Скорость точки при естественном способе задания движения.

Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории .

Используем радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке

- единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.

При направления векторов и совпадают. Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то и направления векторов и противоположны.

При вектор скорости направлен по , т.е. в сторону возрастающих расстояний; при он имеет направление, противоположное , т.е. в сторону убывающих расстояний.

- алгебраическая скорость точки, проекция скорости на положительное направление касательной к траектории.

Геометрические понятия

В точке М кривой линии проведем касательную . В точке М₁ построим касательную . Между точками М и М₁ расстояние .

В общем случае пространственной кривой касательные и будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию параллельную . Угол между линиями и называется углом смежности.

Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , при , стремящемся к нулю, т.е.

Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.

(

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R. Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол , выражается зависимостью

Через пересекающиеся прямые и проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек М и М₁ называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.

В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой.

Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора .

Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. По главной нормали Мn внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй оси. Нормаль, перпендикулярная главной нормали называется бинормалью. Положительное направление бинормали определяется единичным вектором

Три взаимно перпендикулярные оси ,Мn и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник.