Способы задания движения точки

Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных систем отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.

В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором Способы задания движения точки - student2.ru (рис.2.1). Закон движения Способы задания движения точки - student2.ru

Положение точки в системе координат OXYZ задается тремя координатами X,Y,Z (рис.2.2). Закон движения – x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ).

Положение точки в естественной системе отсчета задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории (рис.2.3). Закон движения –

s = s( t ).

       
  Способы задания движения точки - student2.ru
    Способы задания движения точки - student2.ru
 

Способы задания движения точки - student2.ru

Рис.2.1 Рис. 2.2 Рис.2.3

Движение точки при естественном способе задания движения определено если известны:

1. Траектория движения.

2. Начало и направление отсчета дуговой координаты.

3. Уравнение движения.

При естественном способе задания движения, в отличии от других способов, используются подвижные координатные оси, движущиеся вместе с точкой по траектории. Такими осями являются (рис. 2.4).

Касательная ( Способы задания движения точки - student2.ru ) – направлена в сторону возрастания дуговой координаты по касательной к траектории.

Главная нормаль (п) – направлена в сторону вогнутости кривой.

Бинормаль (в) – направлена перпендикулярно к осям t , n.

 
  Способы задания движения точки - student2.ru

Рис. 2.4

Определение кинематических характеристик точки

Траектория точки

В векторной системе отсчета траектория описывается выражением Способы задания движения точки - student2.ru

В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f (x,y) - в пространстве, или y = f(x ) – в плоскости.

В естественной системе отсчета траектория задается заранее.

Скорость точки

Согласно определению (см. п. 2.1) скорость характеризует изменение во времени положения точки (тела) в пространстве.

Определение скорости точки в векторной системе координат

При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени Способы задания движения точки - student2.ru называют средним значением скорости на этом интервале времени Способы задания движения точки - student2.ru .

Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости)

Способы задания движения точки - student2.ru (2.1)

Вектор средней скорости Способы задания движения точки - student2.ru направлен вдоль вектора Способы задания движения точки - student2.ru в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости Способы задания движения точки - student2.ru направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис.2.5).

Способы задания движения точки - student2.ru

Рис.2.5

Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.

Отметим и используем в дальнейших рассуждениях следующее свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.

Определение скорости точки в координатной системе отсчета

На основании свойства производной определим скорости изменения координат точки

Способы задания движения точки - student2.ru Способы задания движения точки - student2.ru Способы задания движения точки - student2.ru (2.2)

Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен

Способы задания движения точки - student2.ru (2.3)

Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов

Способы задания движения точки - student2.ru где Способы задания движения точки - student2.ru - углы между вектором скорости и осями координат.

Определение скорости точки в естественной системе отсчета

Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки

V= Способы задания движения точки - student2.ru (2.4)

Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях Способы задания движения точки - student2.ru nb определяется только одной проекцией Способы задания движения точки - student2.ru .

Ускорение точки

По определению ускорение характеризует изменение скорости, т.е. скорость изменения скорости.

Наши рекомендации