Динаміка матеріальної точки

Імпульс частинки: . Імпульс системи частинок:

,

де – імпульс -ї частинки.

Закон руху частинки:

,

де – рівнодіюча всіх сил, що діють на частинку. За умови, що , маємо .

Сили тертя. Пружні сили. Закон всесвітнього тяжіння.

Сила тертя спокою:

,

де – сила тертя ковзання.

Сила тертя ковзання (закон Кулона-Амонтона):

,

де – коефіцієнт тертя ковзання, – сила нормального тиску.

Сила тертя кочення:

,

де – коефіцієнт тертя кочення, – радіус тіла, що котиться.

Сила пружності (закон Гука):

,

де – коефіцієнт пружності, – абсолютна деформація тіла.

Закон Гука для деформації розтягу (стиску):

,

де – нормальна механічна напруга ( ), – модуль Юнга, – відносна повздовжня деформація ( ) .

Руйнівна сила:

,

де – межа міцності, – площа поперечного перерізу тіла.

Відносна зміна об’єму в разі повздовжньої деформації

,

де – коефіцієнт Пуассона.

Коефіцієнт Пуассона:

,

де – відносна поперечна деформація ( ), – коефіцієнт поперечного стиснення внаслідок повздовжнього розтягу.

Закон Гука для деформації зсуву:

,

де – тангенціальна механічна напруга, – модуль зсуву, – кут зсуву.

Модуль Юнга , модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона зв’язані співвідношенням:

,

Кут закручення дротини:

,

де ­­ – крутильний момент , – довжина дротини, – радіус дротини.

Потенціальна енергії пружної деформації розтягу(стиску):

,

де – об’єм тіла.

Закон всесвітнього тяжіння:

,

де – сила взаємодії двох частинок, – гравітаційна стала, і – маси взаємодіючих частинок, – вектор, який визначає положення другої частинки відносно першої.

Механіка твердого тіла

Момент інерції матеріальної точки масою , що обертається навколо вісі:

,

де – відстань від точки до вісі.

Момент інерції твердого тіла відносно вісі:

,

де – густина тіла.

Момент інерції:

а) суцільного однорідного циліндра (диска) відносно вісі циліндра (диска):

,

де – радіус циліндра (диска), – його маса;

б) пустотілого циліндра (кільця) з внутрішнім радіусом і зовнішнім радіусом відносно вісі, що збігіється з віссю циліндра (кільця):

;

в) тонкостінного циліндра (тонкого кільця) радіуса відносно вісі, що збігається з віссю циліндра (кільця):

;

г) однорідного стрижня, що має довжину і масу , відносно вісі, що проходить через центр його мас перпендикулярно до вісі стрижня:

;

д) однорідного стрижня, що має довжину і масу , відносно вісі, що проходить через один з його кінців перпендикулярно до вісі стрижня:

е) однорідної кулі масою і радіуса відносно вісі, що проходить через центр кулі:

;

ж) куба, з ребром і масою відносно вісі, що проходить через центр мас куба і перпендикулярна до його сторони:

Теорема Гюйгенса-Штейнера:

,

де – момент інерції тіла відносно довільної вісі, – момент інерції тіла відносно вісі, що проходить через центр мас і паралельна даній, – відстань між вісями.

Момент сили відносно деякої вісі :

,

де – проекція сили на площину, яка є перпендикулярною до вісі , – плече сили.

Момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання :

,

де – момент інерції тіла відносно вісі , – кутова швидкість тіла.

Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої вісі:

,

де – геометрична сума моментів зовнішніх сил, що діють на тіло.

Якщо момент інерції не змінюється, то

,

де – кутове прискорення ( ).