Порядок выполнения задания. Задание: проверить закон сохранения импульса, определить коэффициент восстановления относительной скорости

Работа 10. ИЗУЧЕНИЕ СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ

Задание: проверить закон сохранения импульса, определить коэффициент восстановления относительной скорости, среднюю силу удара и скорость продольных звуковых волн в стали с предельной относительной e, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, набор шаров, линейка.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Рисунок 1

На штативе 3 (рис. 1), укрепленном на основании 1, с помощью кронштейна подвешены два шарика 14 на электропроводящих бифиллярных подвесах 12. В положении равновесия шары касаются друг друга и практически не взаимодействуют. На нижнем кронштейне закреплены две шкалы 15 и 16, а на специальных направляющих – электромагнит 17. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать угол его отклонения. Притяжение электромагнита можно регулировать воротком 23. Время соударения шаров измеряется с помощью счетчика импульсов, задаваемых мегагерцовым (1 Мгц) кварцевым генератором. Поэтому каждому импульсу соответствует продолжительность 1 мкс. Так как счетчик включается только в течение времени соударения шаров, таким образом число импульсов, высвеченных на индикаторе, соответствует времени соударения, измеренному в микросекундах.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Ударом (столкновением) называется взаимодействие двух или нескольких объектов, происходящее в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени; вне этой области пространства и вне этого промежутка времени объекты не взаимодействуют.

При соударении тел происходит их деформация. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к повышению температуры. В зависимости от материала, из которого сделаны тела, различают три типа ударов: абсолютно неупругий, абсолютно упругий и неупругий удары.

Абсолютно неупругий удар. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает, кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю. После удара скорости тел оказываются одинаковыми и тела будут двигаться вместе. При абсолютно неупругом ударе выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Закон сохранения механической энергии не выполняется. Пусть массы тел равны m₁ и m₂, а скорости до удара v₁ и v₂. По закону сохранения импульса системы имеем

(1)

где – скорость тел после удара.

Из (1) следует, что

. (2)

Увеличение внутренней энергии тел

(3)

где – приведенная масса системы, – относительная скорость.

Абсолютно упругий удар. Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. Для того, чтобы удар был абсолютно упругим, все возникающие силы в телах должны зависеть только от величины деформации и не зависеть от скорости изменения деформации. При рассмотрении абсолютно упругого удара ограничимся случаем центрального соударения однородных шаров. Соударение является центральным, если шары до столкновения движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Поскольку соударение тел – кратковременный процесс, то импульсом внешних сил по сравнению с импульсом взаимодействия между сталкивающимися телами можно пренебречь и систему тел считать замкнутой. В этом случае для определения скоростей после удара можно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии:

, (4)

, (5)

где v₁ и v₂ – скорости шаров до столкновения, а u₁ и u₂ – их скорости после столкновения. Уравнения (4) и (5) можно переписать в виде

, (6)

. (7)

При центральном соударении все векторы скоростей шаров направлены вдоль одной прямой. В этом случае из (6) и (7) следует

. (8)

Умножив (8) на m₁ и вычтя результат из (6), а затем, умножив (8) на m₂ и сложив результат с (6), получим скорости шаров после удара:

, (9)

. (10)

Неупругий удар. Удар, при котором часть кинетической энергии превращается в тепло, является неупругим. При этом тело не восстанавливает полностью свою форму. Закон сохранения механической энергии в этом случае не выполняется, но подсчитать скорости тел после соударения можно, если ввести коэффициент восстановления относительной скорости

, (11)

где – относительная скорость шаров до и после удара. Опыт показывает, что приближенно k_v остается постоянной величиной и зависит от материала шаров. Легко убедиться, что для абсолютно упругого удара k_v = 1, а для абсолютно неупругого удара k_v = 0. Для большинства материалов 0£ k_v< 1.

Теория метода

Пусть два шара подвешены на нитях длины l и находятся в положении равновесия. Если один шар отклонить на угол a и отпустить, то к моменту соприкосновения со вторым шаром он приобретает скорость v. Эту скорость можно найти из закона сохранения механической энергии. Отклоненный шар (рис. 2) обладает потенциальной энергией

. (12)

В начале соударения его кинетическая энергия будет

. (13)

Если не учитывать трение в местах подвеса и сопротивление воздуха то, приравняв (12) и (13), получим

. (14)

Аналогичным образом можно найти скорости u₁ и u₂ обоих шаров после удара:

, , (15)

где b₁ и b₂ – углы, на которые отклоняются первый и второй шары после удара. При движении одного шара его импульс до удара

. (16)

Полный импульс шаров после удара

. (17)

По закону сохранения импульса должно выполняться

. (18)

Для одинаковых шаров, как следует из соотношений (9) и (10), u₁ = v₂, u₂ = v₁, и

. (19)

При абсолютно неупругом столкновении шаров b₁ = b₂ = b (шары движутся вместе, как одно тело), для одинаковых шаров получаем

. (20)

Коэффициент восстановления относительной скорости (11) при подстановке (14) и (15) равен

, (21)

где b₁ надо брать со знаком минус, если первый шар отклонился в противоположную сторону.

При столкновении одинаковых шаров b₁ = 0, и

. (22)

Найдём среднюю силу удара. По второму закону Ньютона

, (23)

где t – время соударения, Dv – изменение скорости одного из шаров за время соударения. Для второго шара начальная скорость v₂ = 0, поэтому Dv = u₂, и

. (24)

Расчёты для времени t соударения одинаковых шаров дают следующее выражение:

. (25)

где R – радиус шара, n – коэффициент Пуассона, c – скорость продольных звуковых волн, v₁ – скорость в момент начала соударения, вычисляемая по (14). Из (25) вычисляется скорость продольных звуковых волн:

. (26)

Для стальных шаров коэффициент Пуассона n = 0,32. Тогда

. (27)

Порядок выполнения задания

1. Подвесить одинаковые пластилиновые шары на установке так, чтобы удар был центральным.

2. Отклонить один из шаров на угол a₁. Определить угол отклонения шаров после столкновения b. Отклоняя первый шар на один и тот же угол a₁, произвести отсчёт угла b несколько раз. По значению a₁ и среднему значению b, по формулам (16) и (20) вычислить импульсы до и после столкновения. Результаты занести в таблицу 1. Сделать заключение о выполнении закона сохранения импульса.

Таблица 1