Стояча електромагнітна хвиля.

Лабораторна робота № 53

ВИВЧЕННЯ РОБОТИ РЕЛАКСАЦІЙНОГО ГЕНЕРАТОРА

МЕТА РОБОТИ: засвоїти теоретичний матеріал з теми "Релаксаційні коливання” та освоїти методику експериментального визначення опорів резисторів та ємностей конденсаторів за допомогою релаксаційного генератора на неоновій лампі.

ПРИЛАДИ: неонова лампа, джерело постійного струму, реостат, вольтметр, набір резисторів та конденсаторів, секундомір.

1. ПОНЯТТЯ ПРО РЕЛАКСАЦІЙНІ КОЛИВАННЯ.

Релаксаційні коливання - це коливання, які виникають в нелінійних системах і характерні тим, що складаються з процесів повільного та швидкого змін стану системи. В лінійних системах виконується лінійна залежність однієї величини від іншої . Наприклад, в механіці сила пружності пропорційна деформації F=−kx (закон Гука), а в електриці для металічного провідника сила струму пропорційна напрузі (закон Ома). Якщо ж лінійні залежності порушуються, то маємо нелінійні системи.

Саме слово "релаксація" з грецького означає послаблення. Прикладом релаксаційних коливань в механіці може бути коливання посудини (рис.53.1), яка наповнюється водою. По мірі наповнення водою посудини її центр мас піднімається і стає вищим вісі обертання ОО. Посудина перевертається, вода виливається і посудина повертається в попереднє положення. Залежність кількості води від часу має характерну пилоподібну форму (рис.53.2), де перший повільний процес 1-2 це накопичення води, а другий 2-3 швидкий процес її зменшення, тобто релаксація (послаблення стану системи). В електриці роль нелінійного елемента, що зумовлює релаксаційні коливання, може грати неонова лампа, в якій і має місце нелінійна залежність сили струму в газі (неоні) від напруги (рис. 53.2). Тому, щоб зрозуміти принцип роботи релаксаційного генератора на неоновій лампі доцільно коротко зупинитись на окремих питаннях механізму провідності газів.

2. СТРУМ В ГАЗАХ. ВИДИ ГАЗОВИХ РОЗРЯДІВ.

Гази при звичайних умовах є діелектриками, в них відсутні вільні електричні заряди. Газ стає провідником струму, якщо деяка частина його молекул іонізується. Тобто від нейтральних молекул чи атомів відбираються електрони і тоді молекули (атоми) стають додатними іонами. Проходження струму через газ називається газовим розрядом Розрізняють несамостійний і самостійний газовий розряди. Несамостійний газовий розряд відбувається лише при постійній дії іонізатора. Іонізатором газу може бути термічна дія (нагрів газу), опромінювання ультрафіолетовим світлом, або радіоактивними частинками і т.п. Після припинення дії іонізатора несамостійний газовий розряд в газі припиняється.

Строго кажучи, провідність газів не завжди рівна нулю, так як в газах завжди присутня невелика кількість іонів і електронів завдяки дії природний радіоактивного випромінювання Землі, а також космічних променів. Саме така невелика кількість електронів і іонів зумовлює подальший розвиток самостійного газового розряду.

Розряд в газах, який продовжується після припинення дії іонізатора називається самостійним і він починається при певній напрузі - напрузі пробою (для неонової лампи - це напруга запалювання). Так, якщо в газі між двома електродами (катодом і анодом) створити електричне поле, то лише при певній напрузі електрони набувають енергії необхідної для іонізації молекул газу. Утворюються вторинні електрони та іони, які знову іонізують молекули газу і т.д. Такий процес має лавиноподібний характер який називається ударною іонізацією. Але ударна іонізація ще недостатня для підтримання самостійного розряду, необхідно, щоб електронні лавини "відтворювались". Це відтворення відбувається за рахунок додатних іонів, які прискорені електричним полем, вдаряючись об катод, вибивають з нього електрони. Крім того, мають місце ще інші процеси, а саме: 1) позитивні іони переводять в збуджений стан молекули газу, що супроводжується випусканням фотонів (газ світиться); 2) утворені фотони вибивають електрони з катода (фотоефект); 3) під дією фотонів можлива фотонна іонізація газу.

Якщо тиск в газах незначний (декілька мм.рт.ст.), то самостійний газовий розряд, приймає форму тліючого розряду. Саме такий розряд і спостерігається в неоновій лампі.

При більш високих тисках, наприклад, при атмосферному, розряд приймає форму іскрового. Іскри являють собою канали, які заповнені плазмою (іонізованим газом). Ці канали називаються стримерами (від англійського – стрічка). Прикладом іскрового розряду є таке природне явище, як блискавка.

Крім того, в газах можливі ще інші види розрядів - дуговий та коронний. Дуговий розряд підтримується за рахунок високої температури катоду, що приводить до інтенсивної термоелектронної емісії, а також за рахунок термічної іонізації молекул газу. Дуговий розряд широко застосовується для зварювання і різки металів.

Коронний розряд - високовольтний розряд в різко неоднорідному електричному полі. Наприклад, коли напруженість поля біля гострого вістря досягає 30 кВ/см, то біля цього вістря виникає свічення газу, яке має вигляд, корони, звідси назва - коронний розряд.

3. РЕЛАКСАЦІЙНИЙ ГЕНЕРАТОР НА НЕОНОВІЙ ЛАМПІ.

Неонова лампа - газорозрядний прилад, конструктивно виконаний у вигляді скляного балона заповненого неоном при невеликому тиску (10-15 мм.рт.ст.). В балон впаяні два електрода, розташованих на відстані 1-3 мм. Характерною властивістю неонової лампи є те, що вона починає проводити струм при певному значенню напруги між електродами і ця напруга називається напругою запалювання U_з. При цій напрузі має місце самостійний розряд в неоні у вигляду тліючого розряду. Напруга запалювання залежить від відстані між електродами, їх форми, а також від тиску і природи газу. Після запалювання лампа може світитись при більш низькій напрузі і гасне при напрузі U_г (напруга гасіння). Вольт-амперна характеристика неонової лампи приведена на рис. 53.3. При малих напругах між електродами струм через лампу відсутній, при досягненні напруги запалювання в лампі виникає самостійний розряд і струм стрибком досягає значення I_з (струм запалювання). При подальшому збільшенні напруги (ділянка 1‑2) струм в лампі зростає (явища насичення не розглядаємо).

Якщо зменшувати напругу, то зменшення струму характеризується ділянкою 2-3 (яка близька до ділянки 1-2)

При досягненні напруги U_г, яку називаються напругою гасіння, струм через лампу стрибком спадає до нуля і лампа гасне.

Для спрощеного математичного опису релаксаційного генератора на неоновій лампі користуються ідеалізованою вольт-амперною характеристикою лампи (рис. 53.4), де ділянки 1‑2 та 2‑3 співпадають. У відповідності з цією характеристикою внутрішній опір лампи R_i є розривною функцією від напруги U. Дійсно, при збільшенні напруги від нуля до напруги запалювання U_з опір лампи дорівнює нескінченості R_i = ¥ (струм відсутній). В області значень U > U_з опір лампи має певне кінцеве значення, яке згідно закону Ома дорівнює . Значення цього опору чисельно дорівнює ctg a (рис. 53.4).

Принципова схема релаксаційного генератора на неоновій лампі наведена на рис. 53.5. Паралельно до неонової лампи приєднаний конденсатор ємністю С, який заряджається через резистор опором R від джерела постійного струму. Напруга між обкладинками конденсатора вимірюється вольтметром і регулюється потенціометром П.

При вмиканні кола спочатку відбувається зарядка конденсатора (неонова лампа не горить). Закон зміни напруги на конденсаторі при його зарядці можна знайти, застосовуючи другий закон Кірхгофа для контуру RC.

iR + U =U_o , (53.1)

де iR - напруга на резисторі при значенні струму i, U - напруга на конденсаторі, U_o - напруга джерела струму (напруга на виході потенціометра). Так, як миттєве значення сили струму дорівнює

, (53.2)

а з означення ємності конденсатора - маємо

(53.3)

то отримаємо рівняння

(53.4)

Розв'язком такого рівняння за початкових умов U = 0 при t = 0 буде функція

(53.5)

Як видно з (53.5) напруга на конденсаторі асимптотично наближається до значення U_o (крива ОА, рис.53.6). Але раніше, ніж напруга U досягне значення U_o , лампа загориться. Спалах лампи відбувається при напрузі U = U_з і при цьому її опір стрибком змінюється від R = ¥ до R = const.

Якщо опір R настільки великий, так, що струм, який підводиться від джерела, значно менший розрядного струму через лампу, то конденсатор розряджається (крива АВ). В той момент, коли U стане рівна U_г , лампа гасне і конденсатор знову починає заряджатись. Напруга на ньому зростає по кривій ВС, а потім знову відбувається розрядка (крива CD) і т.д., тобто процес буде періодично повторюватись.

Визначимо період таких релаксаційних коливань. Період Т таких коливань складається з часу зарядки конденсатора t_з та часу його розрядки t_р

Т = t_з + t_р (53.6)

Час зарядки конденсатора , як видно з рис. 53.6, можна визначити через різницю

t_з = t₂ - t₁ (53.7)

де t₂ - час зарядки конденсатора до напруги U_з , t₁ - час зарядки конденсатора до напруги U_г.

В свою чергу значення t₂ і t₁ можна визначити за формулою 53.5

(53.6)

(53.7)

звідки

(53.8)

(53.9)

Тому

(53.10)

Якщо опір резистора R значно більший опору лампи R_і , то час зарядки конденсатора t_з буде значно більший часу розрядки t_р і тому період релаксаційних поливань можна вважати приблизно рівним T= t_з , тобто

(53.11)

4. ПРИНЦИП ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО МЕТОДУ.

З формули 53.11 випливає, що величина є стала для даної неонової лампи, а період релаксаційних коливань пропорційний опору R резистора та ємності С конденсатора. Тому визначивши сталу лампи і вимірявши період Т релаксаційних коливань та знаючи ємність С з формули 53.11, можна отримати вираз для розрахунку невідомого опору:

. (53.12)

Аналогічно за відомим значенням опору R можна визначити невідому ємність

Якщо ж в нашому розпорядженні одночасно є відомій опір R_o та відома ємність C_o , то експериментальне визначення R_ox та невідомих ємностей C_x , за допомогою релаксаційного генератора на неоновій лампі можна звести до порівняння відповідних періодів релаксаційних коливань. Якщо при відомому опорі R_o період коливань буде рівним T_o, а при невідомому опорі R_x - Т, то як випливає з 53.12

(53.13)

Так само методом порівняння можна визначити невідому ємність

(53.14)

де C_o - відома ємність, Т_о - період коливань генератора при відомій ємності, Т - при невідомій.

5. ОЦІНКА ПОХИБОК ЕКСПЕРИМЕНТУ.

Нехай при відомому опорі R_o за час t_o відбудеться N_o спалахів лампи, тоді період коливань Т_о буде рівним . Якщо при невідомому опорі за час t лампа спалахне N разів, тоді період коливань буде рівним . Тому робоча формула для визначення невідомого опору прийме вигляд

(53.15)

Аналогічний вираз отримаємо і для визначення невідомої ємності

(53.16)

Якщо робочі формули логарифмувати, а отриманий результат диференціювати, то отримаємо формули похибок

(53.17)

(53.18)

(в числі спалахів не помиляємось, тобто похибки числа спалахів рівні нулю).

З даних формул випливає, що точність шуканої величини (відносні похибки або ) визначається точністю еталонних величин (відомих опорів або ємностей, а також точністю вимірювань часу).

В даній роботі в якості еталонних опорів та ємностей використовуються резистори та ємності заводського виготовлення з відносною похибкою 4 % ,тобто і . Тому відносна похибка вимірювань періоду релаксаційних коливань в сумі теж не повинна перевищувати 4 % .

Для вимірювання часу використовуємо секундомір. Ми ніколи точно не включимо і не зупинимо секундомір в моменти початку і кінця підрахунку спалахів лампи. Враховуючи суб'єктивний фактор, похибка вимірювання часу може складати величину порядку 0,4 с (0,2 с вмикання секундоміра, 0,2 с – зупинка) так, як відносна похибка часу одного вимірювання не повинна перевищувати 2%.

Таким чином в даній роботі слід визначати таке число спалахів, загальна тривалість яких повинна бути не менша, ніж 20 с.

6. ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

На лабораторному стенді розташовані всі елементи релаксаційного генератора. Ці та інші елементи (джерело струму, вимикач, потенціометр, вольтметр, набір відомих та невідомих опорів і ємностей) мають відповідні позначення та клеми.

1. При вимкненому джерелі струму згідно схеми на рис. 53.7 зібрати релаксаційний генератор. Потенціометр повинен бути виставлений на нуль вихідної напруги.

2. Ввімкнути джерело струму і збільшуючи потенціометром вихідну напругу домогтись появи спалахів лампи. Секундоміром визначити число N_o спалахів лампи за час t_o не менший, ніж 20 с. Дані занести в таблицю 53.1.

3. Вимкнути джерело струму і замість відомого опору R_o в схему ввести перший невідомий опір R_x1.

4. Ввімкнути джерело струму і не змінюючи вихідної напруги визначити число спалахів N₁ за час не менший 20 с.

5. В такій же послідовності провести досліди з опорами R_x2 та R_x3 . Дані занести в таблицю 53.1.

Таблиця 53.1

Опори	Кількість спалахів, N	Час t, с	Похибка часу Dt, с	Значення опорів, Ом	Похибки DR, Ом
відомий				Ro =
невідомі				визначено:
Rx1				Rx1 =
Rx2				Rx2 =
Rx3				Rx3 =

6. За формулою (53.15) розрахувати шукані значення невідомих опорів, а за формулою (53.17) відносну, а потім абсолютні похибки. Результати розрахунків занести в таблицю 53.1.

7. Згідно попередньої методики провести визначення невідомих ємностей C_x1, C_x2 та C_x3 . Тут відомий опір залишається на місці, а тільки замість відомої ємності C_o в схему послідовно вводяться невідомі ємності C_xx і визначається кожен раз число спалахів за час не менший 20 с.

Розрахунки шуканих величин проводяться за формулою (53.16), а похибки визначаються за формулою (53.18). Всі результати занести в таблицю 53.2.

Таблиця 53.2

Конденсатори	Кількість спалахів N	Час t, с	Похибка часу Dt, с	Ємності конденсаторів C, мкФ	Похибки DC, мкФ
відомий				Co =
невідомі				визначено:
Cx1				Cx1 =
Cx2				Cx2 =
Cx3				Cx3 =

7. ДОДАТКОВЕ ЗАВДАННЯ 1.

Визначення напруг запалювання і гасіння неонової лампи.

1. Зібрати схему згідно рис. 53.8. Потенціометр повинен бути виставлений на нуль вихідної напруги.

2. Пересуваючи повзунок потенціометра слідкувати за лампою (за моментом її початку свічення). Напруга, яку при цьому зафіксує вольтметр і буде напругою запалювання.

3. Змінюючи потенціометром напругу на неоновій лампі, за показами вольтметра визначити напруги в момент запалювання та гасіння лампи. В момент запалювання стрілка стрибком дещо відхиляється в сторону зменшення напруги, а в момент гасіння переходить в сторону збільшення напруги (поясніть, чому це так відбувається).

І так, U_Зmax - максимальна напруга перед моментом запалювання лампи (після запалювання лампи напруга на ній падає); U_Гmin – мінімальна напруга перед моментом гасіння лампи (після гасіння напруга на лампі зростає).

Вимірювання провести не менше п'яти разів. Визначити середнє значення U_Зmax та U_Гmin.

8. ДОДАТКОВЕ ЗАВДАННЯ 2.

Визначення невідомого опору через параметри релаксаційного генератора.

Невідомий опір чи невідому ємність можна визначити за допомогою релаксаційного генератора на неоновій лампі, знаючи параметри генератора (див. пункт 4, формулу 53.12).

Сталу неонової лампи можна розрахувати, так, як попередньо були визначені напруги та період коливань (пункт 8, додаткове завдання 1), а напруга була виміряна при визначенні невідомих опорів методом порівняння. Тому додаткове завдання 2 ставить своєю метою розрахувати невідомі опори за формулою 53.12 і порівняти їх з раніше отриманими значеннями методом порівняння.

Це додаткове завдання викладач дає окремим студентам, які самі повинні провести необхідні розрахунки та оцінити похибки експерименту. Якщо порівняти значення опорів отриманих методом порівняння та методом їх визначення через параметри генератора, то може бути досить значне розходження цих значень. Тут студент повинен окремо розглянути питання статичних і динамічних параметрів генератора, особливо значень напруг запалювання і гасіння лампи. Тобто додаткове завдання має елементи науково-дослідницької роботи.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які коливання називаються релаксаційними? Навести приклади механічних релаксаційних доливань.

2. Які існують види газових розрядів? Пояснити їх механізм.

3. Якісно пояснити принцип роботи релаксаційного генератора на неоновій лампі.

4. Навести і пояснити вольт-амперні характеристики неонової лампи (реальну характеристику та ідеалізовану).

5. Як математично описати релаксаційні коливання генератора на неоновій лампі?

6. Пояснити принцип експериментального методу вимірювання опорів резисторів та ємностей конденсаторів за допомогою релаксаційного генератора на неоновій лампі.

7. Як оцінити похибки даного експериментального методу визначення опорів резисторів та ємностей конденсаторів?

8. Яка послідовність виконання лабораторної роботи?

Лабораторна робота № 54

ВИЗНАЧЕННЯ ІНДУКТИВНОСТІ СОЛЕНОЇДА ТА ЄМНОСТІ КОНДЕНСАТОРА МЕТОДОМ ВИМІРЮВАННЯ ЇХ РЕАКТИВНИХ ОПОРІВ У КОЛІ ЗМІННОГО СТРУМУ

МЕТА РОБОТИ: ознайомитись із законами кіл змінного струму з активними та реактивними опорами і на основі цих законів освоїти методику вимірювань ємностей та індуктивностей.

ПРИЛАДИ: лабораторний стенд роботи № 54

1. ЗМІННИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ

Змінний електричний струм – це струм, який змінюється за величиною і напрямом. Наприклад, ця зміна може відбуватись за гармонічним законом

I = I_osin(wt+j₀), (54.1)

де І_o - максимальне (амплітудне) значення сили струму; ω –циклічна (або кругова) частота, яка зв’язана з періодом коливань Т, або частотою коливань ν співвідношенням (54.2); j_о – початкова фаза коливань.

w=2p/T=2pv (54.2)

Якщо визначити енергоздатність змінного струму, то можна встановити величину, яка отримала назву ефективного (або діючого) значення сили струму, а саме:

ефективне значення сили змінного струму І_еф – сила такого постійного струму, який за своєю енергоздатністю (наприклад, виділення теплоти за той же час) еквівалентний даному змінному струму.

Для синусоїдальних струмів їх ефективне значення І_еф менше максимального І_mах в разів (формула (54.3)). Аналогічний вираз маємо для ефективного значення напруги змінного струму (формула (54.4)).

(54.3)

(54.4)

2. АКТИВНИЙ ОПІР В КОЛІ ЗМІННОГО СТРУМУ

Активний опір - та частина опору електричного кола змінного струму, на якій відбувається виділення джоулевого тепла Q (54.5).

(54.5)

Для характеристики кіл змінного струму зручно користуватись методом векторних діаграм, де максимальні значення сили струму I_o і напруги U_o зображаються відповідними векторами. Так, на активному опорі коливання сили струму і напруги відбуваються в однаковій фазі, тому векторна діаграма змінного струму з активним опором буде мати вигляд, зображений на рис. 54.2.

При малих частотах струму активний опір кола наближається до його опору при постійному струмі. При високих частотах виникають особливі ефекти, які приводять до збільшення опору кола з активним опором R. В цьому колі коливання змінного струму І співпадають по фазі з коливаннями напруги U. При високих частотах струму можливий поверхневий ефект, коли струм у провіднику тече тільки по його поверхні. Крім того, відбуваються втрати на перемагнічування провідника.

3. ЄМНІСТЬ У КОЛІ ЗМІННОГО СТРУМУ

Конденсатор являє собою систему двох провідників, які розділені діелектриком. Наприклад, плоский конденсатор – дві близько розташовані паралельні пластини (обкладинки). Ємність конденсатора, фізична величина, рівна відношенню заряду на пластинах q до різниці потенціалів j₁-j₂=U між ними.

, (54.6)

Для кола постійного струму конденсатор є розривом такого кола, струм відсутній, так як між обкладинками конденсатора відсутні вільні заряди (знаходиться вакуум або діелектрик). Якщо ж конденсатор С ввімкнути в коло змінного струму (рис.54.3), то його обкладинки будуть перезаряджатись і в колі виникне електричний струм. Але коливання струму не співпадають за фазою з коливаннями напруги. Дійсно, якщо напруга на обкладинках конденсатора збільшується від нуля до максимального значення, то саме на початку цього збільшення почнеться найбільш інтенсивна зарядка конденсатора. Коли ж напруга досягне максимального значення, зарядка конденсатора припиниться і струм стане рівним нулю.

Кількісні співвідношення між коливаннями сили струму і напруги в колі змінного струму з конденсатором встановлюються наступним чином.

Зміна заряду конденсатора на dq призводить до зміни напруги між обкладинками на dU, так, що

, (54.7)

тоді миттєве значення сили струму i буде дорівнювати

. (54.8)

Якщо напруга між обкладинками конденсатора змінюється за законом

, (54.9)

де U_o – максимальне значення напруги, то згідно 54.8 (взявши похідну), отримаємо

. (54.10)

Таким чином, коливання сили струму в колі змінного струму з конденсатором випереджають коливання напруги за фазою на p/2 і векторна діаграма такого кола матиме наступний вигляд (рис. 54.4).

Максимальне значення сили струму в колі змінного струму з конденсатором, як випливає з (54.10) буде дорівнювати

. (54.11)

Якщо порівняти це значення із законом Ома , то легко помітити, що роль опору в колі змінного струму з ємністю грає величина

, (54.12)

яка називається реактивним ємнісним опором (реактивний – від латинського слова – протидія).

4. ІНДУКТИВНІСТЬ У КОЛІ ЗМІННОГО СТРУМУ

Якщо в провідному контурі тече струм силою І, то такий струм створює магнітне поле і площу контуру пронизує магнітний потік Ф, який пропорційний силі струму в цьому контурі

, (54.13)

де коефіцієнтом пропорційності є величина L, яка називається індуктивністю і вимірюється в Гн (генрі[1]), так, що 1 Гн = 1 Вб/А.

При зміні струму на dI магнітний потік змінюється на dФ

, (54.14)

тоді згідно закону електромагнітної індукції

, (54.15)

в цьому контурі виникає ЕРС, яка отримала назву ЕРС самоіндукції

. (54.16)

З (54.16) випливає, що , тобто 1 Гн індуктивність такого контуру в якому при зміні сили струму з швидкістю 1 А/с виникає ЕРС самоіндукції 1 В.

Якщо в колі змінного струму знаходиться індуктивність L, наприклад, соленоїд (рис.54.5), то внаслідок явища самоіндукції коливання сили струму не будуть співпадати по фазі з коливаннями напруги. Дійсно, збільшенню струму в соленоїді перешкоджає ЕРС самоіндукції, внаслідок чого сила струму досягає максимального значення пізніше в порівнянні з максимальним значенням напруги.

Таким чином струм в колі з індуктивністю зумовлений дією прикладеної змінної напруги U та ЕРС самоіндукції e і закон Ома для такого кола прийме вигляд:

. (54.17)

Розглянемо коло, де активний опір відсутній (R=0), тоді

, (54.18)

враховуючи (54.16) отримаємо

. (54.19)

Нехай струм в колі змінюється за законом

, (54.20)

Взявши похідну згідно (54.14) будемо мати

, (54.21)

і порівнюючи з (54.20) бачимо, що коливання сили струму відстають за фазою на p/2, що можна зобразити векторною діаграмою

В (54.21) величина визначає максимальне (амплітудне) значення напруги

. (54.22)

Порівнюючи цей вираз із законом Ома U=IR легко бачити, що величина Lw грає роль опору, який називається індуктивним реактивним опором

. (54.23)

5. АКТИВНИЙ ОПІР, ІНДУКТИВНІСТЬ ТА ЄМНІСТЬ У КОЛІ ЗМІННОГО СТРУМУ

В електричних колах можуть бути одночасно активні та реактивні опори. На рис.54.7 наведена схема послідовного з’єднання активного опору R, індуктивності L та ємності (конденсатора) С.

Враховуючи фазові співвідношення між коливаннями сили струму і напруги на кожному елементі такого кола, векторна діаграма кола буде мати вигляд (54.8), де U_R – максимальна напруга на активному опорі, U_L – на індуктивності, U_C – на ємності, I_o – максимальне значення струму, однакове для всіх ділянок. Виконавши векторне додавання напруг, будемо мати, що модуль результуючої напруги дорівнює

, (54.24)

враховуючи (54.11) та (54.22) одержимо

, (54.25)

або

, (54.26)

Отриманий вираз називають законом Ома для кола змінного струму, а величину

, (54.27)

називають повним опором, або імпедансом (від грецького – „повний”).

6. ПРИНЦИП ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ВИЗНАЧЕННЯ ЄМНОСТІ КОНДЕНСАТОРА МЕТОДОМ ВИМІРЮВАННЯ ЙОГО РЕАКТИВНОГО ОПОРУ.

Якщо в колі змінного струму знаходиться тільки ємнісний опір (конденсатор), то з (54.26) отримаємо (54.28). Виміривши ефективні значення напруги та струму в колі, яке містить конденсатор, за формулою (54.28) можна підрахувати ємнісний опір конденсатора, а виміривши частоту змінного струму ν і враховуючи, що ω=2πν, отримаємо вираз (54.29) для розрахунку ємності конденсатора.

(54.28)

(54.29)

Таким чином, принцип даного експериментального методу визначення ємності конденсатора базується на вимірюванні його реактивного опору в колі змінного струму.

7. ВИЗНАЧЕННЯ ІНДУКТИВНОСТІ СОЛЕНОЇДА

Ідею вимірювання реактивних опорів використовують для визначення індуктивності різноманітних соленоїдів, обмоток, контурів і т.п.

Так, якщо в колі змінного струму маємо котушку індуктивності, активний опір обмотки якої становить R, то закон Ома для повного кола матиме вигляд (54.30), звідки отримаємо формули (54.31) та (54.32) для розрахунку шуканої індуктивності L.

(54.30)

(54.31)

(54.32)

На основі даного експериментального методу можна визначити магнітну проникність речовини[2] μ, яка знаходиться в соленоїді (магнітна проникність осердя). Дійсно, індуктивність соленоїда L визначається співвідношенням (54.33),

, (54.33)

де μ₀ – магнітна стала, яка дорівнює 4π×10^-7 Гн/м; n – кількість витків на одиницю довжини соленоїда; S – площа його поперечного перерізу; μ – магнітна проникність середовища (в даному випадку – магнітна проникність осердя, яке знаходиться в соленоїді). Вимірявши індуктивність L₀ соленоїда у відсутності осердя (μ = 1, як для повітря), а потім – індуктивність цього соленоїда L з осердям, визначимо магнітну проникність матеріалу цього осердя за формулою (54.34). (Ця формула випливає з порівняння співвідношень L = μμ₀n²ІS та L₀ = μ₀n²IS.)

(54.34)

8. ПОХИБКИ МЕТОДУ

Згідно з робочими формулами (54.29), (54.31), (54.32) визначення ємності конденсатора та індуктивності соленоїда вимагає вимірювання ефективних значень сил струмів та напруг, а також частоти ν струму. Вплив похибки кожного вимірювання на кінцевий результат можна оцінити з формули похибок. Нагадаємо, що для цього: 1) робочу формулу логарифмують при натуральній основі; 2) отриманий вираз диференціюють; 3) заміняють знаки диференціала “d” на знак абсолютної похибки вимірювання “Δ” і враховують правило складання похибок. Провівши такі математичні операції, будемо мати формулу (54.35) для відносної похибки ємності, а для індуктивності – формулу (54.36).

(54.35)

(54.36)

Абсолютні похибки сили струму та напруги можна визначити через класи точності відповідних електровимірювальних приладів. У даній роботі джерелом змінного струму є електромережа промислової частоти ν = 50 Гц, де Δν = ± 0,5 Гц. Що стосується похибки числа π, то взявши π = 3,14 ,Δπ = ±0,005. Виконання роботи не вимагає окремого вимірювання активного опору обмотки соленоїда. На лабораторному стенді вказані величини R та ΔR.

9. ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ

На лабораторному стенді розташовані всі прилади, які необхідні для виконання лабораторної роботи: амперметр, вольтметр, реостат для регулювання струму, конденсатори, котушка індуктивності (соленоїда), феромагнітне осердя. Джерелом струму є електромережа промислової частоти, тому виконання роботи вимагає особливого дотримання правил техніки безпеки.

ЗАВДАННЯ 1. ВИЗНАЧЕННЯ ЄМНОСТІ КОНДЕНСАТОРА

1. При вимкненому джерелі струму зібрати електричне коло згідно схеми рис. 54.9. Реостат вивести на максимальний опір. Спочатку проводять вимірювання однієї ємності, наприклад С₁.

Ввімкнути джерело струму і за допомогою реостата встановити максимально допустимі покази амперметра і вольтметра, які забезпечать найменшу відносну похибку вимірювань. Дані занести в таблицю 54.1.

2. Вимкнути джерело струму. Розрядити конденсатор С₁ і провести його заміну на конденсатор С₂. Потім, як і в попередньому випадку, виконати необхідні вимірювання струму і напруги.

3. Провести аналогічні вимірювання при паралельному і послідовному з’єднанні конденсаторів. Дані занести в таблицю 54.1.

Таблиця 54.1.

Конденсатор	І, А	DІ, А	U, B	DU, B	C, мкФ	DС/С	DС,мкФ
С1
С2
Паралельне з’єднання
Послідовне з’єднання

За формулою (54.29) підрахувати ємності С₁ і С₂, а також ємності при їх паралельному і послідовному з’єднаннях. Зіставивши експериментальні дані з розрахунковими значеннями загальної ємності при паралельному (54.37) і послідовному (54.38) з’єднаннях.

(54.37)

(54.38)

Провести розрахунок похибок за формулою (54.35).

ЗАВДАННЯ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ІНДУКТИВНОСТІ СОЛЕНОЇДА І ВПЛИВ НА ЙОГО ІНДУКТИВНІСТЬ ФЕРОМАГНІТНОГО ОСЕРДЯ

1.При вимкненому джерелі струму скласти електричне коло згідно схеми рис.54.10.

2. Ввімкнути джерело змінного струму і за допомогою реостата встановити

максимально допустимі покази амперметра і вольтметра. Дані занести в таблицю 54.2.

3. Ввести в отвір соленоїда залізне (або феритове) осердя. В таблицю 54.2 занести нові значення струму і напруги.

4. За формулою (54.32) підрахувати індуктивність соленоїда без осердя та з осердям.

5. Магнітну проникність осердя визначають за формулою ( 54.34 ).

6. Похибки розраховують за відповідною формулою похибок (54.18). Всі результати розрахунків заносять в таблицю 54.2.

Таблиця 54.2.

Соленоїд

І, А

DI, A

U, B

DU, B

n, Гц

Dn, Гц

R, Ом

DR, Ом

L, Гн

DL, Гн

m

без осердя

з осердям

9. ПРИКЛАДИ ТЕХНІЧНОГО ЗАСТОСУВАННЯ ІНДУКТИВНОГО ТА ЄМНІСНОГО ОПОРІВ.

На практиці широко застосовують електричні методи вимірювання неелектричних величин. Це означає, що вимірювана неелектрична величина ( переміщення, тиск, температура, вологість і т. п.) певним чином перетворюється у відповідну електричну величину.

Для такого перетворення використовують різноманітні датчики. Нижче приводиться короткий опис датчиків, принцип дії яких базується на зміні індуктивного або ємнісного опорів.

1. Індуктивний датчик – електровимірювальний перетворювач у вигляді котушки з феромагнітним осердям. Індуктивність котушки змінюється в результаті переміщення осердя по осі даної котушки (рис.54.11). А на рис. 54.12 приведена принципова схема датчика, де котушка індуктивності намотана на феромагнітне осердя із зазором. В цьому зазорі переміщається феромагнетик, чим досягається зміна індуктивності датчика. Такі датчики можуть фіксувати навіть незначні лінійні переміщення. Наприклад, осердя, що переміщається, зв’язують з мембраною манометра, і в результаті маємо датчик тиску.

2. Ємнісний датчик - електрови-мірчий перетворювач у вигляді конденсатора, ємність якого змінюється пропорційно значенню вимірювальної величини (деформації, переміщення, вологості і т. п.). На мал.54.13. наведена принципова схема контролю рухомої поверхні з допомогою ємнісного датчика. На досліджувану поверхню , що рухається (листовий чи рулонний матеріал) встановлюється щуп датчика, який зв’язаний з однією з обкладинок конденсатора. Друга обкладинка нерухома.

Нерівності досліджуваної поверхні приводять в рух щуп ( вверх-вниз ), що приводить до відповідної зміни ємності конденсатора. Шкала електровимірчого приладу ємнісного опору конденсатора проградуйована в міліметрах (або в десятих долях міліметрах ). Сучасні прилади такого типу ведуть автоматичний запис товщини контрольованої поверхні.

3.Електричні фільтри. Той факт ,що реактивний опір залежить від частоти струму, дозволяє здійснити пристрої для частотного розділення сигналів. Так, чим більша частота ,тим індуктивний опір буде більшим. Отже, котушка індуктивності буде відфільтровувати (пропускати) струми низької частоти більше, ніж високої. Навпаки, ємнісний опір конденсатора тим менший, чим більша частота. Таким чином, конденсатор буде відфільтровувати струми високих частот, а затримувати низькочастотні.

На рис.54.14, а наведена схема найбільш поширеного П-подібного фільтру для згладжування пульсацій випрямленого струму. На вході фільтру маємо пульсуючий струм (рис. 54.14, б). Постійну складову такого струму котушка індуктивності пропускає без перешкод( впливає тільки активний опір). Конденсатори не пропускають постійний струм і через них проходить тільки змінна складова пульсуючого струму. Тому на виході такого фільтру отримаємо практично постійний струм з незначними пульсаціями (рис. 54.14, в).

10. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які струми називаються змінними? Дайте означення ефективного значення сили змінного струму.

2. Який опір називається активним? Які можливі ефекти при високих частотах струму на активному опорі?

3. Чому в колі змінного струму ємність є реактивним опором? Від яких величин і як залежить реактивний ємнісний опір? Чому в колі змінного струму з конденсатором виникає зсув фаз між коливаннями сили струму і напругою?

4. Чому в колі змінного струму з індуктивністю виникає зсув фаз між коливаннями струму і напруги? Від яких величин і як залежить реактивний індуктивний опір?

5. Запишіть і поясніть закон Ома для кола змінного струму.

6. В чому полягає принцип експериментального визначення ємності конденсатора та індуктивності соленоїда методом вимірювань їх реактивних опорів?

7. Яка послідовність виконання роботи?

8. Вивести формулу похибок.

9. Де і як на практиці застосовуються індуктивність і ємність в колі змінного струму?

Лабораторна робота № 55

ВИВЧЕННЯ РЕЗОНАНСУ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛИВАЛЬНОМУ КОНТУРІ

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

МЕТА РОБОТИ: ознайомитись з явищем резонансу в електричному коливальному контурі, експериментально отримати його резонансні криві та визначити основні параметри контуру.

ПРИЛАДИ: коливальний контур, магазин опорів, міліамперметр, генератор.

Явище резонансу в електричному коливальному контурі має надзвичайно велике практичне значення. Так, сучасний радіозв'язок та телебачення були б неможливими без генераторів i приймачів, де основними елементами є коливальні контури, які працюють в режимі резонансу. Щоб зрозуміти це явище, спочатку розглянемо механізм вільних, а потім вимушених коливань при яких i наступає явище резонансу.

1. ЕЛЕКТРИЧНИЙ КОЛИВАЛЬНИЙ КОНТУР. ВІЛЬНІ НЕЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ

Електричний коливальний контур складається з ємності С (конденсатора) та індуктивності L . В механізмі коливань в такому контурі можна виділити такі основні етапи.

1. Конденсатор заряджений, струм відсутній (рис.55.1). Вся енергія контуру зосереджена в електричному полі конденсатора - формула (55.1), де U_max - максимальне (амплітудне) значення напруги між обкладинками конденсатора.

(55.1)

2. Миттєвій розрядці конденсатора протидіє електрорушійна сила (ЕРС) самоіндукції. Коли струм досягне максимального (амплітудного) значення I_max(рис.55.2), конденсатор буде повністю розряджений і вся енергія контура буде рівна енергії магнітного поля індуктивності L з струмом I_max - формула (55.2).

(55.2)

3. Після того, як струм досягне максимального значення, ЕРС самоіндукції протидіє його зменшенню i ця ЕРС підтримує струм в тому ж напрямі, який i перезаряджає обкладинки конденсатора (рис.55.3), після чого процес розрядки конденсатора починається в зворотньому порядку. Таким чином, в електричному коливальному контурі відбуваються періодичні перетворення енергії електричного поля в енергію магнітного поля і навпаки. Такі перетворення без зовнішньої дії називаються вільними електромагнітними коливаннями. Згідно другого закону Кірхгофа для даного контуру має місце рівняння:

, (55.3)

де - напруга між обкладинками конденсатора при миттєвому значенні заряду q, а весь вираз - ЕРС самоіндукції, яка діє в контурі. Враховуючи, що миттєве значення сили струму дорівнює (55.4), то рівняння (55.3) прийме вигляд (55.5).

, (55.4)

, (55.5)

Розв'язком такого диференціального рівняння є гармонічна функція (55.6), де w₀ - циклічна частота коливань буде рівною (55.7),

q=q_maxsin(w₀t+j), (55.6)

(55.7)

Так, як , то з (55.7) отримаємо значення періоду власних незатухаючих коливань в електричному коливальному контурі:

. (55.8)

Що стосується максимального (амплітудного) значення заряду q_maxконденсатора і j₀ (початкової фази), то ці величини в рівнянні (55.6) визначаються тільки з початкових умов.

2. ВІЛЬНІ ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ В КОНТУРІ

Вільні незатухаючі коливання є ідеальним випадком. В реальних коливальних контурах завжди присутній активний опір, що приводить до затухання коливань, частина енергії контуру перетворюється у внутрішню енергію провідників (провідники нагріваються).

На рис.55.4 наведена схема електричного коливального контуру, в якому резистор R характеризує активний опір всіх ділянок даного контуру. При силі струму I напруга U_R на кінцях резистора буде рівна (55.9) i тоді другий закон Кірхгофа прийме вигляд (55.10) (в лівій частині - сума напруг, в правій сума - ЕРС.)

(55.9)

(55.10)

Розв'язком рівняння (55.10) є функція (55.11),

, (55.11)

де q₀- заряд конденсатора в момент часу t=0, а частота коливань w в даному контурі визначається співвідношенням (55.12).

, (55.12)

Так, як миттєве значення струму знаходиться як перша похідна від заряду за часом (55.4), то взявши таку похідну, отримаємо:

, (55.13)

де добуток q₀w являє собою aмплiтyдне значення сили струму I₀ в момент часу t=0. Тому з рівняння (55.13) випливає, що в коливальному контурі з активним опором амплітуда коливань струму зменшується з часом за законом експоненти, а величину позначають через b i називають коефіцієнтом затухання i тому рівняння (55.13)записують у вигляді (55.14).

, (55.14)

(55.15)

На рис.55.5 наведений графік затухаючих коливань. Для характеристики самого затухання коливань вводять особливу величину (55.15), яку називають логарифмічним декрементом затухання: як логарифм відношення двох послідовних амплітудних значень сили струму (або амплітудних значень заряду чи напруги). Тут логарифм дуже зручна функція. Дійсно, якщо немає затухань, то А_n = А_n+1 i d = ln1 = 0, "нуль" вказує на відсутність затухань коливань.

3. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ В КОНТУРІ. ЯВИЩЕ РЕЗОНАНСУ

Якщо в електричному коливальному контурі буде діяти зовнішня змінна напруга, то в контурі під дією цієї напруги встановлюється вимушені коливання. На рис.55.6 джерело зовнішньої змінної напруги вказано символом (генератор).

Нехай зовнішня напруга U змінюється з часом за законом

, (55.16)

де U_max - амплітудне (максимальне) значення напруги, W - циклічна частота даної напруги (частота генератора). Тоді другий закон Кірхгофа для даного контуру прийме вигляд (55.17), тобто до лівої частини рівняння (55.10) ще додається зовнішня змінна напруга U.

Розв'язавши таке неоднорідне диференційне рівняння, отримаємо, що вимушені коливання в електричному коливальному контурі будуть відбуватись з частотою W, а амплітудне значення сили струму вимушених коливань буде рівним (55.18)

(55.17).

(55.18)

Отримана залежність (55.18) аналогічна закону Ома, де роль опору грає величина (55.19), яка називається повним опором електричного кола змінного струму або імпедансом. Повний опір складається з активного (омічного) опору R ,індуктивного опору R_L=wL та ємнісного опору .

При R_L = R_C сила струму в контурі досягає максимального значення. Можна довести, що ця рівність виконується за умови: частота зовнішньої напруги Wспівпадає з частотою w₀ власних коливань контуру.

Явище різкого зростання амплітуди сили струму в коливальному контурі при наближенні частоти Wвимушуючої напруги до частоти w₀ власних коливань контуру називається явищем резонансу в електричному колі (коливальному контурі).

На рис. 55.7 наведені залежності амплітудного значення сили струму в контурі від частоти зовнішньої (вимушуючої) напруги при різних значеннях активного опору контуру. Такі залежності називаються резонансними кривими. 3 зменшенням активного опору резонансні криві стають все більш "гострішими". Для визначення гостроти резонансної кривої задають однакове для всіх кривих зменшення сили струму або I = 0,7×I_рез . Чим гостріша резонансна крива, тим менший інтервал частот DWбіля резонансної частоти w₀, на кінцях якого виконується задана умова I = 0,7×I_рез (рис.55.8).

Відношення характеризує відносну ширину резонансної кривої, а величина Q (55.20), обернена відносній ширині резонансної кривої називається добротністю контуру. Як показують окремі розрахунки, добротність контуру визначається через його електричні параметри співвідношенням (55.21).

, (55.20)

, (55.21)

Можна довести, що добротність контуру дорівнює помноженому на 2p відношенню повної енергії електромагнітних коливань у контурі до енергії, яка витрачається на тепло Ленца-Джоуля за час одного повного коливання.

4. ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ

На лабораторному стенді розташовані всі прилади та елементи коливального контуру, необхідні для вивчення явища електричного резонансу.

У даній роботі дослідження резонансу в контурі проводиться при різних конденсаторах, ємності яких вказані на лабораторному стенді. Для зняття резонансних кривих при різних активних опорах контуру служить магазин опору. Струм у контурі вимірюється міліамперметром. Джерелом зовнішньої змінної напруги є генератор з регульованою частотою від 20 до 20000 Гц, значення вихідної частоти відраховується по відповідній шкалі генератора.

1. При вимкненому генераторі зібрати електричне коло згідно рис.55.9. В контур ввести один з конденсаторів, наприклад C₁ . Магазином опорів МО встановити опір R₁. Значення цього опору та значення наступних більших опорів вказує викладач. Перед виконанням роботи ручка "вихід генератора" повинна бути встановлена на мінімальну вихідну напругу.

2. Ввімкнути генератор i при незначній вихідній напрузі, обертаючи ручку "частота" генератора, домогтись явища резонансу, тобто знайти таку частоту генератора, при якій міліамперметр в колі контуру зафіксує найбільше значення сили струму. При даній резонансній частоті збільшити вихідну напругу генератора, так, щоб стрілка міліамперметра відхилилась майже на всю шкалу. Після чого вже не змінюючи вихідної напруги, повернутись до найменшої частоти генератора i зняти резонансну криву даного коливального контуру. Для цього, змінюючи частоту генератора через 10 або 20 Гц (можливий інший інтервал), в таблицю занести відповідні покази міліамперметра.

3. При тому ж самому значенні вихідної напруги генератора зняти резонансні криві при інших (більших) опорах R₂ , R₃ контуру. Дані занести в таблицю.

4. Згідно пунктів 1, 2, 3 послідовності виконання роботи, зняти резонансні криві для контуру з конденсатором C₂. Експериментальні дані занести в таблицю 55.1.

Таблиця 55.1