Основные формулы классической механики

1. Второй закон Ньютона в общем виде:

При условии постоянства массы тела в процессе движения m = const:

2. При движении материальной точки по криволинейной траектории результирующая сила, действующая на точку, может быть представлена в виде суммы тангенциальной (касательной) и нормальной составляющих силы:

, ,

где R – радиус кривизны траектории.

3. Иногда целесообразно решать задачу в системе центра инерции материальных точек. Положение центра инерции определяется радиусом-вектором:

,

где - масса i материальной точки и ее радиус-вектор; суммирование проводится по всем материальным точкам, входящим в систему.

Скорость системы центра инерции:

.

Полный импульс системы материальных точек в системе центра масс равен нулю.

4. При решении задач удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии: при перемещении тела из точки 1 в точку 2 под действием переменной силы изменение кинетической энергии тела равно работе результирующей силы.

5. При движении материальной точки в поле потенциальных (консервативных) сил выполняется теорема: работа перемещения тела в потенциальном полепо замкнутой траектории равна нулю. Работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 равна уменьшению потенциальной энергии тела:

Сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле:

.

В декартовых координатах:

6. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (полюса) О:

,

где m – масса точки, - скорость точки, - радиус-вектор точки из полюса О, a - угол между векторами и .

Момент импульса твердого тела:

,

где J – момент инерции твердого тела, - угловая скорость вращения тела.

7. Момент инерции:

- материальной точки ;

- твердого тела , где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Моменты инерции геометрически правильных тел относительно оси, проходящей через центр масс тела:

Однородный стержень - ;

Обруч - ;

Сплошной диск (цилиндр) - ;

Однородный шар - .

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:

где d – расстояние между данной осью и параллельной осью, проходящей через центр масс тела.

8. Момент силы относительно неподвижной точки (полюса) О:

, ,

где радиус-вектор, проведенный из полюса в точку приложения силы, a - угол между векторами .

9. Основное уравнение динамики вращательного движения (второй закон Ньютона):

.

При условии неизменности геометрической формы тела в процессе движения J=const

,

где угловое ускорение тела.

10.Кинетическая энергия вращательного движения:

Полная кинетическая энергия тела:

Работа момента силы относительно неподвижной оси z:

,

где Dj - угол поворота тела относительно оси z.

11. Законы сохранения импульса и момента импульса. Для замкнутой системы тел полный импульс системы и момент импульса системы сохраняется при любых взаимодействиях внутри системы.

, .

12. Закон сохранения энергии. Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы величина постоянная:

.

Релятивистская механика.

1. Преобразования Лоренца.

Если инерциальная система отсчета К’ движется относительно инерциальной системы К со скоростью u , направленной вдоль оси Х, то переход от одной системы отсчета к другой производится по следующим соотношениям:

,

, ;

y’ = y , y =y’ ;

z’ = z , z = z’ ;

, ,

где с – скорость света.

2. Следствия из преобразований Лоренца.

Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения:

,

где l – длина тела, движущегося со скоростью u относительно неподвижной системы отсчета К , - длина тела в системе отсчета К’ , в которой тело покоится (собственная длина).

Промежуток времени Dt между событиями в системе отсчета, движущейся со скоростью u относительно наблюдателя, связан с промежутком времени между событиями в системе отсчета, относительно которой оба события происходят в одной и той же точке:

.

3.Интервал между событиями:

,

где - расстояние между точками пространства; - промежуток времени между событиями. Интервал является инвариантом относительно преобразований систем отсчета.

3. Полная энергия тела:

,

где m –масса тела.

4. Релятивистский импульс:

.

5. Кинетическая энергия тела:

.

6. Связь между полной энергией тела и импульсом тела определяется соотношением:

,

являющееся также инвариантом относительно преобразований систем отсчета.