Средние величины в рядах динамики

Средние уровни ряда определяются различными методами для интервальных и моментных рядов динамики.

В интервальном ряду динамики средний уровень определяется по формуле средней арифметической простой:

, (1)

где - средний уровень ряда;

- уровни ряда динамики;

n – число членов ряда динамики.

Пример:

Товарооборот магазина «Одежда» за I полугодие составил: (тыс. р.)

Январь – 1886

Февраль – 1989

Март – 2527

Апрель – 2003

Май – 1600

Июнь – 2038

Определить среднемесячный объем товарооборота за I кв., II кв., I полугодие (II способами).

(тыс. р.)

(тыс. р.)

I способ (тыс. р.)

II способ (тыс. р.)

В моментном ряду динамики с равными промежутками времени средний уровень ряда определяется по формуле:

(2)

Задача.

Численность работников Универсама составила на: (чел.)

01.01. – 252

01.02. – 256

01.03. – 260

01.04. – 258

Определить среднесписочную численность работников за I квартал.

(чел.)

Средний уровень моментного ряда с неравными промежутками времени опреде6ляется по формуле средней арифметической взвешенной:

, (3)

где - средний уровень ряда динамики;

У_i – уровни ряда динамики;

T – время (дни, месяца, годы).

Задача.

В торговой фирме на 1 апреля по списку состояло 300 человек. 15 апреля зачислено 10 новых работников. 25 апреля – 2 человека уволились. До конца месяца изменений не было. Определить среднесписочную численность работников за апрель.

(чел.)

Задача.

Задолженность фирмы банку по ссуде на 1 апреля составила 120 тыс. р., 15 апреля – 170 тыс. р., 25 апреля – 90 тыс. р. До конца месяца изменений не было. Вычислить средний размер ссуды.

(тыс. р.)

4. Приведение рядов динамики к одному основанию. Коэффициент опережения (отставания).

Проблема приведения к сопоставимому виду возникает при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, административных и территориальных районов.

Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен сравниваемых стран;

во- вторых, о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей.

В таких случаях ряды динамики приводят к одному основанию, т.е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или процентов по отношению к нему.

Например, имеются следующие данные о производстве цемента в 2 странах, млн. т. (табл. 8.7.).

Таблица 8.7.

Производство цемента за 1991 – 1995гг.

Страна	1991г.	1992г.	1993г.	1994г.	1995г.
Страна А Страна Б	45,5 56,1	72,4 65,1	95,2 66,5	122,0 65,0	128,0 67,0

Различные значения абсолютных уровней приведенных рядов динамики затрудняют выявление особенностей производства цемента в странах А и Б. Поэтому приведем абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения уровни 1991г., получим следующие данные (в % к 1991г., табл. 8.8.).

Таблица 8.8.

Производство цемента за 1991 – 1995гг.

Страна	1991г.	1992г.	1993г.	1994г.	1995г.
Страна А Страна Б	100,0 100,0	159,1 116,0	209,2 118,5	268,1 115,9	281,3 119,4

В относительных величинах, выраженных в базисных темпах роста по каждой стране, несопоставимость уровней рядов динамики нивелируется. Различный характер развития выступает более наглядно.

Из данных табл. 8.8. видно, что производство цемента в стране А непрерывно и быстро возрастает, значительно превосходя темпы роста в стране Б.

Коэффициент опережения (замедления) – относительный показатель, характеризующий сравнение динамический рядов, относящихся к двум пространственным объектам (странам, республикам и т. д.) или отношение базисных темпов роста двух динамических рядов за одинаковые отрезки времени:

, (4)

показывает, во сколько раз быстрее растет уровень одного ряда по сравнению с другим.

5.Статистические методы прогнозирования уровней рядов динамики. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.

Исследование динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития и моделей взаимосвязи дают основания для прогнозирования – определения будущих размеров уровня экономического явления. Применение прогнозирования предполагает, что законность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохраняется и в прогнозируемом будущем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной и в прошлое – ретроспективной.

Выделяют следующие методы экстраполяции:

1) на основе среднего абсолютного прироста;

2) на основе среднегодового темпа роста;

3) на основе построения трендовых моделей.

1) На основе среднего абсолютного прироста:

- средний абсолютный прирост. (5)

- первый прогнозный уровень (6)

- второй прогнозный уровень (7)

где У_n – последний уровень базисного ряда;

n – число уровней базисного ряда.

Т. е. Экстраполяцию можно сделать по формуле:

, (8)

2) На основе среднегодового темпа роста:

- среднегодовой темп роста, выраженный в коэффициентах (9)

- первый прогнозируемый уровень (10)

- второй прогнозируемый уровень (11)

3) На основе построения трендовых моделей прогнозный уровень определяется по формуле:

, (12)

где - прогнозируемый уровень, в котором t – порядковый номер периода, продолжающий порядок базисного ряда;

а, в – параметры уравнения;

t – порядковый номер базисного и прогнозного периодов.

Для определения параметров а и в необходимо решить способом наименьших квадратов следующую систему уравнений:

Задача.

Имеется информация о развитии товарооборота магазина №1 АО «АОРТА» за ряд лет:

Таблица 8.9.

	Товарооборот, тыс. р.	t	t2	yt	Проверка:
					=11700+800 1=12500 =11700+800 2=13300 =11700+800 3=14100
	=39900				39900

Предполагая, что выявленная закономерность развития товарооборота сохранится и в дальнейшем, спрогнозировать товарооборот предприятия на 2003 и 2004 года 3 способами:

Решение:

1) На основе среднегодового абсолютного прироста:

(тыс. р.)

Ежегодный прирост составил 800 тыс. р.

У₂₀₀₃ = У₂₀₀₂ + = 14200 + 800 = 15000 (тыс. р.)

У₂₀₀₄ = У₂₀₀₂ + 2 = 14200 + 2 800 = 15800 (тыс. р.)

2) На основе среднегодового темпа роста:

= = 1,062

В среднем за год товарооборот растет на 6,2%.

У₂₀₀₃ = У₂₀₀₂ + = 14200 1,062 = 15080,4 (тыс. р.)

У₂₀₀₄ = У₂₀₀₂ + ² = 14200 1,062² = 16015,4 (тыс. р.)

3) Построением трендовых моделей:

79800 - 12в + 14в = 81400;

2в = 1600;

в = 800.

(тыс. р.)

(тыс. р.)

(тыс. р.)

Интерполяция – способ определения неизвестных промежуточных значений динамического ряда.

Интерполяция заключается по существу в приближенном отражении сложившейся закономерности внутри определенного отрезка времени – в отличие от экстраполяции, которая требует выхода за пределы этого отрезка времени. Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

6.Циклические и сезонные колебания, методы их изучения. Графическое изображение рядов динамики.

Сезонные колебания проявляются как более или менее устойчивые изменения уровней ряда внутригодовой динамики за ряд лет. Для изучения сезонных колебаний используются данные месячной или
квартальной отчетности не менее чем за 3—5 лет, что важно для исключения случайных колебаний.

Для измерения интенсивности сезонных колебаний исчисляются
средние индексы сезонности. Способы их расчета зависят от наличия
в рядах динамики основной тенденции роста (тренда).

Для рядов динамики, в которых основная тенденция роста отсутствует или она незначительна, средние показатели (индексы) сезонности ( ) определяются на базе общего среднего уровня

(13)

где — осредненные уровни одноименных внутригодовых периодов за ряд лет;

— общий средний уровень ряда динамики.

Применение формулы (13) рассмотрим на данных о товарообороте группы предприятий общественного питания (табл. 8.10.).

Таблица 8.10.

Среднедневной товарооборот, тыс. руб.

Месяцы	1-й год	2-й год	3-й год
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь ноябрь Декабрь	78,4 79,3 80,9 81,1 74,3 102,9 101,0 84,3 85,7 76,7 73,1 83,3	82,8 83,4 83,5 85,4 73,2 108,4 92,4 75,0 85,9 78,2 73,8 84,0	75,1 76,5 84.4 83,6 77,2 110,0 100,8 82,6 78,9 80,4 76,3 87,2
В среднем за год	83,4	83,8	84,4

Использование данных о среднедневном товарообороте позволяет сделать данные сопоставимыми, так как на них не влияет разное количество дней в отдельных месяцах.

Для определения ( ) необходимо осреднить уровни одноименных внутригодовых периодов:

для января тыс. руб.,

для февраля тыс. руб. и т. д.

Для каждого месяца эти значения даны в гр. 6 табл. 8.9. В итоговой строке гр. 6 определен знаменатель формулы (13) в виде общего для всего ряда динамики среднего уровня ( ):

тыс. руб.

Этот общий средний уровень и используется в качестве постоянной базы сравнения при определении средних индексов сезонности,
которые определены в гр. 7 табл. 8.11.

Таблица 8.11.

Месяцы	Уровни, тыс. руб. (Уi)	Расчетные графы
1-й год	2-й год	3-й год
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	78,4 79,3 80,9 81,8 74,3 102,9 101,0 84,3 85,7 76,7 73,1 83,3	82,8 83,4 83,5 85,4 73,2 108,4 92,4 75,0 85,9 78,2 73,8 84,0	75,1 76,5 84,4 83,6 77,2 110,0 100,8 82,6 78,9 80,4 76,3 87,2	236,3 239,2 248,8 250,1 224,7 321,3 294,2 241,9 250,5 235,3 223,2 254,5	78,8 79,7 82,9 83,4 74,9 107,1 98,1 80,6 83,5 78,4 74,4 84,8	93,9 95,0 98,8 99,4 89,3 127,7 116,9 96,1 99,5 93,5 88,7 101,1
Итого за год	1001,0	1006,0	1013,0	3020,0	83,9	100,0

;

и т. д.

Из гр. 7 видно, что в данном трехлетии сезонные колебания товарооборота группы предприятий общественного питания характеризуются повышением в июне (+27,7%), июле (+ 16,9%) и декабре (+ 1,1%) и снижением в других месяцах.

Для большей наглядности сезонных колебаний средние индексы
изображаются графически (рис. 1).

Рис. 1. Сезонные колебания товарооборота группы предприятий

общественного питания (по месяцам)

Для выявления сезонных колебаний в ряду динамики с ярко выраженной тенденцией роста можно использовать рассмотренный выше метод скользящей (подвижной) средней. Средние индексы сезонности определяются по формуле

(14)

где У_i — исходные уровни ряда;

Ус_i — сглаженные уровни ряда;

n — число одноименных периодов/

Применение формулы (14) рассмотрим на данных о комиссионной торговле продуктами сельскохозяйственного производства магазинами потребительской кооперации города, для которых в табл. 8.12. были определены сглаженные уровни, отображающие общую тенденцию развития ряда динамики.

Таблица 8.12.

Год, квартал	Исходные уровни (Уi)	Скользящие средние ()	Сглаженные уровни с центрированием ()
1 год I II III IV 2 год I II III IV 3 год I II III IV 4 год I II III IV		— 1061:4=265,25 1133:4=283,25 1168:4=292,0   1208:4=302,0 1252:4=313,0 1425:4=356,25 1568:4=392,0   1655:4=413,75 1713:4=128,25 1719:4=429,25 1727:4=431,75   1756:4=439,0 1817:4=454,25 — —	— — 274,25 287,6   297,0 307,5 334,6 374,1   402,9 421,0 429,0 430, 7 5   435,37 446,62 — —

Расчет индексов сезонности приведен в табл. 8.13.

Таблица 8.13.

Год, квартал	Исходные уровни (Уi)	Сглаженные уровни (У )
1год I II III IV		— — 247,25 287,6	— — 1,318 1,033
2 год I II III IV		297,0 307,5 334,6 374,1	0,832 0,969 1,094 0,911
3 год I II III IV		402,9 421,0 429,0 430,75	1,042 1,047 1,056 0,926
4 год I II III IV		435,37 446,62 — —	0,978 1,005 — —

В гр. 4 табл. 8.13. сопоставим исходные уровни (У_i) с соответствующими сглаженными уровнями ( ). При использовании четырехзвенной скользящей средней расчет значений У_i: начинается с III квартала первого года —326:247,25=1,318.
Для IV квартала первого года — 297:287,6 = 1,033 и т. д.

Далее производится осреднение исчисленных значений У_i: по
одноименным кварталам:

I квартал = = 0,951, или 95,1%;

II квартал = = 1,007, или 100,7%;

III квартал = = 1,156, или 115,6%;

IV квартал = = 0,957 или 95,7%.

Исчисленные показатели являются средними индексами сезонных
колебаний комиссионной торговли продукцией сельскохозяйственного производства по кварталам. Для наглядности сезонные колебания изображаются на графике (рис.2)

Рис. 2. Сезонные колебания товарооборота группы предприятий

общественного питания (по кварталам)

Контрольные вопросы

1) В чем состоит значение рядов динамики в статистическом исследовании?

2) Каковы принципы и правила построения рядов динамики?

3) Какие различают виды рядов динамики?

4) Назовите аналитические показатели рядов динамики.

5) Назовите два основных элемента ряда динамики.

6) Назовите приемы преобразования несопоставимых рядов динамики в сопоставимые.

7) Что показывает абсолютный прирост?

8) Что характеризует темп роста?

9) Что показывает темп прироста?

10) Что представляет собой абсолютное содержание 1% прироста как экономическая категория?

11) Как связаны между собой цепные и базисные темпы роста, выраженные в коэффициентах?

12) Назовите способы определения наличия основной тенденции в ряду динамики.

13) Что показывают индексы сезонности и как они исчисляются?

14) Что показывает коэффициент опережения?

15) Назовите методы экстраполяции.

16) В чем сущность метода интерполяции?

Тест I уровня по теме 8 «Ряды динамики»

1. Ряд динамики, характеризует:

а) структуру совокупности по какому-либо признаку;

б) изменение характеристики совокупности в пространстве;

в) изменение характеристики совокупности во времени.

2. Уровень ряда динамики - это:

а) определенное значение варьирующего признака в совокупности;

б) величина показателя на определенную дату или момент времени;

в) величина показателя за определенный период времени.

3. Средний уровень интервального ряда динамики определяется как:

а) средняя арифметическая;

б) средняя гармоническая;

в) средняя хронологическая;

4. Средний уровень моментного ряда исчисляется как средняя арифметическая взвешенная при:

а) равноотстоящих уровнях между датами;

б) неравноотстоящих уровнях между датами;

5. Средний уровень моментного ряда исчисляется как средняя хронологическая при:

а) равноотстоящих уровнях между датами;

б) неравноотстоящих уровнях между датами.

6. Если сравниваются смежные уровни ряда динамики, показатели называются:

а) цепными;

б) базисными.

7. Если все уровни ряда динамики сравниваются с одним и тем же уровнем, показатели называются:

а) цепными;

б) базисными.

8. Абсолютный прирост исчисляется как:

а) отношение уровней;

б) разность уровней ряда.

9. Темп роста исчисляется как:
а) отношение уровней ряда;

б) разность уровней ряда.

10. С целью приведения несопоставимых уровней ряда динамики к сопоставимому виду применяются приемы:

а) приведения рядов динамики к одному основанию;

б) смыкания динамических рядов.

Ответы на тест I уровня по теме 8 «Ряды динамики»

1. в;

2. б;

3. а;

4. б;

5. а;

6. а;

7. б;

8. б;

9. а;

10. б.

Тест II уровня по теме 8 «Ряды динамики»

Продолжите выражение:

1. Ряды динамики – это ряды статистических данных, характеризующих …

2. В каждом ряду динамики имеется 2 основных элемента:

1)

2)

3. Существует 4 признака классификации видов рядов динамики:

1) способ выражения уровней ряда динамики;

2)

3)

4)

4. В зависимости от выражения времени различают:

1) моментные ряды динамики;

2)

5. Для преобразования несопоставимых рядов в сопоставимые производят перерасчет данных с помощью различных приемов:

1)

2)

6. При анализе рядов динамики используют следующую систему показателей:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

7. Базисный абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

8. Темп роста цепной определяется по формуле:

t_ц =

9. Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле:

10. Абсолютный прирост показывается на …

11. Темп роста характеризует отношение …

12. Темп прироста показывает, на сколько процентов последующий уровень ряда …

13. Цепные и базисные темпы роста, выраженные в коэффициентах, связаны между собой следующим образом:

14. В интервальных рядах динамики средний уровень определяется по формуле …

15. Средний уровень моментного ряда с неравными промежутками времени определяется по формуле …

16. Коэффициент опережения (замедления) – относительный показатель, характеризующий …

17. Выделяют следующие методы экстраполяции:

1) на основе среднего абсолютного прироста;

2)

3)

18. На основе построения трендовых моделей прогнозный уровень определяется по формуле:

19. Интерполяция – способ определения …

20. Прогнозный уровень на основе среднегодового абсолютного прироста определяется по формуле:

Ответы на тест II уровня по теме 8 «Ряды динамики»

1. развитие общественных явлений во времени.

2. 1) показатели времени;

2) уровни развития изучаемых явлений.

3. 2) в зависимости от выражения времени;

3) в зависимости от расстояния между уровнями;

4) в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса.

4. 2) интервальные ряды динамики;

5. 1) прямой пересчет данных;

2) смыкание рядов.

6. 2) абсолютный прирост;

3) темп роста;

4) темп прироста;

5) абсолютное содержание 1% прироста;

6) средний уровень ряда;

7) средний абсолютный прирост;

8) среднегодовой темп роста;

9) среднегодовой темп прироста.

7.

8.

9.

10. сколько единиц изменился последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (базисным).

11. двух уровней ряда динамики.

12. отличается от предыдущего (начального).

13. произведение последовательных цепных темпов роста равно соответствующему базисному.

14. средней арифметической простой.

15. средней арифметической взвешенной.

16. сравнение динамических рядов.

17. 2) среднегодового темпа роста;

3) построение трендовых моделей.

18.

19. неизвестных промежуточных значений динамического ряда.

20.

Практическая работа по теме 8 «Ряды динамики»

1. Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в кооперативах области (тыс. т):

В старых границах области	42,0	43,0	42,5	44,5	45,0	-	-	-	-	-
В новых границах области	-	-	-	-	56,8	60,0	63,6	61,1	64,2	65,6

Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики. Приведите уровни ряда динамики к сопоставимому виду, изобразите динамику валового сбора овощей линейной диаграммой.

Ответ: 53,0; 54,27; 53,64; 56,16; 56,8; 60,0; 63,6; 61,1; 64,2; 65,6 тыс. т.

2. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни
ряда динамики производства тканей в одном из регионов за 1989 - 1994 гг.
и недостающие в таблице цепные показатели динамики.

Год	Млн. м2	Цепные показатели динамики
		абсолютный прирост, млн. м2	темп роста, %	темп прироста, %	абсолютное значение 1 % прироста, млн. м2
	95,2 — — — — —	— 4,8 — — — 7,0	– – – – 104,0 – – – – – –	— — — 5,8 — —	– – – – – – 1,15

Ответ: 95,2; 100,0; 104,0; 110,0; 115,0; 122,0 млн. м²

3. Динамика выпуска продукции на производственном объединении в
1990 - 1994 гг. характеризуется следующими данными:

Млн. руб.	21,2	22,4	24,9	28,6	31,6

На основе этих данных исчислите: 1) средний уровень ряда; 2) среднегодовой темп роста и прироста; 3) среднегодовой абсолютный прирост.

Ответ: 25,74 млн. руб.; 110,5%; 10,5%; 2,6 млн. руб.

4. Товарные запасы в торговой сети региона составили:

Дата	1/1	1/II	1/II	1/IV	1/V	1/VI	1/VII
Запасы, млн. руб.	22,4	23,5	20,8	22,2	24,6	25,0	26,2

Исчислите средние товарные запасы за I и II кварталы и за полугодие в целом.

Ответ: 22,2; 24,6; 23,4 млн. руб.

5. Определите наличие тенденции следующего ряда динамики любым
известным вам способом.

Месяц

Продажа творога, т

Ответ: тенденция дисперсии.

6. Каковы должны быть в среднем ежегодные темпы прироста, чтобы
продукция за три года возросла с 60 до 70 млн. руб.?

Ответ: 5,3%.

7. На основании приведенных данных сделайте анализ внутригодовой
динамики о реализации мясных продуктов на рынках города; выявите
сезонность покупательского спроса на эти продукты, предварительно
выравнив ряд динамики по прямой (тыс. ц).

Месяц				Месяц
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	64,3 59,4 55,2 53,2 49,3 46,7	66,2 62,5 59,9 57,2 55,0 52,9		Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	49,7 55,0 55,9 62,0 66,4 70,4	54,9 59,5 61,9 64,9 68,9 73,8

Ответ: 108,3%; 101,5%; 96,1%; 99,1%; 87,9%; 83,8%; 88,3%; 96,9%;
99,9%; 107,9%; 115,1%; 123,2%.