Описание экспериментальной установки

Определение момента инерции

Маятника Максвелла

Общие сведения

Цель работы – ознакомиться со сложным движением твердого тела, сочетающим поступательное перемещение с вращательным движением, на примере маятника Максвелла. Измерить момент инерции маятника Максвелла и сравнить экспериментально полученный результат с рассчитанным значением.

Рис.1

Маятник Максвелла изображен на рис. 1. Он представляет собой диск 1, закрепленный на оси 2, подвешенной горизонтально на нитях 3 и 4.На диск накладываются кольца 5, заменяя которые можно варьировать момент инерции системы. В начальном состоянии маятник с намотанными на ось нитями находится в верхнем положении. Если маятник отпустить, то он начинает сложное движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси, нити при этом раскручиваются. В нижней точке траектории вращение маятника не прекращается, а продолжается по инерции: нити наматываются на ось, и маятник начинает подниматься. Так маятник осуществляет периодическое движение вверх – вниз.

Рис.2

Рассмотрим экспериментальный метод определения момента инерции маятника Максвелла. Пренебрежем силами трения и силами сопротивления воздуха. Тогда на маятник действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис.2).Уравнение поступательного движения маятника (уравнение Ньютона) имеет вид:

(1)

или в проекции на ось х, направленную вниз:

ma = mg – N, (2)

где m –масса маятника; a –его ускорение

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг своей оси, направленной за плоскость чертежа, для маятника максвелла может быть записано в виде

Iε = NR, (3)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, ε- угловое ускорение маятника, R - плечо силы N, равное радиусу оси маятника Максвелла. Между мгновенными значениями линейного и углового ускорений имеется соотношение:

a = εR (4)

Поскольку движение маятника происходит с нулевой начальной скоростью, за время t маятник перемещается на расстояние h

h = (5)

Из соотношений (2)-(5) следует рабочая формула

(6)

Таким образом, экспериментально момент инерции маятника Максвелла можно определить, если измерить время t прохождения маятником пути h, массу маятника m и радиус R. Суммарная масса маятника складывается из масс оси m₀, диска m_g и кольца m_k:

m =m₀+m_g+m_k (7)

Эффективный радиус оси R, скорректированный с учетом толщины нитей:

R=R₀+2R_н, (8)

где R₀ – истинный радиус оси, R_н радиус нити.

Рабочая формула (6) была выведена с помощью уравнений движения, на основании так называемого силового подхода. Эта же формула может быть получена и с помощью энергетического подхода, на основании закона сохранения энергии. В начальном состоянии механическая энергия маятника состоит из потенциальной энергии, равной mgh. В нижнем положении механическая энергия маятника складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений, где v – скорость поступательного движения, ω – угловая скорость вращения. Закон сохранения механической энергии в этом случае имеет вид

mgh= (9)

Легко убедиться, что с учетом кинематических соотношений

V² =2ah (10)

V=ωR (11)

и уравнений (9) и (5) вновь получается рабочая формула (6)

Теоретический расчет момента инерции маятника Максвелла

Момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать теоретически, учитывая, что момент инерции маятника складывается из моментов инерции цилиндрической оси I₀, диска I_д и кольца I_к :

I_T=I₀ + I_д + I_k = , (12)

где R_д – радиус диска, R_к внешний радиус кольца.

Описание экспериментальной установки

Рис.3

Общий вид экспериментальной установки представлен на рис. 3. В основании 1 закреплена штанга 2, на которой установлены кронштейны 3 и 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5. К нижнему кронштейну 4 прикреплен фотоэлектрический датчик 6, соединенный с секундомером 7. Изначально маятник Максвелла 8 удерживается электромагнитом в верхнем положении. При нажатии кнопки «пуск», расположенной на лицевой панели секундомера, маятник освобождается и начинает двигаться. Одновременно с этим начинает работать секундомер. Когда нижняя грань кольца пересекает фотоэлектрический датчик, секундомер прекращает отсчет времени. Длина маятника h измеряется с помощью рулетки от нижней грани кольца до фотоэлектрического датчика.

Порядок выполнения работы

3.1. Подготовка к измерениям.

1.Переключить тумблер, расположенный на передней панели секундомера, в положение «12в» и убедиться, что индикатор высвечивает цифру «0».

2. Убедиться, что ось свободно висящего маятника горизонтальна. При этом нижняя грань кольца должна находиться примерно на 2мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика.

3. Равномерно ,виток к витку ,намотать нить подвески на ось маятника так, чтобы маятник удерживался электромагнитом в верхнем положении.

4. Нажать клавишу «пуск». При этом маятник должен начать движение. Убедиться, что секундомер зарегистрировал время падения маятника.

3.2 Проведение измерений

1.В соответствии с процедурой, описанной в пп. 3 и 4, провести измерение времени падения маятника t не менее 10 раз. Результаты измерений занести в таблицу «Измерение случайной величины х Приложение2», заменив в таблице букву х на букву t .При этом необходимо учесть , что секундомер измеряет время в миллисекундах.

2. Определить приборную погрешность Δt_приб измерения величины t, взяв ее равной 0,02% от измеряемой величины плюс две цифры младшего воспроизводимого разряда. Результат записать в протокол работы.

3. С помощью рулетки измерить длину маятника h от нижней грани диска, находящегося в верхнем положении, до фотоэлектрического датчика. Приборную (и полную ) погрешность Δh принять равной половине цены деления рулетки. Результат записать в протокол.

4. Штангенциркулем, используя его нониусную шкалу, измерить радиусы деталей маятника: радиус оси R₀, радиус диска R_Д и внешний радиус кольца R_k. Радиус нити принять равным R_H=(0,2 ±0,05)мм. Приборные (и полные) погрешности измерений радиусов ΔR принять равными половине цены деления нониусной шкалы штангенциркуля. Результаты записать в протокол .

5.Записать в протокол работы значения масс оси (m₀), диска (m_Д) и кольца m_k (указаны на соответствующих элементах).Погрешности измерений во всех случаях принять равными Δm=±1г.

3.3 Обработка результатов измерений

1.Найти оценку истинного значения величины t_ср (нижняя строка таблицы t_cр = ).

2.При наличии случайной ошибки по заданному преподавателем коэффициенту доверительной вероятности α рассчитать доверительную погрешность Δt_случ и вычислить полную погрешность Δt по формулам

Δt_случ = t_α,n Δt= , где n -число измерений, t_α,n - коэффициент Стьюдента.

3.По формулам (7) и (8) вычислить суммарную массу маятника и его эффективный радиус. Рассчитать их погрешности по формулам

Δm=

4.По формуле (6) вычислить экспериментальное значение момента инерции маятника Максвелла I_эксп.

5. .Вывести расчетную формулу для определения относительной погрешности , используя общую формулу для расчета относительной погрешности при косвенных измерениях

, где x_i = m, D_ср,h, g, t_ср

Рассчитать величину относительной и абсолютной . погрешности

6.Привести окончательный результат экспериментального определения момента инерции маятника Максвелла.

7. По формуле (12), приведенной в первом разделе «Общие сведения», вычислить теоретическое значение момента инерции I_т маятника Максвелла.

8. Сравнить экспериментальное и теоретическое значения моментов инерции и объяснить возможные причины их расхождения.

Контрольные вопросы

1. Чему равны моменты инерции материальной точки массой m, сплошного цилиндра и диска, вычисленные относительно оси симметрии, проходящей через центр масс?

2. Как зависит ускорение поступательного движения маятника от его параметров (момента инерции, массы и радиуса оси)?

3. Напишите выражение для закона сохранения механической энергии для маятника Максвелла.

Литература

1. Ред. Лазовский В.Н. Курс физики. Т1 стр.50-55,129-142

2. Измерение физических величин. Методические указания к лабораторным работам. С-Петербург 2004г стр.18-22