Змушені коливання. Резонанс

Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом:

Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила

(1)

З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді

Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння

(2)

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто

де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.

Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0, амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 1). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція

(3)

Рис. 1 Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо

(4)

У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 2). Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що . (5)

Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнюват (6)

Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює

(7)

З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд (8)

Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга (9)

Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (9), буде мати вигляд (10)

Використовуючи позначення, аналогічні до (2), прийдемо до рівняння

(11) Розв’язком рівняння (11) є функція, аналогічна до (3), тобто

(12)

Амплітуда заряду вимушених електромагнітних коливань буде дорівнювати

. (13)

Підстановка значень і в (13) дає значення амплітуди електромагнітних коливань в такому вигляді (14)

Похідна за часом від (12) дає можливість одержати в коливальному контурі закон зміни електричного струму ,

де ─ максимальний струм у коливальному контурі.

Щоб визначитирезонансну частоту — частоту, при якій амплітуда А зміщення досягає максимуму, — потрібно дослідити на максимум функцію . Диференціюємо підкореневий вираз цієї функції по ω і прирівнюємо його до нуля:

,

Ця рівність виконується при двох умовах і фізичний зміст яких має лише позитивне значення. Отже, резонансна частота буде дорівнювати

(15)