Тема: Похідна та її застосування

Головні питання:

1. Число b називається границею функції f(x) у точці х = а, якщо для будь-якого додатного числа е можна вказа­ти таке додатне число , що для всіх значень х із проміжку (а - ; а + ), крім, можливо, самої точки х = а, справджу­ється нерівність < .

2.Якщо кожна з функцій f(х) і g(x) має границю в точці а, то в цій точці існують границі функцій f(х) + g(x), f(x) g(x), kf(х), (g(x) і мають місце нерівності:

3. = f(x) + g(x);

2) = f(x) g(x);

3) kf(x) +k f(x);

4) = , якщо .

4.Функція називається неперервною в точці Х0, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функ­ції в точці Х0.

5. Похідною функції f(х) у точці Х₀ називають границю відношення і приросту функції в точці Х₀ до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує:

6. Правила та формули диференцювання

7. Якщо у = f(u), де u = h(x), то у' = у'_u u^'.

у¹ = k = tg - геометричний зміст похідної. v = s'(t); a(t) - v'(t) - механічний зміст похідної. у - У₀ = f (х₀)(х - х₀) - рівняння дотичної до графіка функ­ції у = f(x) у точці Х₀.

8.Якщо похідна функції в кожній точці деякого проміжку додатна, то функція на цьому проміжку зростає.

9. Якщо похідна в кожній точці проміжку від’ємна, то функ­ція на цьому проміжку спадає.

10. Якщо похідна в кожній точці проміжку тотожно дорівнює нулю, то на цьому проміжку функція стала.

Тема: Інтеграл та його застосування

Головні питання:

1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо для коленого значення х із цього проміж­ку F’(x) = f(x).

2. Наприклад, функція х² є первісною для функції 2х, бо (х²)' = 2х.

3 . Кожна первісна для функції f(x) має вигляд F(x) + С, де F(x) - одна з цих первісних, а С - довільне число.

4. Графіки будь-яких двох первісних для функції f(x) такі, що їх можна сумістити паралельним перенесенням уздовж осі ординат.

5. Операцію знаходження первісних називають інтегруван­ням функції. Ця операція обернена до диференціювання.

6. Первісні функції f(x) можна знаходити за формулами, на­веденими в таблиці.

7. Якщо F(x) і G(x) - первісні для функції f(x) і g(x), то F (x) + G(x) — первісна для f(x) + g(x),

8. Якщо F(x) - первісна для функції f(x), a k О, b - сталі, то:

kF(x) - первісна для функції kf(x);

F(kх + b) первісна для функції f(kx+b);

9. Площа підграфіка функції (або криволінійної трапеції) f(x) на проміжку [а; b] дорівнює F(b) - F(a), де F(x) - первіс­на для функції f(x) на

[а; b].

10. Інтегральною сумою є х f(Х₁)+ х f(Х₁)+ ... + х f(Х_n).

11. Границю інтегральної суми х f(Х₁)+ х f(Х₁)+ ... + х f(Х_n). функції f(x) на [а; Ь], якщо n , називають визначеним інтегралом функції f(x) від до b і позначають символом

12. Формулу Ньютона-Лейбніца = F(b) - F ) називають також основною формулою математичного аналізу.

13. За допомогою визначених інтегралів розв’язують багато важливих задач, які зводяться до визначення границь інтег­ральних сум.

Тема: Вектори у просторі

Головні питання:

1. Прямокутна система координат дає можливість встано­вити взаємно однозначну відповідність між точками просто­ру і трійками дійсних чисел: А(х, у; z) - точка з абсцисою х, ординатою у і аплікатою z.

2.Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квад­ратів різниць їх відповідних координат.

3. Якщо точка С(х, у; z) - середина відрізка з кінцями А (x_{1 ;} y_1; z₁ ) і В(x_{2 ;} y_2; z₂ ), то

Х= , У = , Z = =

4. Рівняння площини: х + bу + сz + d = 0.

5. Рівняння сфери радіуса r:

З центром у сфері координат -

+ + = ;

З центром у точці А ( ; b; с) –

+ +

6. Вектор – елемент векторного простору. Зображати ненульові вектори можна напрямленими відрізками. Будь-які вектори зручно зображати в координатній формі. Координатами вектора з початком у точці А( ) і кінцем у точці В( ) називають числа х = ; у = ; z = . Записують так: = (х; у; z).

7. Модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що його зображає. Позначають його символом або .

8. Якщо = (х, у; z), то = .

9. Сумою двох векторів ( ) і = ( ) називають вектор ; ).

10. Для додавання будь-яких векторів правильними є переставний і сполучений закони. Геометрично додавати вектори можна за правилом трикутника, паралелограма або паралелепіпеда.

11. Як би не розміщувалися в просторі точки А, В, С, D, завжди + + = .

12. Різницю двох векторів ( ) і = ( ) можна знаходити, користуючись рівністю ; ).

13. Будь-який вектор = (х, у; z) можна множити на довільне дійсне число k так: = (kх, kу; kz).

14. Для будь-яких векторів і чисел m, n завжди

m = ( = + ; (m+n) = + ; .

15. Скалярним добутком двох векторів називають добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними:

= .

16. Якщо ( ) і = ( ), то ; .

Тема: Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

Головні питання:

1. Задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин або упорядкованих підмножин можна утворити з елементів даної множини, називають комбінаторними задачами.

2. Якщо елемент деякої множини А можна вибрати т спосо­бами, а елемент множини В - п способами, то елемент з мно­жини А або з множини В можна вибрати т + п способами. Це - правило суми.

3. Якщо перший компонент пари можна вибрати т способа­ми, а другий - п способами, то таку пару можна вибрати тп способами. Це - правило добутку.

4.Добуток усіх натуральних чисел від 1 до п називають n-факторіалом і позначають п!.

5.Упорядковану k-елементну підмножину n-елементної мно­жини називають розміщенням з k елементів по п. їх кіль­кість позначають .

Для будь-яких натуральних п і k (n k)

= n(n-1) …(n-k+1).

6. Число розміщень з п елементів по k дорівнює добутку к послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.

7.Розміщення з га елементів по га називають перестановка­ми з п елементів. їх кількість позначають Р_п.

8.Кількість перестановок з n елементів дорівнює n!: Р_п = n!.

Комбінацією з п елементів по k називають будь-яку k-елементну підмножину n-елементної множини. Кількість комбінацій з га елементів по k позначають :

=

9. Статистика - це наука про збирання, обробку та ви­вчення різних даних, пов’язаних з масовими явищами, про­цесами та подіями.

10. Мода вибірки - її варіанта з найбільшою частотою.

11. Медіана вибірки - число, яке «поділяє» відповідний варі­аційний ряд навпіл.

12. Середнім значенням вибірки називають середнє арифме­тичне всіх її варіант.

13.Елементарною подією називають кожен можливий наслі­док імовірнісного експерименту. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних подій і позначають грецькою буквою Q (омега).

14. Ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості п(А) сприятливих для події А- елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних елементарних подій, які утворюють простір елементарних подій для даного випробування:

Р(А) =

Таке означення ймовірності називають класичним.

15. Найважливіші властивості ймовірності випадкової події:

1) якщо С подія неможлива, то Р(С) = 0;

2) якщо В - подія достовірна, то Р(В) = 1;

3) якщо X - подія випадкова, то 0 < Р(Х) < 1;

4) якщо Е_іг Е₂, Е₃, ..., Е_п -елементарні події, що вичерпують деяке випробування, тоP(E₁) + Р(Е₂) + Р(Е₃) + ... + Р(Е_г) = 1.

16. Якщо в п випробуваннях подія А відбувається т разів, то дріб — визначає відносну частоту події А. У багатьох реальних випадках зі збільшенням п відносна частота події стабілізується і дедалі менше відрізняється від деякого числа р (коли п , то р). Таке число р називають імовірністю події А. Це — статистичне означення ймовірності.