Фундаментальные физические постоянные

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет

Методические указания

и контрольные задания по общему курсу физики

(раздел ,,Механика”)

для студентов-заочников

.

Рассмотрено

на заседании кафедры физики

Протокол №5 от 5.05.2008 г.

Утверждено

учебно- издательским советом ДонНТУ

Протокол №4 от 19.05.2008г.

.

УДК 53(071)

”Методические указания и контрольные задания по общему курсу физики (раздел ”МЕХАНИКА”) для студентов-заочников”.

Авторы: Волынская В.Г., Савченко Т.А.

Донецк: ДонНТУ, 2008 -37 с.

Пособие включает 110 задач, которые полностью охватывают материалы программы по общему курсу физики (раздел ”Механика”). Методическое пособие состоит из трех частей. В первой части приводятся основные понятия, законы и формулы. Вторая часть содержит примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы; третья часть – приложения.

Основное назначения пособия – оказать помощь студентам заочникам инженерно-технических специальностей ДонНТУ в изучении курса физики (раздел ”Механика”).

Составители Волынская В.Г.

Савченко Т.А.

Ответственный за выпуск Гольцов В.А., профессор

Рецензент Ветчинов А.В., доцент

Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ.

1. Контрольные работы нужно выполнять чернилами в школьной тетради

(для каждой контрольной работы отдельная тетрадь) и подписывать по следующему образцу :

Контрольная работа №……..

По физике

Студента группы ………..

Заочного факультета ДонНТУ

Ф.И.О.

Шифр (№ зачетной книжки)

2. В каждую контрольную работу вкладывается лист для рецензента следующего образца:

Рецензия

На контрольную работу №………

По физике

Студента группы…….

Заочного факультета ДонНТУ

Шифр (№ зачетной книжки)

3. Условие задач в контрольной работе надо переписывать без сокращений. Для замечаний преподавателя после решения каждой задачи оставлять страницу.

4. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых НЕВЕРНО. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.

5. Зачтенные контрольные работы и рецензии к ним хранятся в архиве кафедры и студентам не возвращаются. Студент должен быть готов во время экзамена или зачета дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу.

6. Решая задачи, целесообразно использовать следующие методические указания:

6.1. Прочитав условие задачи, сделать краткую запись условия, выразить все данные в единицах СИ и, где это только возможно, дать схематический чертеж, поясняющий содержание задачи.

6.2. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

6.3. Решать задачу нужно в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

6.4. Вычисления по расчетной формуле нужно проводить в единицах СИ и с соблюдением правил приближенных вычислений.

6.5. В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы при необходимости рецензент мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

курса общей физики по разделу“Механика”

1. Физические основы классической механики

Классическая механика — одно из оснований современной техники. Механическое движение. Кинематика. Тело отсчета, система отсчета. Материальная точка. Скорость и ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела. Угловая скорость и угло-вое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося те-ла.

Динамика. Задачи динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Масса. Импульс. Сила. Фундаментальные взаимодействия. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона.

Динамика вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Момент импульса. Момент инерции тела относительно оси. Момент силы. Уравнение динамики вращатель-ного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Механическая работа и энергия. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Понятие о поле. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Механическая энергия. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Потенциальные поля. Силы потенциальные (консервативные) и диссипативные. Потен-циальная энергия тела в гравитационном поле. Потенциальная энергия упругого взаимо-действия.

Законы сохранения — фундаментальные законы физики. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения механической энергии. Общий закон сохранения энергии.

2. Элементы специальной теории относительности

Пространство и время. Пространство и время в классической механике. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея. Постулаты специальной теории относитель-ности. Преобразования Лоренца. Относительность понятия одновременности событий. Относительность временных интервалов. Лоренцево сокращение длины. Релятивистский закон сложения скоростей. Интервал между событиями и его инвариантность по отноше-нию к выбору инерциальной системы отсчета как проявление и взаимосвязь пространства и времени.

Элементы релятивистской динамики. Импульс и масса в релятивистской динамике. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Взаимосвязь массы и энергии. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Соотношение между пол-ной энергией и импульсом.

Основные законы и формулы

1 .1. Элементы кинематики

Средняя и мгновенная скорости материальной точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , v= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - элементарное перемещение точки за промежуток времени Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - радиус-вектор точки; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - путь, пройденный точкой за промёжуток времени Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Полное ускорение при криволинейном движении

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где аt = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - тангенциальная составляющая ускорения;

аn - нормальная составляющая ускорения (R-радиус кривизны траектории в данной точке).

Путь, скорость для равнопеременного движения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ;

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где v0 -начальная скорость.

Угловая скорость

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Угловое ускорение

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Угловая скорость для равномерного вращательного движения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Т-период вращения; n = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - частота вращения (N — число оборотов, совершаемых телом за время t).

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ;

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru 0 - начальная угловая скорость.

Связь между линейными и угловыми величинами:

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; v=R Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru at=R ε ; аn = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где R- расстояние точки от оси вращения.

1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Импульс (количество движения) материальной точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =m Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Сила трения скольжения

Fтр = f N,

гдеf - коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.

Сила трения качения

Fтр = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

гдеfk - коэффициент трения качения; г - радиус катящегося тела.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где n - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

1 .З. Работа и энергия

Работа, совершаемая постоянной силой,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Fs - проекция силы на направление перемещения;

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - угол между направлениями силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

А= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Средняя мощность за промежуток времени Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Мгновенная мощность

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru или Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Кинетическая энергия движущегося со скоростью v тела массой m

T= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией тела

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru или Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - единичные векторы координатных осей.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h,

П =mgh,

гдеg - ускорение свободного падения.

Сила упругости

F=-kx

где х - деформация; к- коэффициент упругости.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

Т + П = Е =.соnst.

Коэффициент восстановления

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru и Фундаментальные физические постоянные - student2.ru -соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

Скорости тел массами m1и m2 после их абсолютно упругого центрального удара

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где v1 и v2 - скорости этих тел до удара.

Скорость тел массами m1 и m2, движущихся соответственно со скоростями v1 и v2, после абсолютно неупругого центрального удара

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

1.4.Механика твердого тела

Момент инерции материальной точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где m-масса точки; r-расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где rі - расстояние материальной точки массой m і до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m масса тела):

  Тело   Положение оси вращения   Момент инерции  
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R   Ось симметрии mR2  
Сплошной цилиндр или диск радиусом R   То же Фундаментальные физические постоянные - student2.ru
Прямой тонкий cтержень длиной Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Ось перпендикулярна cтержню и проходит через его середину   Фундаментальные физические постоянные - student2.ru
То же Ось перпендикулярна и проходит через его конец   Фундаментальные физические постоянные - student2.ru
Шар радиусом R Ось проходит через центр шара Фундаментальные физические постоянные - student2.ru  

Теорема Штейнера

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Jс- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m —мас-са тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной осиz,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Jz — момент инерции тела относительно оси; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru -его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости бёз скольжения,

T= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где m- масса тела;vc — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — угловая скорость тела.

Момент силы относительно неподвижной точки

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . Модуль момента силы

М=F Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа при вращении тела

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru А=Мz d Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где d Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — угол поворота тела; Мz — момент силы относительно оси z.

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси

вращения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где rі - расстояние от оси z отдельной частицы тела ; mі vі –импульс этой частицы; Jz –мо-

мент инерции тела относительно оси z ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru -его угловая скорость.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

ε— угловое ускорение; Jz — момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Напряжение при упругой деформации тела

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где F - растягивающая (сжимающая) сила; S—площадь поперечного сечения тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — изменение длины тела при растяжении (сжатии)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru —длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d— диаметр стержня.

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где Е-модуль Юнга.

Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) тела

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где V-объем тела.

1.5. Элементы специальной (частной) теории относительности

Преобразования Лоренца

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru x' = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , у'=у, z'=z‚ Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где предполагается, что система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы отсчета К, причем оси х' и х совпадают, а оси у' и у, z' и z, параллельны; с — скорость распространения света в вакууме.

Релятивистское замедление хода часов

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ' = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru -промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru '- Фундаментальные физические постоянные - student2.ru промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

l0— длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l— длина стержня, измеренная в системе отсчета относительно которой он движётся со скоростью v.

Релятивистский закон сложения скоростей

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где предполагается, что система отсчета К' движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х' и х совпадают, оси у' и у,z' и z параллельны.

Интервал S12 между событиями (инвариантная величина)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

где t12 — промежуток времени между событиями 1 и 2;

l12— расстояние между точками, где произошли события.

Релятивистский импульс частицы

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где m — масса частицы.

Основной закон релятивистской динамики

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru релятивистский импульс.

Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Т=Е-Е0 ,

где Е 0 — энергия покоя (m масса частицы; с — скорость распространения света в вакууме).

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Е2 = m2с4 + р2с 2 , pc= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 2Аt + 5Вt 4

(А =2рад/с 2, В = 1 рад/с 5). Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделанных диском.

Дано:R=5см=0,05м, В=5см=0,О5м, Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =2Аt+5Вt 4, А=2рад/с2, В=1рад/с5, t = 1 с.

Определить: 1) а; 2) N.

Решение. Полное ускорение Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , где тангенциальная составляющая ускорения Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ( Фундаментальные физические постоянные - student2.ru -угловое ускорение), а нормальная составляющая ускорения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

По условию задачи Фундаментальные физические постоянные - student2.ru следовательно,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

откуда полное ускорение

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Угол поворота диска Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (N —. число оборотов), но угловая скорость Фундаментальные физические постоянные - student2.ru следовательно,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

. Тогда число оборотов, сделанных диском,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения.

[а]= [м Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ] = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , N-единиц измерения не имеет.

Подставив числовые данные , получим :

а = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 4,22(м/с2),

N= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =0,477 Фундаментальные физические постоянные - student2.ru 0,5.

Ответ: 1) а = 4,22 м/с 2 , 2 ) N Фундаментальные физические постоянные - student2.ru 0,5.

Задача 2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг м2, намотан шнур к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h 0 =1м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию W k, груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.Трением пренебречь.

Дано: R=20 cм = 0,2м , J=0,1кгм 2 , m=0,5кг, h0 =1м

Определить: 1) t; 2) Wk ; 3) Т.

Решение.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru При опускании груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения: Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (1),

где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , откуда Фундаментальные физические постоянные - student2.ru или

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (2).

Движение равноускоренное, поэтому Рис.1

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (3); Рис.1

. Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (4).

Выразим t из (4) и подставив в 2) получим:

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ;

Кинетическая энергия Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , подставив уравнение (2), получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

По второму закону Ньютона

mg -T= ma , откуда T= m(g-а) .

Из (3): Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Тогда Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения и проведем вычисления t, WK и Т.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ: t=1,1с; Wk=0,82Дж; Т=4,1Н.

Задача 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня 1=1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол а =10°.

Дано: М=1000 m, Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =1м , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Определить v.

Решение.

Силу сопротивления воздуха не учитываем, следовательно,

систему «пуля-шар» можно считать замкнутой. Запишем закон

сохранения импульса и энергии для данной системы:

mv = (m+M)u (1) , Рис.2.

где u-скорость шара вместе с пулей после удара.. В результате взаимодействия шара с пулей, он приобрел кинетическую энергию, которая после отклонения стержня на < Фундаментальные физические постоянные - student2.ru перешла в потен -циальную энергию

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (2).

Из (1) выразим u:

u = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru или u = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Из (2) получим :

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Найдем h.

ВМ= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , h= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , тогда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения v.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проведем вычисления v. Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru 550(м/с).

Ответ:v Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =550м/с.

Задача 4. Найти работу А , которую надо совершить, чтобы сжать пружину на Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =20 см, если известно, что сила F пропорциональна сжатию Фундаментальные физические постоянные - student2.ru и жесткость пружины k = 2,94 кН/м.

Дано: Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =20 см =0,2м, k = 2,94 кН/м=2,94.10 3 Н/м.

Определить А.

Решение

Работа, совершаемая при сжатии пружины, определяется формулой

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (1),

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — сжатие. По условию сила пропорциональна сжатию, т.е. F = - k Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — (2). Подставляя (2) в (1), получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .А = 58,8 Дж.

Проверим единицы измерения А.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Проведем вычисления А. Рис.3

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ: А=58,8Дж.

Задача 5. Камень брошен горизонтально со скоростью v x = 10 м/с . Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3с после начала движения.

Дано: v x=10м/с, t=3с.

Определить R.

Решение.

Нормальное ускорение камня

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (1);

из рисунка видно, что

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (2).

Из уравнения (1)

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Кроме того Фундаментальные физические постоянные - student2.ru; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru.Сделав соответствующие подстановки,

получим Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения и проведем вычисления искомой величины.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , R= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ R=305м.

Задача 6. Два свинцовых шара массами m 1= 2 кг и m 2 = 3 кг подвешены иа нитях длиной Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар откло-нили на угол Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 60 0 и отпустили (рис. 4). Считая удар центральным и неупругим, опре-делить: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано:m 1=2кг,m 2=3кг, Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =7Осм =0,7м, Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =60 0.

Определить: 1) h ; 2) Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Решение. Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся с Рис.4

общей скоростью v, которую найдем из закона сохранения импульса: Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , (1)

где v1 и v2 — скорости шаров до удара. Скорость v1 малого шара найдем Рис.4

из закона сохранения механической энергии:

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

откуда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (2)

(учли, что h 1 = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (1—соs Фундаментальные физические постоянные - student2.ru )).

Из выражений (1) и (2) при условии , что v 2= 0, получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . (3) Из закона сохранения механической энергии имеем

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

Откуда искомая высота

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

(учли формулу (3)).

Энергия израсходованная на деформацию шаров при ударе,

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

или подставив (2) в (4), находим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения определяемых величин и проведем вычисления.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ: 1) h=5,6 cм ; 2) Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Т= 4,12 Дж.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Задача 7. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v =3 м/с, прошел до остановки расстояние s. = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лед.

Дано: v=3 м/с, s=20,4м.

Определить k.

Решение. Рис.5

Работа силы трения при скольжении камня по льду равна

А = Fтр S cos Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

где F тр =k mg cos Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , cos180 0=-1, тогда А = -k mgS - (1). С другой стороны, работа силы трения равна приращению кинетической энергии камня А =W 2 -W 1.

Поскольку W 2 =0, то А = - W 1 = - Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — (2). Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . Единиц измерения k не имеет.

Подставив числовые значения и вычисляя получим:

k= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ k=0,02.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Задача 8. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростьюv = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен IО м на каждые IОО м пути.

Дано: v=7,2 км/ч=2 м/с, h=10 м , Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =100 м.

Определить S. Рис.6

Решение.

У основания горки обруч обладал кинетической энергией W k , которая складывалась из кинети-ческой энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения. Когда обруч вка-тился на горку на расстояние s , его кинетическая энергия перешла в потенциальную.

W k. =Wп

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Момент инерции обруча J= mR2 , частота вращения Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . Тогда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Следовательно, mv 2 = mgН, откуда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Из (рис.6) видно, что Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , откуда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru или Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Проверим единицы измерения S.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Подставив числовые данные, получим:

S = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Рис.7.

Ответ S=4,1м.

Задача 9. Карандаш длиной 1=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость Фундаментальные физические постоянные - student2.ru и линейную скорость v будет иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша?

Дано: Фундаментальные физические постоянные - student2.ru см =0,15м.

Определить: v1 и v 2.

Решение.

Рассмотрим движение центра масс карандаша. В вертикальном положении он обладает потен-циальной энергией, которая при падении переходит в кинетическую энергию вращения (рис.7).

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (1).

Момент инерции карандаша относительно оси, проходящей через его конец, найдем по теореме Штёйнера:

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - Фундаментальные физические постоянные - student2.ru (2).

Подставив (2) в (1), получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,откуда Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ;

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 14 рад/с. Поскольку Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , а линейная скорость v= Фундаментальные физические постоянные - student2.ru R, то скорость конца карандаша v 1 = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =2,1м./с. Скорость середины Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =1,05 м/с.

Ответ: v1=2,1м /с , v 2=!,05м/с.

Задача10. Горизонтальная платформа (рис.8) массой m =100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n 1 =10 об/мин. Человек массой m 0 =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n 2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

Дано: m=100 кг , n1 =10 об/мин , m 0=60 кг.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Определить n 2.

Решение:

Система «человек - платформа» замкнута в проекции на ось у,

т. к. моменты сил Мmg =0 и M m0g =0 в проекции на эту ось. Сле-

довательно, можно воспользоваться законом сохранения момента Рис.8

импульса. В проекции на ось у:

J1 w 1= J 2 w 2 - (1),

где J 1- момент инерции платформы с человеком, стоящим на ёе краю, J 2 - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w 1 и w 2 - угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (2),

где R- радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , где n - частота вращения платформы, получим :

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Вычисляя , получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Ответ n 2 =22об/мин.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Задача11.Доказать, что при малых скоростях релятивистская формула кинетической энергии переходит в классическую.

Решение.

Релятивистская формула кинетической энергии:

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Разложим выражение Фундаментальные физические постоянные - student2.ru по формуле бинома Ньютона

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =1 + Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ... и отбросим члены более высокой степени, чем Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , в силу их малости (v«c).Тогда

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Задача12. Мезоны космических лучей достигают поверхности Земли с самыми разно-образными скоростями. Найти релятивистское сокращение размеров мезона, скорость которого равна 95% скорости света.

Дано v=0,95c

Определить Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Решение.

Т. к. поперечные размеры тела при его движении не меняются, то изменение объема тела определяется лоренцевым сокращением продольного размера , определяемого формулой

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru

Следовательно, объем тела сокращается по аналогичной формуле

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Подставляя числовые данные, получим

V=0,31 2V 0

Тогда относительное изменение объема

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru % = 68,8%.

Задача13. Солнце излучает поток энергии Р = 3,9. 1О26 Вт. За какое время Фундаментальные физические постоянные - student2.ru масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излучение Солнца считать постоянным.

Дано: Р=3,9 Фундаментальные физические постоянные - student2.ru Вт, Фундаментальные физические постоянные - student2.ru m 0=1,989.1030кг.

Определить Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Решение.

Поток энергии, излучаемый Солнцем, определяется соотношением

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (1).

Изменение энергии Солнца в процессе излучения

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (2).

По условию Фундаментальные физические постоянные - student2.ru - (3),

где m 0 =1,989 .1 0 30— начальная масса Солнца. Подставляя (2) в (1), с учетом (3),

получаем

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ,

откуда время, за которое масса Солнца уменьшится в 2 раза, равно

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Проверим единицы измерения определяемой величины.

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Подставив числовые данные и вычисляя, получим

Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Фундаментальные физические постоянные - student2.ru .

Ответ Фундаментальные физические постоянные - student2.ru =7,2.10 12лет.

Задачи

1.1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: х =А +Вt +Ct 3,

где А = 2 м, В = 1 м/с, С = -0,5 м/с 3 Найти координату х, скорость v и ускорение а точки в момент времени t = 2 с.

1.2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = А + Вt + C t 2, где А=10 рад, В= 20 рад/с, С=-2 рад/с 2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии

r = 0,1 м от оси вращения, для момента t = 4 с.

1.3.Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. За-кон движения автомобиля выражается уравнением: S=10 +10t - 0,5t 2. Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени t= 5 с.

I .4. Движение материальной точки задано уравнением х = А t + Bt 2 , где А = 4 м/с,

В= -0,05 м/с 2. Определить момент времени, в который скорость точки v= 0. Найти координату и ускорение в этот момент.

1.5. Точка движется по окружности радиусом 60 см с тангенциальным ускорением

10 см/с 2. Чему равны нормальное и тангенциальное ускорения в конце третьей секунды после начала движения .Чему равен угол между векторами полного и нормального

ускорения в этот момент.

1.6. Материальная точка с массой m= 2 кг движется под действием некоторой силы согласно уравнению х = А + Вt + Сt 2 + Dt 3, где C= 1 м/с 2, D=-0,2 м/с3. Найти значение этой силы в момент времени t = 2 c. В какой момент времени сила равна нулю?

1.7. Маховик делал 4 оборота в секунду. При торможении он начал вращаться равно-замедленно и остановился через З с. Сколько оборотов сделал маховик до остановки?

1.8.Камень брошен с вышки со скоростью 29,4 м/с в горизонтальном направлении. Найти радиус кривизны траектории камня в точке, где он будет через 4 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.9. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями : х1 = 20 + 2t – 4t 2,

х2 = 2 + 2 t + 0,5t 2 . В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

1.10. Движение точки по прямой задано уравнением х =Аt + Bt2, где А= 2 м/с, В=-0,5м/с2. Определить скорость и ускорение движения точки в момент времени t = З с.

1.11. Движение точки по окружности радиуса R = 4 м задано уравнением S= А + Вt + Ct2 , где А = 10 м, В =-2 м/с, С = 1 м/с 2. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускоре-ния точки в момент времени t= 2 с.

.

1 .12. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнению Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = А +Bt+Ct 3, где А = З рад, В =-I рад/c, С = 0,1 рад/с 3. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

1.13. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 6 м/с; точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 4 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

1.14. Маховик вращается по закону, выражающемуся уравнением Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 0,5 t 2. Найти угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент времени t= 2 с. Найти танген-циальное, нормальное и полное ускорения в этот момент для точки, лежащей на маховике на расстоянии 0,8 м от оси вращения.

1.15. Тело брошено со скоростьюvо = 15 м/с под углом Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по

горизонтали) s тела; 3) время t его движения.

1.16. Тело брошено со скоростью vо =20 м/с под углом Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 1,5 с после начала движе-ния: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

1.17. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s =А - Вt +

Сt2 +Dt 3 (А = б м, B=3 м/с, С = 2 м/с2, D = 1 м/с 3). Определить для тела в интервале времени от t 1= 1с до t 2 = 4с : 1)среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

1.18. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А + Вt + Сt 2 + Dt 3 (С =0,1 м/с2, D = 0,03 м/с 3). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение тела будет равно а=2 м/с2 ; 2) среднее ускорение тела за этот проме-

жуток времени.

1.19. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью v 0 . Определить ускорение тела, если за время t =2с оно прошло путь s = 16 м и его скорость v = 3v 0.

1.20. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид х1 = А 1 + В1t2 + С1 t 3 и x 2 = А 2 t + В2t 2+ С2t 3 , где В1= 4 м/с2, С1= -3 м/с3, B2 =-2 м/с 2, С 2 = 1 м/c3. Определить момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

1.21. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид х1 = А1 +

B 1 t+C 1t 2 x 2=A 2 +B2t+C 2t 2, где В1 = В 2, С1 = -2 м/с2, С 2= 1 м/с2. Определить: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения а1 и а2 для этого момента.

1.22. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону Фундаментальные физические постоянные - student2.ru , где Фундаментальные физические постоянные - student2.ru — орты осей х и у. Определить для момента времени t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

1.23. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону Фундаментальные физические постоянные - student2.ru . Определить:1) скорость Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; 2) ускорение Фундаментальные физические постоянные - student2.ru ; 3) модуль скорости в момент времени t= 2 с.

1.24. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = А + Вt +Сt 2- Dt 3 (В =

1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с 3). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а t ; 2) нормальное ускорение а n ; 3) полное ускорение а.

1.25. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Аt 2 (А = 0,5 рад/с 2). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное , нормальное и полное ускорения

1.26. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота ра-диуса диска от времени задается уравнением Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = Аt 2 (А = 0,1 рад/с 2). Определить пол-ное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки v= 0,4 м/с.

1.27. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = At + Вt 2 (А = 0,3 м/с2, В = 0,1 м/с3). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения Фундаментальные физические постоянные - student2.ru образует с радиусом колеса угол Фундаментальные физические постоянные - student2.ru = 4°.

1.28.Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v 0= 20 м/с, останови-лась через t = 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.

1 29. Гиря массой 0,200 кг, привязанная к нити, опускается с ускорением 1 м/с 2. Чему равно натяжение нити?

1.30. Шар массой m 1= 10 кг сталкивается с шаром массой m 2 = 4 кг Скорость первого шара v 1= 4 м/с, второго – v 2 = 12 м/с. Найти общую скорость u шаров после удара в двух случаях: когда малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; когда шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, неупругим.

1.31. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S= 5 м и приобрела ско-ростьv = 2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки m= 400 кг и коэффи-циент трения f=0,01.

Наши рекомендации