Визначення моменту інерції маятника Обербека

Необхідні прилади та матеріали:

1. Маятник Обербека

2. Масштабна лінійка

3. Секундомір

4. Штангенциркуль

І. Теоретичні відомості

Моментом інерції матеріальної точки відносно деякої осі є добуток маси цієї точки на квадрат відстані від її осі обертання.

Момент інерції – величина адитивна: момент інерції тіла відносно деякої осі дорівнює сумі моментів інерції усіх точок цього тіла відносно даної осі, тобто:

(кг ∙ м²)

Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла дає змогу стверджувати що результуючий момент сил прикладених до твердого тіла дорівнює добутку моменту інерції твердого тіла на кутове прискорення, яке отримує тверде тіло під дією результуючого моменту сил.

.

Так як , то цей закон може мати вигляд:

В обертовому русі твердого тіла момент інерції відіграє таку ж саму роль, як маса в поступальному русі.

Наприклад: кінетична енергія для поступального руху ,

для обертового руху ,

де – кутова швидкість.

Кутова швидкість -це фізична величина, яка показує як змінився кут повороту радіус вектора за одиницю часу: [рад/с], а

кутове прискорення ε – це фізична величина, яка показує як змінилась кутова швидкість матеріальної точки за одиницю часу: [рад/с²].

Момент кількості руху твердого тіла – добуток моменту інерції твердого тіла на кутову швидкість:

[кг·м² ·рад/с]

Закон збереження моменту кількості руху твердого тіла: сума моментів кількості руху тіл до взаємодії дорівнює сумі моментів кількості руху – після взаємодії.

Момент інерції тіла відносно різних осей має різні значення. Згідно теореми Штейнера, момент інерції тіла відносно довільної осі АА¹ дорівнює сумі моменту інерції I_c відносно 00¹ паралельній осі АА¹ і яка проходить через центр тяжіння тіла, та добутку маси тіла m на квадрат відстані l між осями (рис.6).

(1)

II. Конструкція маятника Обербека та методи вимірювання

Маятник Обербека (рис.7) має хрестовину зі шківом, що може обертатися навколо горизонтальної осі О. На стержнях, що створюють хрестовину насаджено чотири однакових тягарця, кожний з яких має масу m.

Відстань від центра тяжіння кожного тягарця до осі обертання О дорівнює l.

На шків намотана нитка з закріпленим на її кінці вантажем P = mg, падіння якого викликає обертання хрестовини з тягарцями.

Момент інерції цілої системи відносно осі обертання О дорівнює:

, (2)

де – момент інерції хрестовини відносно осі обертання.

– момент інерції тягарців відносно цієї осі.

Тому що розміри тягарців m значно менше l, то величиною (тобто моментом інерції тягарців m відносно осі, що проходить через його власний центр тяжіння) можна знехтувати в порівнянні з величиною ml². В такому наближенні . Якщо не враховувати роботу витрачену на переборення сил тертя, і виходити з того, що спочатку маятник Обербека знаходився в спокої, то з закону збереження енергії маємо що:

,

де – кутова швидкість, h – висота підйому вантажу Р

Вантаж Р падає рівноприскорено, тому ,

де – величина прискорення, – час падіння вантажу

Кутова швидкість ,

де – лінійна швидкість точок на колі шківа радіусом звідси . Отримуємо з формули (2)

(3)

Отже, момент інерції I₀усієї системи визначається шляхом вимірювання радіуса шківа r, висоти h і часу падіння вантажу t.

Тому що важливу роль при обертанні маятника Обербека відіграє тертя, то необхідно урахувати роботу сил тертя.

Закон збереження енергії з урахуванням роботи сили тертя F_тр

(4)

Рис.6 Рис.7. Маятник Обербека

Після того, як вантаж Р знизиться на відстань h і потенціальна енергія вантажу перейде в кінетичну енергію обертання маятника, вантаж знову почне підніматися завдяки намотуванні нитки на шківза рахунок енергії обертання маятника. Таким чином, згідно закону збереження енергії з урахуванням роботи сили тертя, вантаж Р підніметься тільки до висоти h, (h₁ + h).

Враховуючи, що частина енергії витрачається на роботу сили тертя і переходить в тепло, то при підйомі вантажу Р:

(5)

З формули (4) та формули (5) отримаємо:

(6)

Використовуючи формули (6) та формулу (4)отримаємо формулу для моменту інерції маятника Обербека з урахуванням роботи сили тертя:

(7)

Якщо знехтувати тертям, то h = h₁ і формула (7) перетворюється в формулу (3).

II. Порядок виконання роботи.

1. Штангенциркулем вимірюють (d шківа).

2. З допомогою масштабної лінійки вимірюють відстань. h₀ між нижньою поверхнею вантажу і підлогою при повністю розкрученій нитці (див. рис.3). Потім, обертаючи хрестовину, піднімають вантаж P на висоту h і знову роблять відлік з допомогою масштабної лінійки з точністю до 1мм.

3. Вимірюють час падіння вантажу Р з висоти h, вмикаючи секундомір одночасно з початком обертання хрестовини і вимикаючи його при максимальному зниженні вантажу.

Після вимикання секундоміра слідкують за підйомом вантажу Р і відмічають з допомогою масштабної лінійки максимальну висоту підйому h₀ . Ці вимірювання роблять 3 рази і записують результати у таблицю:

№ п/п

Табличні і задані данні

Результати прямих вимірювань

g. м/с²

m. кг

4m1, кг

h, м

t , с

d , м

r, м

№ п/п.

Результатиy непрямих вимірювань

а , м/с²

ε, рад/с²

І0, кг м²

І, кг·м²

Ісер, кг·м²

∆І, кг·м²

∆Ісер, кг·м²

4. Оформити звіт, провести обчислення моменту інерції та обчислити абсолютну та відносну похибки, кінцевий результат записати у вигляді:

Контрольні питання

1. Сформулювати визначення моментів інерції матеріальної точки та тіла довільної форми; пояснити фізичний зміст моменту інерції.

2. Сформулювати і записати рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

3. Дати визначення кутових швидкості та прискорення.

4. Записати формулу кінетичної енергії тіла, що обертається.

5. Що називається моментом кількості руху твердого тіла?

6. Сформулювати закон збереження моменту кількості руху.

Тестові питання для захисту лабораторної роботи: “Визначення момента інерції маятника Обербека”

1.Момент інерції матеріальної точки:

а) ;

б) ;

в) .

2. Момент інерції твердого тіла:

а) ;

б) ;

в) .

3. Одиниці вимірювання моменту інерції в системі СІ:

а) кг/м²;

б) г·м²;

в) кг·м².

4.Рівняння динаміки обертового руху:

а) ;

б) ;

в) .

5. Кутова швидкість:

а) ;

б) ;

в) .

6. Кутове прискорення:

а) ;

б) ;

в) .

7. Момент кількості руху твердого тіла:

а) ;

б) ;

в) .

8. Механічний рух:
а) – це зміна положення тіла в просторі відносно інших тіл з часом;
б) – це швидкість тіла в данний момент часу;
в) – це рух тіла у вакуумі.

9. Закон збереження моменту кількості руху твердого тіла:

а) сума моментів кількості руху тіл до взаємодії дорівнює сумі моментів кількості руху – після взаємодії;

б) сума моментів кількості руху тіл до взаємодії дорівнює різниці моментів кількості руху до і після взаємодії;
в) немає правильної відповіді.

10. Формула закону збереження моменту кількості руху твердого тіла:

а)

б)

в)

11. Кінетична енергія для обертового руху:

а)

б)

в)

Лабораторна робота № 6