Цифрові операції в спектральному аналізаторі

Попередні обчислення прийнятих сигналів. Важливим питанням при прийомі та передачі сигналів є процес узгодження характеристик джерела/приймача сигналу з середовищем передачі. Одним з методів такого узгодження є застосування модуляції – процесу зміни одного чи декількох параметрів носійного коливання за законом інформаційного сигналу.

Як носійні можуть бути використані коливання різної форми (прямокутні, трикутні тощо), проте найчастіше застосовуються гармонійні коливання. Залежно від того, який з параметрів носійного коливання змінюється, розрізняють вид модуляції (амплітудна (рис. 4.7.а), фазова (рис. 4.7.б), частотна (рис. 4.7.в) тощо). Модуляція дискретним сигналом (може приймати лише кінцеве число значень) називається цифровою модуляцією або маніпуляцією.

У процесі прийому та аналізу сигнал проходить дискретизацію, тобто перетворення із аналогового (неперервного) у сигнал з конечним числом його значень (рис. 4.7.г). При цьому для вибору інтервалу чи частоти дискретизації використовується теорема Котельникова:

(4.29)

Представлення сигналу у вигляді дискретних відліків, які, у свою чергу, квантуються та оцифровуються, дає можливість обробки сигналів цифровими способами.

Оскільки на прийомі не відомі початкові параметри сигналу, що приймається, то для виключення похибки над прийнятим сигналом виконують ряд додаткових обчислень:

- розраховують два добутки X та Y між прийнятими коливаннями U_с(t) та косинусоїдальним , й синусоїдальним сигналами, тобто

(4.30)

- отримують квадрат набутих значень X та Y, знаходять їх суму й обчислюють квадратний корінь.

. (4.31)

З формули (4.31) видно, що значення функції Z(t) не залежить від початкової фази сигналу і при нормуванні дорівнює його амплітуді, тобто

(4.32)

Після проведення даних операцій можливе визначення амплітудних характеристик аналізованих сигналів:

- значення максимальної амплітуди;

- значення усередненої амплітуди (див. рис. 4.7.д):

(4.33)

де n – кількість імпульсів в аналізованій послідовності;

– поточні значення амплітуд імпульсів.

а) приклад АМ сигналу	б) приклад ФМ сигналу
в) приклад ЧМ сигналу	г) приклад дискретизації сигналу
Um = U3   Ucp = Uk
д) імпульсна послідовність сигналів	е) порівняння Р – пікового, QP – квазипікового та AV – середнього значення одиночного сигналу.

Рисунок 4.7 – Приклади аналізованих сигналів

При цьому, середнє квадратича помилка може бути визначена за формулою:

(4.34)

Середнє квадратичний рівень сигналів/шумів :

(4.35)

де Т – інтервал вимірювання;

– значення рівня шумів на інтервалі вимірювання;

Середнє значення сигналів :

(4.36)

Розглянемо вимірювання даних характеристик на прикладі вимірювального комплексу «АКОР-3ПК».

Апаратура, що входить в комплекс, забезпечує виконання наступних функцій. Перетворювач радіочастот (ПРЧ) забезпечує прийом сигналів в діапазоні частот 0.01 - 3000 Мгц і перетворює їх в другу проміжну частоту 10.7 Мгц із смугою пропускання не менше 4 Мгц.

Крім того, ПРЧ забезпечує детектування сигналів, що приймаються, для прослуховування.

Блок АЦСП з БПО синтезує частоти в смузі 4 Мгц з кроком 20 кГц і перетворюють сигнал з другою проміжною частотою у форму квадратури забезпечують швидкість сканування 200 Мгц/с, тим самим забезпечуючи переглядання робочого діапазону вимірника (з урахуванням часу перемикання БПРЧ через 4 Мгц) із швидкістю 80 Мгц/с в діапазоні частот 30…3000 Мгц.

В діапазонах частот 0.01…12.5 Мгц і 12.5…44 Мгц крок перебудови складає 30 і 200 кГц, відповідно.

Даний блок забезпечує також третє перетворення частоти в «нульову», фільтрацію сигналу і формування двох каналів квадратури і забезпечує обчислення двох функцій взаємної кореляції X та Y між прийнятими коливаннями і формованими блоком косинусоїдальним і синусоїдальним сигналами.

Перетворення частоти в «нульову» означає перетворення у смугу низькочастотного діапазону від 0 Гц до верхньої частоти цієї смуги.

Блок аналого-цифрового сигнального процесора (АЦСП) проводить фільтрацію і перетворення аналогових сигналів, що поступають двома каналами X та Y, в цифрову форму з тактовою частотою 156 кГц і управляє всіма пристроями, вбудованими в ЦБК.

Дані сигнали виводяться у вікні Аналізатор/Квадратура в Головному вікні програми, вид яких наведено на рис. 4.8.

Рисунок 4.8 – Вид вхідного сигналу після обробки квадратури

Персональний комп’ютер (ПЕОМ) виконує наступні функції:

а) обробляє оцифровані сигнали X та Y, таким чином, реалізуючи оптимальний виявляч, вимірювання амплітуд безперервних і імпульсних сигналів і шумів. Значення амплітуди Z(t) виводиться у вікні програми Аналіз/Амплітуда в Головному вікні програми, вид якої наведено на рис. 4.9

Рисунок 4.9 – Вид вхідного сигналу у вікні Амплітуда

б) управляє апаратурою вимірника, обробляє сигнали за допомогою спеціального програмного і математичного забезпечення, проводить розрахунок вимірюваних параметрів сигналів, ухвалює логічні рішення при роботі вимірника в автоматичному режимі, відображає сигнальну і іншу інформацію, протоколює одержані результати.

Блоком високочастотного комутатора (БВЧК) є швидкодіючий широкосмуговий ВЧ - комутатор, який служить для підключення до вимірника додаткових антен для виявлення сигналів. У вимірювальному тракті вимірника використовується антенний вхід ANT2.4 блоку для підключення внутрішнього калібратора.

Телефони (навушники) призначені для прослуховування вимірюваних сигналів.

Вимірювання сигналів проводиться в автоматичному режимі за списком частот або на фіксованій частоті за командою оператора.

При виборі режимів вимірювання потрібно керуватися наступним:

- для імпульсних і амплітудно-модульованих сигналів використовуються режими вимірювання «P», «SA», середнє значення (режим "S"), максимальна амплітуда, усереднена амплітуда, середнє значення, ефективне і амплітудне значення;

- для не модульованих сигналів використовуються режими «F», «А»;

- для вимірювання шумів використовується режим середнє квадратичне значення («SK»);

- для імпульсних сигналів використовується режим «квазіпікове значення» за ГОСТ Р 51319 (ГОСТ 11001-80) [14].

Спектральне описування інформаційного повідомлення має таке обґрунтування. Для кожної реалізації сигналу, що представляє собою реалізацію x₁(t₁) випадкового процесу обчислюється спектральна функція за допомогою перетворення Фур’є:

. (4.37)

За теоремою Парсеваля обчислюється середня (за час реалізації T_р) потужність :

, (4.38)

де функція

(4.39)

являється функцією щільності потужності за частотою. Усереднення цієї функції за всіма реалізаціями повідомлення дає спектральну характеристику процесу, яку називають енергетичним спектром:

. (4.40)

Знання енергетичного спектру сигналу дозволяє обчислити середню (за реалізаціями) потужність, що міститься у заданому діапазоні частот від ω₁ до ω₂):

, (4.4)

де подвоєння інтегралу необхідно внаслідок формального визначення перетворення Фур’є у області позитивних та негативних частот. Спектр

(4.42)

що називають одностороннім енергетичним спектром.

Для ергодичного процесу авто кореляційна функція може бути знайдена по одній, теоретично нескінченній реалізації:

. (4.43)

Функція r_X(τ) характеризує у середньому частоту коливань у реалізації повідомлення. Важливі властивості авто кореляційної функції: ; (квадрат дисперсії процесу Х); (парність функції).

У інженерній практиці інтеграл замінюється сумою, а максимальне значення аргументу τ, τ_мах береться порядку 0,1T_р.

Часто достатньою характеристикою автокореляційної функції являється її ширина τ₀, що називається інтервалом кореляції. При τ > τ₀ r_x(τ) ≈ 0. Це означає відсутність лінійного зв’язку між X(t) та X(t + τ). Величина τ₀ визначається як половина ширини основи прямокутника, висота якого дорівнює r_x(0) :

(4.44)

Між енергетичним спектром та авто кореляційною функцією процесу існує однозначний зв’язок, що описується парою перетворень Фур’є:

,

. (4.45)

Ширина енергетичного спектру Δω визначають як:

. (4.46)

Енергетичний спектр являється парною функцією свого аргументу. При використанні одностороннього енергетичного спектра поняття негативних частот зникає.

Згортка функцій. У процесі дослідження технічних каналів витоку інформації важливе значення мають кореляційні методи, зокрема згортка сигналів.

Згортка функцій – це операція функціонального аналізу, яка показує «схожість» однієї функції з відображеною та зсунутою копією другої. У математиці, згортка – це математична операція двох інтегруємих функцій f та g, яка породжує третю функцію, що називають також функцією кореляції.

Згорткою функцій називається функція , яка визначена формулою

. (4.47)

Наприклад, згортка двох прямокутних імпульсів дає в результаті трикутний імпульс.

Властивості згортки.

Комутативність: .

Асоціативність: .

Лінійність (дистрибутивність та помноження на число):

Правило диференціювання: де символ Df позначає похідну функції f за будь-якою змінною.

Властивість Фур’є-образу: , де перетворення Фур’є функції f.

З останньої властивості випливає правило обчислення згортки: обчислюються прямі перетворення Фур’є функцій, результати перемножуються, а далі обчислюється зворотне перетворення Фур’є, що дає потрібний результат.

У цифровій обробці сигналів застосовують частковий випадок згортки функцій – згортку послідовностей.

Згортка послідовностей – це лінійне перетворення, яке є результатом перемноження елементів двох заданих числових послідовностей таким чином, що члени однієї послідовності беруться із зростанням індексів, а члени другої – із убуванням.

Згортку двох заданих послідовностей можна отримати, якщо, спочатку, використати для кожної послідовності дискретне перетворення Фур’є (ДПФ), потім, перемножити результати перетворення та провести обернене дискретне перетворення Фур’є.

Розрізняють, лінійну згортку, кругову періодичну згортку, кругову аперіодичну (для конечних послідовностей) згортку за допомогою дискретного перетворення Фур’є.і

Розрахунок лінійної згортки. Для розрахунку лінійної згортки виконують такі дії:

- обчислюють кількість елементів вихідної послідовності за формулою:

, (4.48)

де N_out –кількість елементів у вихідній послідовності;

N₁ –кількість елементів у першій послідовності;

N₂ –кількість елементів у другій послідовності;

- доповнити нулями обидві послідовності так, щоб кількість елементів у цих послідовностях дорівнювала б N_out;

- симетрично відобразити одну з послідовностей відносно осі ординат;

- провести перемноження цих двох послідовностей.

Результатом виконання цих операцій матимемо лінійну згортку двох послідовностей.

Розрахунок періодичної кругової згортки. Для отримання періодичної кругової згортки необхідно уявити, що дві послідовності розташовано на двох колах. Одне коло знаходиться всередині другого. Значення кожного з цих послідовностей рівновіддалені один від одного. Для отримання кожного значення кругової згортки необхідно уявити, що одна з послідовностей рухається по колу відносно другої за годинниковою стрілкою. Наприклад, візьмемо перше значення послідовності, яка обертається, послідовно помножимо на значення другої послідовності та просумуємо результати множення. Та отримаємо перше значення вихідної послідовності, яке було отримане за допомогою кругової згортки. Дані дії слід повторювати для кожного значення послідовності, яка обертається відносно другої. Кількість елементів у вихідній послідовності буде дорівнювати кількості елементів, послідовності, яка обертається.

Отримана послідовність еквівалентна згортці двох періодичних сигналів.

Розрахунок аперіодичної кругової згортки. Для отримання аперіодичної кругової згортки (для конечних послідовностей) виконуються все ті ж операції, що й для отримання кругової згортки, але кількість елементів треба збільшити до N_out. Вхідні послідовності необхідно доповнити нулями до цієї кількості N_out. Тим самим усувається ефект накладення по колу, яке виникає за кругової згортки.

Виконання згортки за допомогою ДПФ. Для виконання згортки за допомогою дискретного перетворення Фур’є необхідно доповнити нулями обидві вхідні послідовності, так, щоб кількість елементів у цих послідовностях порівнювало N_out. Далі необхідно провести пряме ДПФ за формулою прямого перетворення Фур’є.

Далі виконується почергове помноження елементів першої послідовності з елементами другої послідовності. Після проводиться обернене перетворення за формулою оберненого перетворення Фур’є.

Всі способи розрахунку повинні давати однакові вихідні послідовності при однакових вхідних послідовностях.

Приклад програми. Наведемо приклад реалізації згортки, написаної на С++.

/* * Розмір вихідної послідовності дорівнює M + N - 1 */double * conv(double * x, int N, double * h, int M){ double * result = new double[N + M - 1]; memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1)); for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < M; ++j) { result[i + j] += x[i] * h[j]; } } return result;}

4.1.1 Основні поняття, визначення та одиниці вимірювання в акустиці