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: ООО изд. АСТ, 2004. Т. 1-5.

Дополнительная

5. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. - М.: Высшая школа, 2003. Т. 1-3.

6. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. - М.: Высшая школа, 2003.

7. Физические величины. Справочник под ред.И.С. Григорьева, Е.З.Мейлихова. -

М.: Энергоатомиздат, 1991.

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Основные формулы

• Положение материальной точки в пространстве характеризуется координатами x, y, zлибо радиус-вектором , проведенным из начала отсчета в материальную точку.

• Кинематический закон поступательного движения материальной точки (центра масс твердого тела) в пространстве: , где - некоторая векторная функция времени.

• Мгновенная скорость:

• Мгновенное ускорение:

• Перемещение: -разность двух радиус- векторов, соответствующих двум положениям материальной точки.

• Закон поступательного движения вдоль оси x:

• Скорость по оси х (проекция на ось х):

• Ускорение по оси х (проекция на ось х):

• Перемещение по оси х (проекция на ось х):

• Для равнопеременного движения:

; ,

где и - координата и скорость в момент времени .

• Путь S- длина траектории, всегда S≥ 0

• Средняя путевая скорость = , где S–путь, пройденный за время t.

• Средняя скорость перемещения , где - перемещение за время .

• Кинематический закон вращательного движения материальной точки по окружности постоянного радиуса R: φ = f(t), здесь φ - угол поворота радиус-вектора постоянной длины , φ - скалярная величина. Изменение угла dφ - векторная величина, направление которой определяется по правилу правого винта (буравчика) и направлена вдоль оси вращения.

• Угловая скорость:

• Угловое ускорение:

• Для равномерного вращательного движения ( ):

, где T – период обращения, - частота.

• Для равнопеременного вращательного движения ( ):

; ,

где φ₀и - координата и угловая скорость в момент времени t=0.

• Связь между угловыми и линейными, характеризующими движение точки по окружности:

, , ,

где и - тангенциальное и нормальное ускорения, направлено по радиусу окружности к центру вращения, - по касательной к траектории.

• Полное ускорение: ,

• Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью :

• Второй закон Ньютона: или ,

где - cила или равнодействующая сил, действующих на тело.

• Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости: , где k– коэффициент упругости, х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести: F = mg,,где g= 9,8 м/с² - ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли;

в) сила гравитационного взаимодействия: , где

G=6,67·10^-11м³/(кг·с²) – гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, r –расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки) или между центрами симметрии (для центрально-симметричных тел с равномерно распределенной массой);

г) сила трения скольжения: , где - коэффициент трения (величина постоянная для двух данных трущихся поверхностей) , N –сила нормального давления.

• Момент силы относительно неподвижной точки:

,

где - радиус-вектор проведенный из неподвижной точки в точку приложения силы. В скалярном виде М=Fl, где - расстояние от неподвижной точки до линии действия силы (плечо силы), - угол между векторами и .

• Положение центра масс (центра инерции) системы тел находится по формуле:

,

где m_i –масса i– го тела системы, - радиус-вектор этого тела относительно выбранной системы отсчета или в скалярном виде:

, ,

• Момент силы относительно неподвижной оси вращения:

,

где - составляющая силы в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В скалярном виде , где - расстояние от неподвижной точки до линии действия силы (плечо силы), - угол между векторами и . Момент силы относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения и направление его определяется по правилу правого винта.

• Момент инерции материальной точки относительно неподвижной точки О:

I = mr² ,

где m– масса материальной точки, r –расстояние от материальной точки до точки О.

• Момент инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси:

,

где r_i -расстояние от i –ой материальной точки массой m_iдо оси.

• Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где V –объем тела, r –расстояние от оси вращения до элемента тела с объемом dV, -плотностьтела.

• Моменты инерции некоторых простых тел mотносительно оси проходящей через центр масс и совпадающей с осью симметрии тела:

а) однородного стержня длиной lотносительно оси перпендикулярной стержню:

б) кольца (тонкостенного цилиндра) радиуса R : ;

в) сплошного однородного цилиндра (диска) радиуса R : ;

г) однородного шара радиуса R: .

• Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси zопределяется по теореме Штейнера:

I_z = I₀ + ma² ,

где I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной выбранной, а – расстояние между осями.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где - результирующий момент сил, действующих на тело, I – момент инерции этого тела относительно выбранной оси, - угловое ускорение.

• Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки:

,

где - радиус-вектор проведенный из неподвижной точки в точку в которой находится в данный момент времени материальная точка имеющая импульс .

В скалярном виде L=pl,где - расстояние от неподвижной точки до прямой линии, проходящей через вектор (плечо), - угол между векторами и .

• Момент импульса относительно неподвижной оси:

,

где - составляющая импульса в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В скалярном виде , где - расстояние от неподвижной точки до прямой проходящей через вектор (плечо), - угол между векторами и . Момент импульса относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения и направление его определяется по правилу правого винта.

• Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где I –момент инерции тела относительно выбранной оси, - угловая скорость тела.

• Работа силы при поступательном движении:

,

где - перемещение за время dt, - угол между силой и перемещением.

• Работа момента силы при повороте тела:

dA = Mdφ,

где dφ - угол поворота.

• Мощность (работа, производимая в единицу времени):

• Кинетическая энергия:

а) поступательного движения ;

б) вращательного движения .

• Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины: ,

где k –коэффициент жесткости пружины, х –абсолютная деформация;

б) тела в однородном поле сил тяжести: W_п= mgh,

где h -высота над уровнем принятым за нулевой(формула справедлива при h<<R_З , где R_З – радиус Земли);

в) гравитационного взаимодействия: .

• Законы сохранения в механике:

а) импульса: суммарный импульс замкнутой (изолированной) системы есть величина постоянная:

;

б) момента импульса: суммарный момент импульса замкнутой (изолированной) системы есть величина постоянная:

;

в) механической энергии: полная механическая энергия консервативной системы (системы в которой действуют только консервативные силы) есть величина постоянная:

;

• Работа А,совершаемая внешними силами и силами трения, равна изменению полной энергии системы тел:

;

• Период колебаний математического маятника:

,

где L- длина маятника, g- ускорение свободного падения.

• Период колебаний физического маятника:

,

где I - момент инерции физического маятника относительно точки подвеса, I₀ –момент инерции физического маятника относительно оси проходящей через центр масс маятника, d- расстояние от точки подвеса до центра масс физического маятника, g - ускорение свободного падения, m– масса физического маятника, L_пр - приведенная длина физического маятника (расстояние от точки подвеса до центра качания).

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 0,1 м согласно уравнению φ , где А = 54 рад/c, В = -2 рад/c³. Через какое время после начала вращения скорость точки будет равна нулю? Найти полное ускорение точки в этот момент времени.

Решение. В условии задачи кинематический закон вращательного движения материальной точки, из которого можно определить зависимость угловой скорости ω и углового ускоренияεот времени:

и .

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью зависимостью .

По условию v= 0, поэтому , или

,

откуда находим время .

Нормальное ускорение , тангенциальное уравнение , полное ускорение . Подставим числовые данные и произведем вычисления:

= 3 с, = 6·(-2)·3·0,1 = - 3,6 м/с² , а= | | = 3,6 м/с² .

Выведем размерности полученных величин

; , .

Задача 2. Раскрученный до частоты = 5 Гц сплошной цилиндр массой m= 10 кг и радиусом R= 0,5 м кладут в угол комнаты, при этом он вращается на месте. Коэффициент трения между цилиндром и полом = 0,02. Трением между цилиндром и стеной пренебречь. Найти ускорение цилиндра, число оборотов до его полной остановки и работу против сил трения.

Решение. На рисунке изображен цилиндр и силы, действующие на него: - сила тяжести, и - силы нормального давления со стороны пола и стены соответственно, - сила трения, О –ось вращения цилиндра.

Центр масс тела покоится, поэтому можно записать уравнения движения по горизонтальной и вертикальной оси:

Кроме того . Решая систему уравнений, получим, что сила трения .

Теперь запишем для цилиндра основное уравнение динамики вращательного движения относительно оси вращения цилиндра: , где - момент инерции цилиндра, откуда получаем: .

Для нахождения числа оборотов необходимо определить полный угол поворота цилиндра вокруг своей оси до полной остановки. Для этого запишем кинематические соотношения для угла поворота угловой скорости для нашего случая:

и .

Знак минус соответствует равнозамедленному движению. Здесь - начальная угловая скорость. Время до остановки . Число оборотов цилиндра:

.

Теперь найдем работу против сил трения. Работа против сил трения это произведение силы трения на путь , cos α = -1, поэтому работа сил трения Аотрицательна:

.

Это же выражение для работы можно получить из других соображений, а именно из закона изменения и сохранения энергии – работа сил трения равна изменению кинетической энергии (в нашем случае изменению кинетической энергии вращательного движения):

.

Производим вычисления

;

оборотов;

.

Выведем размерности полученных величин

; ;

Задача 3. Фигурист, раскинув руки, выполняет вращение на льду с частотой = 1 Гц, Какова будет частота вращения фигуриста, если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции с I₁ = 1,2 кг∙м² до I₂= 0,8 кг·м²? Какую работу должен совершить фигурист для этого?

Решение. Согласно закону сохранения момента импульса в замкнутой системе суммарный момент импульса остается постоянным, т.е. или . Отсюда находим конечную частоту вращения фигуриста: .

Работа, которую нужно совершить фигуристу, равна изменению кинетической энергии:

.

Производим вычисления

; .

Выведем размерности полученных величин

; .

Задача 4. Рассчитайте ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли и первую космическую скорость . Радиус Земли принять равным R_З = 6370 км, масса Земли М_З=5,96·10²⁴ кг.

Решение. Согласно закону всемирного тяготения на тело массы m ,находящееся наповерхности Земли, действует сила гравитационного притяжения(сила тяготения): , где G = 6,67·10^-11 Н·м²/кг² – гравитационная постоянная. Запишем II закон Ньютона для этого тела: F=mgили , g – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли: . Первая космическая скорость это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вращалось вокруг Земли по круговой орбите радиуса . Тогда

, откуда .

Производим вычисления

.

Выведем размерности полученных величин

; .

Задача 5.Однородный сплошной цилиндр массой m₂ = 4 кг может вращаться без трения вокруг оси. За эту ось, нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг, он привязан к бруску массой m₁ = 1 кг. Определить ускорение цилиндра вдоль наклонной плоскости и силу трения, действующую на него, при качении без проскальзывания. Блок вращается без трения. Угол наклона плоскостей к горизонту β =30⁰. Коэффициент трения бруска о плоскость µ = 0,1.

Решение. На цилиндр действуют: сила тяжести , сила натяжения нити , сила реакции опоры и сила трения . Поскольку цилиндр катится без проскальзывания, то - это сила трения покоя. Величина этой силы заранее неизвестна и находится в процессе решения (0 , где - коэффициент трения). Силы, действующие на брусок, имеют тот же смысл и обозначены теми же буквами с индексом 1.

На блок действуют две силы натяжения и ( и ). Между собой они неравны ( ), так как в противном случае, результирующий вращающий момент, действующий на блок, равнялся бы нулю, и блок не вращался бы с ускорением.

Чтобы решить задачу, для цилиндра запишем второй закон Ньютона и уравнение динамики вращательного движения, для блока - уравнение динамики вращательного движения, а для бруска - второй закон Ньютона. Кроме того, будем использовать следующую связь между линейным ускорением центра масс цилиндра и его угловым ускорением , которая справедлива при качении без проскальзывания:

, (1)

где - радиус цилиндра (в силу нерастяжимости нити, ускорения центров масс цилиндра и бруска одинаковы, то есть ). Если нить не проскальзывает относительно блока, то формула (1) также связывает его угловое ускорение с линейным ускорением центров масс бруска и цилиндра (В этом случае, в ней нужно заменить на радиус блока ).

Рассмотрим качение цилиндра. Второй закон Ньютона для него имеет следующий вид:

. (2)

Спроектировав (2) на ось , получим с учетом условия , что . (3)

При записи уравнения динамики вращательного движения цилиндра относительно его оси симметрии, учтем, что моменты сил тяжести, реакции опоры и натяжения нити равны нулю (их плечи равны нулю). В результате, уравнение динамики вращательного движения примет следующий вид:

. (4)

Здесь - радиус цилиндра,

(5)

- его момент инерции, а - момент силы трения относительно оси симметрии цилиндра. Подставим в (4) соотношения (5) и выражение для углового ускорения цилиндра , которое следует из (1):

.

В результате, после сокращения на , получим:

. (6)

Если рассматривать качение изолированного цилиндра, то уравнений (3) и (6) достаточно для решения задачи, так как тогда, из-за отсутствия нити, , а два уравнения позволяют определить две неизвестные величины и . В данном случае, сила неизвестна, и приходится рассматривать скольжение бруска и вращение блока.

Рассмотрим скольжение бруска. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде

, (7)

а затем, спроектируем его на ось :

. (8)

Здесь, - сила трения скольжения. Поэтому ее можно рассчитать по формуле . Для нахождения , спроектируем (7) на осьy₁:

.

Отсюда, и . Подставив данное выражение для силы трения в (8), получим

. (9)

Если бы масса блока равнялась нулю, то сила натяжения была бы одинаковой в пределах всей нити ( ). Тогда, трех уравнений (3), (6), (9) было бы достаточно для нахождения трех неизвестных . В данном случае, неизвестных четыре ( ), и приходится использовать еще уравнение динамики вращательного движения блока:

).

Здесь момент силы натяжения ускоряющий и, поэтому, положительный ( ), момент силы - тормозящий и, поэтому, отрицательный ( ), а угловое ускорение блока выражено через с помощью формулы (1).

В результате, сократив на r и заменив и на и , получим: . (10)

Теперь все сводится к решению системы уравнений (3), (6), (9), (10). Сложим эти уравнения почленно:

Приведя подобные члены и проведя сокращение, получим:

1,88(м/с²)

Сила трения находится из уравнения (6):

(Н) .

В заключение напомним, что, если масса блока равна нулю, то сила натяжения одинакова на всем протяжении нити, и, поэтому, нет необходимости использовать уравнение динамики вращательного движения блока.

Выведем размерности полученных величин:

;

Задача 6. Определить период колебаний физического маятника, образованного однородными стержнем массой m и длиной L и шаром массой m и диаметром L/2, если колебания происходят в вертикальной плоскости относительно оси , проходящей через свободный конец стержня (т. О).

Решение. Период колебаний физического маятника:

,

где I_О – момент инерции физического маятника относительно точки подвеса; М – масса физического маятника; d – расстояние от центра масс маятника, как системы тел, до точки подвеса.

1) Найдем момент инерции маятника как сумму моментов инерции тел из которых состоит этот маятник, т.е. стержня и шара: I₀ = I₁ + I₂

Пользуясь теоремой Штейнера, находим момент инерции стержня I₁и шара I₂:

;

Тогда суммарный момент инерции маятника будет равен:

2) M = m + m = 2m –масса маятника.

3) Находим положение центра масс маятника, считая, что начало координат находится в точке подвеса, а ось х направлена вдоль стержня, тогда:

Подставляем I_0, Mи dв выражение для периода колебаний физического маятника и получаем окончательно:

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Основные формулы

• Основное уравнение кинетической теории газов

,

где р -давление газа, n –концентрация молекул (число молекул в единице объема), - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, угловые скобки обозначают осреднение по

большому ансамблю частиц, m₀ –масса молекулы, - средняя квадратичная скорость движения молекул.

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

,

гдеk = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

• Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия идеального газа):

,

где i – число степеней свободы молекулы, m – масса газа, М– молярная масса данного вещества, R = 8,31 Дж/(кг·К)– универсальная газовая постоянная, Т– абсолютная температура.

• Числом степеней свободы называется число независимых координат полностью определяющих положение тела в пространстве. Любая молекула имеет 3 поступательных степени свободы (i_пост=3).Молекулы, кроме одноатомных, имеют еще вращательные степени свободы (у двухатомных молекул i_вр = 2, у многоатомных i_вр = 3) и колебательные степени свободы, которые при невысоких (комнатных) температурах не учитываются.

• В соответствии с законом Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы,в среднем на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия, равная .

• Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы:

• Средняя суммарная кинетическая энергия одной молекулы:

,

где i – число степеней свободы молекулы (i=i_пост+ i_вр).

• Средняя квадратичная скорость молекулы:

• Средняя арифметическая скорость (средняя скорость теплового движения)молекулы:

,

где m₀ – масса одной молекулы, М – молярная масса вещества, причем ,

N_A= 6,023·10²³ 1/моль– число Авогадро.

• Барометрическая формула характеризует изменение давления газа с высотой в поле сил тяжести:

или ,

где p –давление на высоте hнад уровнем моря, p₀ – давление на высоте h =0, g –ускорение свободного падения. Эта формула приближенная, так как температуру нельзя считать постоянной для большой разности высот.

• Распределение Больцмана для концентрации частиц в силовом поле имеет вид:

,

где n – концентрация частиц, обладающих потенциальной энергией W_п , n₀ - концентрация частиц в точках поля с W_п =0.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой m= 4 г.

Решение. Согласно закону Больцмана о равном распределении энергии по степеням свободы на каждую степень свободы приходится энергия равная , где k – постоянная Больцмана, Т –абсолютная температура.

Так как молекула кислорода двухатомная, у нее две вращательных степени свободы, поэтому средняя кинетическая энергия вращательного движения выразится формулой:

Подставим в полученную формулу значения k = 1,38·10^-23 Дж/К, и Т = 350 К, получим

Кинетическая энергия всех N молекул, содержащихся в 4 г кислорода равна:

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле:

, где N_A –число Авогадро, - количество вещества, m – масса газа, М –молярная масса. Учтя приведенные выражения, получим:

Подставляем числовые значения: N_A = 6,023·10²³ 1/моль ; m = 4 г = 4·10^-3 кг ; М = 32·10^-3 кг/моль; = 4,83·10^-21 Дж:

Выведем размерность полученной величины:

Задача 2. В воздухе при нормальных условиях взвешены одинаковые частицы. Известно, что концентрация частиц уменьшается в два раза на высоте h = 20 м. Определить массу частицы.

Решение. Воспользуемся формулой распределения Больцмана:

,

где W_п = m₀gh –потенциальная энергия частицы в поле сил тяжести.

Подставив это выражение в формулу распределения Больцмана, получим:

Логарифмируем обе части уравнения по основанию е, тогда:

, откуда

Подставив числовые значения в полученную формулу, найдем

Выведем размерность полученной величины:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № I

№ вар.	Н О М Е Р А З А Д А Ч

100. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой j = A + Bt + Ct² , где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение a точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

101. Колесо вращается с постоянным ускорением e= 2 рад/с². Через t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно а = 13,6 см/с². Найти радиус колеса.

102. Две материальные точки движутся по прямой линии согласно уравнениям x₁ = A₁t + B₁t² + C₁t³ и x₂ = A₂t +B₂t² + C₂t³, где А₁ = 4 м/с, В₁ = 8 м/с², С₁ = - 16 м/с^3, А₂ = 2 м/с, В₂ = - 4 м/с², С₂ = 1 м/с³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорость точек в этот момент.

103. Диск радиусом R = 0,2м вращается согласно уравнению j = A – Bt + Ct³, где А = 3 рад, В = 1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

104. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 10 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с², вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол равный 60⁰. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

105. Две материальные точки в момент t = 0 начинают двигаться по прямой линии согласно уравнениям x₁ = A₁ + А₂t + А₃t⁴ , x₂ = В₁ +B₂t² + В₃t⁴, где А₁ = 50 м, А₂ = 2 м/с, А₃ = - 3 м/с⁴ , В₁ = 42 м, В₂ = 10 м/с, В₃ = - 3 м/с⁴. Найти скорости и ускорения этих точек в момент их встречи.

106. Материальная точка двигается вдоль прямой линии согласно уравнению x = At + Bt³, где А = 3 м/с, В = - 0,04 м/с³ . Найти путь, пройденный телом от момента времени t₁ = 2 c до момента времени t₂ = 6 c.

107. Тело движется по окружности радиусом R = 4 м. Зависимость пути от времени дается уравнением S = Ct³, где С = 0,1 см/с³. Найти нормальное a_n и тангенциальное a_τ ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0,3м/с.

108. Точка движения по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = А - Вt² , где А = 8 м; В = 2 м/с². Найти момент времени t , в который нормальное ускорение точки а_n = 9 м/с² , а также скорость v, тангенциальное a_τ и полное a ускорения точки в этот момент времени. S –координата, отсчитываемая вдоль окружности.

109. Материальная точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = A + Bt + Ct² , где А = 2 м, В = -2 м/с и С = 1 м/с². Найти линейную скорость точки v, ее тангенциальное a_τ, нормальное a_n и полное a ускорения через t = 3с после начала движения, если известно, что нормальное ускорение точки при t₁ = 2 с равно а_n1 = 0,5 м/с².

110. Тонкостенный цилиндр с диаметром основания D = 40