Лекция 29 ЧИСЛЕННЫЙ ≡ АНАЛИТИЧЕСКИЙ??

1.Исследование ПП-сов на основе анализа и решения уравнения движения э-опривода. 2.Возможности и трудности аналитического решения уравнения движения. 3.Графические и графоаналитические методы исследования ПП-сов. 4.Методы пропорций и площадей.

1. (elektroprivod Онищенко 2003-191стр) ПП-сы в э-оприводе, когда изменяются ток, момент и скорость двигателя, представляют собой сложное явление ­ одновременное протекание э-омаrнитных и мex-ких ПП-сов. Хаар-р ПП-са зависит от числа инерционностей, участвующих в данном про­цессе, и соотношения между хар-ризующими их постоянными времени.

ПП-сы в зависимости от хар-ра объекта могyт описываться линейными или нелинейными дифференци­альными уравнениями. Если нелинейности несущественны, можно прибегнуть к линеаризации уравнений. В случае линейных систем анализ ПП-сов (расчет переходных хар-к) может производиться анали­тическими методами. В случае нелинейных систем целесообраз­но пользоваться численными методами решения уравнений на ЭВМ или методами компьютерноrо моделирования. Если постоянные времени по величине отличаются на два и более порядка, то можно малыми постоянными времени пренеб­peгaть.

Рассмотрим (Ковчин С.А., Сабинин Ю.А. Теория Э-опривода (1994) – 262стр) наиболее простой (в математиче­ском аспекте) вариант системы, в которой М_с = const и J = const. Все мех-кие связи будем полагать жесткими. При этих условиях динамика системы будет описываться одним уравнением равновесия моментов

.

Полагая далее, что мех-кая хар-ка линейная, можем написать

ω = ω₀(1 – М/М_кз), (6.1)

где М_{к з} — момент короткого замыкания при неподвижном ро­торе двигателя, откуда

М = М_кз(1 – ω/ω₀). (6.2)

Подставляя (6-2) в уравнение движения, получим:

Jdω/dt + М_кз ω/ω₀ = М_кз – М_с. (6.3)

Момент короткого замыкания в машине постоянного тока независимого возбуждения пропорционален приложенному к якорю напряжению, а в машинах переменного тока — квадрату напряжения. Поэтому первый член правой части уравнения представляет собой управляющее воздействие, второй – возму­щающее.

Отношение М_кз/ω₀=с представляет собой угловой коэффи­циент (тангенс угла наклона), определяющий жесткость мех-кой хар-ки двигателя. Поэтому можем написать

Jdω/dt + сω = М_кз – М_с. (6.4)

Разделив на с, полу­чим (J/с)dω/dt + ω = ω₀ – М_с/с. (6.5)

Введем обозначения 1/с = k_c и J/с = Т_М, где

Т_м – э-омех-кая постоянная времени.

В результате Т_м dω/dt + ω = ω₀ – k_cМ_с. (6.6)

Выражение k_cМ_с представляет собой падение скорости под влиянием статич-го момента М_с.

Рис. 6-3 а) Хар-рные точки на мех-кой хар-ке

б) Кривые ПП-сов при пуске ЭД; в) кривые момента и скорости при набросе нагрузки

Постоянную времени Т_м можно выразить через номинальные значения момента и скорости. Исходя из хар-ки на рис. 6-3

с = М_ном/ω₀s_ном.

Откуда Т_м = Jω₀s_ном/М_ном

Т.о, выражение (6-6) может быть представлено как Т_мdω/dt + ω = ω₀ – Δω _с. (6.11)

Или Т_мdω/dt + ω = ω_с. (6.12)

Соответственно хар-кое уравнение будет иметь вид Т_мр + 1 = 0. (6.13)

а его корень р₁ = –1/Т_М. При этом выражение для скорости в переходном режиме может быть записано как ω = Ае^-t/Тм + ω_с.

Для начальных условий, записанных в общем виде: ω = ω_нач при t = 0, имеем А = ω_нач – ω₀, откуда ω = ω_с (1–е^-t/Тм ) + ω_нач е^-t/Тм.

Ур-е для момента ЭД и тока (ДПТ НВ) имеет аналогичный вид (ω→М_дв, ω_с→М_с, ω_нач → М_нач).

Соответствующие кривые для тока и скорости при пуске двигателя представлены на рис. 6-3 б, а для приема (наброса) нагрузки — на рис. 6-3, в

Аналогичные кривые можно было бы получить и для процессов торможения и реверса. Отличие их определяется только начальными условиями ω_нач, I_нач, М_нач. Следует, иметь в виду, что

в процессе реверса при достижении нулевого значения скорости имеет место разрыв непрерывности в протекании процесса, так как статический момент, если он реактивный, скачком меняет знак. Поэтому весь процесс приходится разбивать на два этапа – от начальной скорости до остановки и от нулевой скорости до новой установившей при противоположном направлении вращения. При наличии активного момента, знак которого не меняется, весь процесс описывается одним уравнением.

(teoriya_elektroprivoda_2 -286 стр). В широко применяемых э-оприводах, получающих

питание от сети, э-омеханические ПП протекают при неизменном напряжении U_я или частоте f₁, т. е. при ω₀= const. ПП э-опривода при этом могут быть вызваны:

а) включением двигателя, при этом (ω скачком изменяется от нуля до ω_0ном (пуск);

б) изменением знака ω_0ном также скачком (торможение противовключением, реверс);

в) отключением двигателя от сети и включением по схеме динамического торможения, при котором ω скачком уменьшается от ω_0ном до нуля (динамическое торможение);

г) изменением сопротивления якорной R_Я∑ или роторной R^/_2∑ г цепи двигателя при

М = const (изменение скорости э-опривода);

д) изменением нагрузки на валу двигателя (скачок нагрузки).

Т.к. ПП пуска и торможения должны протекать при ограниченных значениях тока двигателя, то при ω₀= const в силовую цепь вводятся добавочные резисторы (R_я,доб для ДПТ и R_2доб для АД), при этом влияние э-омагнитной инерции снижается и при достаточно большом сопротивлении добавочного резистора можно приближенно при расчете ПП-сов принимать Т_э= 0. Необходимость учета э-омагнитной инерции (Т_Э ≠ 0) обычно возникает при расчете ПП, когда добавочные резисторы отсутствуют и двигатель работает на естественной хар-ке.

С учетом изложенного получим общее решение дифференциального уравнения системы при Т_Э ≠ 0 и ненулевых начальных условиях. Э-омех-кие ПП в рассматриваемой системе описываются уравнением мех-кой хар-ки и уравнением движения э-опривода при С₁₂= :

Решив второе уравнение относительно момента М и подставив это выражение в первое, получим дифференциальное уравнение системы, решенное относительно скорости:

Аналогично получим дифф. Ур. системы, решенное относительно момента:

Значение m является важным показателем динамических свойств э-опривода, непосредственно определяющим колебательность разомкнутой э-омех-кой системы при

жестких мех-ких связях.

решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Относительно момента

:

Рис. 4.22 – ПП приложения нагрузки m <4: а – естественная мех-кая хар-ка двигателя

К двигателю, работающему в статическом режиме, М=М_с.нач, ω = ω_с.нач скачком прикладывается нагрузка М_с.

Физические особенности процесса удобно проследить, сопоставляя естественную

хар-ку 1 с построенной с помощью графиков на рис. 4.22,б динамической мех-кой хар-кой для рассматриваемого процесса 2 (рис. 4.22,а). При возрастании скачком момента нагрузки происходит процесс снижения скорости, вызывающий в свою очередь рост тока и момента двигателя. Однако вследствие наличия индуктивности рассеяния нарастание момента двигателя идет медленнее, а скорость снижается в большей степени, чем это определяется статической хар-кой 1. Поэтому при возрастании момента до М=М_с скорость ω < ω_с, что влечет за собой дальнейший рост момента до М_max. Колебания затухают, и после двух-трех их периодов достигается установившийся режим М=М_с, ω = ω_с.

Максимальное динамическое падение скорости Δω_max при этом превышает статическое падение Δω_с в тем большей степени, чем больше жесткость статической хар-ки и чем больше Т_э. Т.о., отклонения скорости от требуемого значения из-за э-омагнитной инерции существенно увеличиваются, что для механизмов с ударной нагрузкой в ряде случаев по условиям технологии является неблагоприятным.

(teoriya_elektroprivoda_2 -277 стр). Наиболее часто при проектировании э-оприводов требуется обеспечить изменение скорости от ω_нач до ω_кон за минимальное время при наложенном ограничении на максимально допустимый момент двигателя М_доп. Такие процессы называются оптимальными по быстродействию при ограничении момента. При М_с = const этому условию соответствует равномерно ускоренный хар-р изменения скорости ω(t), показанный на рис. 4.18 (кривая 1) при М=М_доп = const (кривая 2). Если нагрузка механизма зависит от скорости, то ускорение э-опривода

не является постоянным. В частности при реактивном моменте нагрузки скорость ω должна при реверсе изменяться в процессе торможения и пуска с различным ускорением (рис. 4.18).

Рис. 4.18 – Оптимальные по быстродействию процессы пуска, реверса и торможения

эопривода при ограничении момента

Для ряда производственных механизмов ПП-сы э-опривода должны протекать при строго ограниченном ускорении ε ≤ ε_доп (лифты). ПП-сы с постоянным ускорением и при различных нагрузках М_с = var называются оптимальными по быстродействию при ограничении ускорения.

Хар-р ПП-сов пуска при этих условиях, если момент нагрузки изменяется от M_c.min до М_с.мах, показан на рис. 4.19,а. Здесь зависимость ω(t) (кривая 1) должна оставаться неизменной при разных нагрузках, а момент двигателя при М_с.мах и М_с.min в соответствии с уравнением движения М = J_∑ε_доп + М_С является различным (кривые 2 и 3):

Процессы пуска при ограниченном ускорении для М_с = М_с.мах (кривые 1 и 2) и М_с= М_с.min (кривые 3 и 4) представлены на рис. 4.19,б. Они отличаются от оптимальных по быстродействию при ε = ε_доп.

Метод фазовой плоскости является графоаналитическим методом (по точкам), применимым для анализа систем не выше второго порядка. Анали­тические методы применяются для анализа ПП-сов в линейных системах.

В графических методах результат анализа получают благодаря графическим построениям, в графоаналитических наряду с графическими построениями выполняют аналитические расчеты.

Графические (Чекунов 103) и графоаналитические методы приближенные, так же как и точность полученных результатов во многом зависит от тщательности графических построений и техники черчения. Основным недостатком этих методов является то, что они дают лишь частные решения и не позволяют делать обобщающих выводов. Эти методы используют при:

– нелинейных хар-ках ЭД или рабочей машины;

– при расчете ПП-сов сложных систем э-опривода, поведение которых описывается ДУ высокого порядка;

– когда статический момент зависит не от скорости, а от пути или времени.

3.Графические и графоаналитические методы исследования ПП-сов. 4.Методы пропорций и площадей. moskalenko_v_v_avtomatizirovannyy_elektroprivod (PDF) 272стр.

В общем случае динамический момент, определяемый моментами двигателя и исполнительного органа, зависит от скорости, положения исполнительного органа и времени, в том числе и произвольным образом. Рассмотрим неустановившееся движение, когда анали­тическая зависимость динамического момента от скорости отсутствует.

Нахождение искомых зависимостей М(t), ω(t) и φ(t) связано с решением (интегрированием) основного уравнения движения M – M_ст = Jdω/dt при заданных законах изменения мо­ментов двигателя и нагрузки. Если эти законы выражают­ся аналитически, то основные проблемы имеют математи­ческий хар-р и связаны с интегрированием этого уравнения. Когда законы изменения моментов не заданы ана­литически или точное решение невозможно, исполь­зуются приближенные способы интегрирования уравнения движения: численные и графоаналитические. Рассмотрим применение этих методов при произвольной зависим моментов только от скорости движения.

Рис.1.13 – Использование численного метода для построения кривых ПП-са:

а – мех-кие хар-ки; б – кривые ПП-са

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений широко используются в вычислительной матема­тике и известны под названием методов Эйлера, Рунге — Кутта и др. Рассмотрим применение наиболее простого из них — метода Эйлера на примере получения зависимости ω(t) при пуске АД с вентилятором, мех-кие хар-ки приведены на рис. 1.13, а.

Метод Эйлера предусматривает замену дифференциа­лов переменных в (1) их приращениями, в результате чего это уравнение может быть записано в виде

Δt = JΔω/(M – M_c). (1.42)

Для пользования этим уравнением ось скорости разби­вается на ряд интервалов Δω_i, на которых моменты АД и нагрузки (вентилятора) принимаются постоянными. Далее для удобства вычислений составляется табл. 1.1.

табл. 1.1.

Порядок расчета зависимости ω(t) состоит в следую­щем. Для каждого i-го интервала скорости Δω_i по хар-кам рис.1.13, а определяют средние на этом интерва­ле моменты двигателя M_i (столбец 3) и нагрузки M_ci (столбец 4). Далее по (1.42) рассчитывают Δt_i (столбец 5). На последнем этапе расчета определяют текущие значения скорости (столбец 2) и времени (столбец 6) как сумму при­ращения и значения переменной на предыдущем участке и строят искомую зависимость ω(t) (рис. 1.13,б). Данные табл. 1.1 позволяют построить и зависимость M(t), для че­го должны быть использованы данные столбцов 3 и 6.

При необходимости построение зависимости φ(t) урав­нение dφ= ωdt также записывается в приращениях Δφ= ωdt, и по данным столбцов 2 и 5 может быть получена и эта зависимость.

Достоинство рассмотренного численного метода состоит в его простоте и наглядности, а точность его определяется интервалами Δω разбиения оси скорости.

Графические и графоаналитические методы, среди кото­рых наибольшее распространение получили метод площа­дей и метод пропорций, также предназначены для прибли­женного интегрирования уравнения движения для получе­ния зависимостей M(t), ω(t) и φ(t). Рассмотрим сущность метода пропорций на том же примере пуска АД вентиля­тора.

БЫЛОе

Пример. (elektroprivod Онищенко 2003-191стр). Проведем анализ э-омех-кой системы, состоящей из двигателя с линейной мех-кой хар-кой, и жест­кoгo мех-кого звена. Движение такой э-омех-кой системы определяет­ся уравнением движения э-опривода

М–М_с = J_∑dω/dt. (1)

Линейная мех-кая хар-ка описывается ypaвнением

. (2)

Совместное решение (1) и (2) позволяет получить ypaвнение, описывающее ПП-сы двигателя, опреде­ляемые мех-кой инерционностью э-опривода

. (3)

Величина М_с/β представляет собой падение скорости от нагрузки –­ статическую ошибку Δω_с, а величина (ω₀ – М_с)/β ­– установившееся значение скорости ω_уст после окончания ПП-са, когда М станет равным М_с (рис.8.3,а).

Рис.8.3 – ПП пуска э-опривода:1–механич. и 2 –переходная хар-ка; в) Кривые ω = f(t)

Тогда, обозначив Т_М = J_∑/β

получим выражение для переходной хар-ки э-опри­вода:

.

ПП-сы, определяемые одной мех-кой инерционностью, суммарным приведенным к валу двигателя моментом инерции J_∑ описываются ДУ первого порядка. Решением этого уравнения является пере­ходная хар-ка, имеющая вид экспоненты с постоянной времени Т_М (рис.8.3,б):

ω = ω_уст – (ω_уст – ω_нач)е^-t/Тм.

При ω_нач = 0:

ω = ω_уст(1 – е^-t/Тм).

Ток, момент и скорость двигателя с линейной мех-кой хар-кой в переходных режимах изменяются по экспоненциальному закону (Чекунов 93 стр).

Лекция 30

Динамические свойства э-опривода пост. и переменного тока с линейной мех-кой хар-кой при различных способах управления. Э-омех-кая постоянная времени и ее физический смысл. Э-омагнитная постоянная времени, исследование ПП-сов с ее учетом. Elektroprivod – 195стр.

(Н.Ф. ИЛЬИНСКИЙ ОСНОВЫ Э-ОПРИВОДА lek 5). При мгновенном изменении f₁ и U₁ мгновенно устанавливается новая механическая хар-ка, а изменение скорости w и момента М в переходном процессе происходит согласно этой хар-ке. Переходный процесс определяется статической механической хар-кой привода.

При частотном изменении f₁ и U₁ переход привода с одной хар-ки на другую происходит постепенно, одновременно с изменением скорости, в результате чего соответствие между скоростью w и моментом М в каждый момент времени определяется не статической механической хар-кой, а другой, отличной от нее хар-кой, которую называют динамической механической хар-кой или просто динамической хар-кой.

В качестве примера на рис. 5.13 показана статическая хар-ка АД при номинальной частоте 1, по которой будет происходить пуск при мгновенном приложении к двигателю напряжения такой частоты, и динамическая хар-ка 2, соответствующая пуску двигателя путем плавного изменения частоты от нуля до номинальной по некоторому закону.

Рис. 5.13. Статическая 1 и динамическая 2 механические хар-ки

Динамические хар-ки определяются темпом изменения фактора, вызывающего переходный процесс, и пар-ми привода, могут очень сильно отличаться от статических хар-тик и даже иметь совсем другую форму.