Условия равновесия механической системы

Зная вид функции, выражающей потенциальную энергию системы, можно сделать ряд заключений о характере поведения системы. Особенно наглядно это можно сделать в случае одномерного движения тела, т. е. движения, описываемого одной координатой (например, координатой х). График зависимости потенциальной энергии от аргумента U=U(x) называетсяпотенциальной кривой.Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых превращения механической энергии в другие виды энергии отсутствуют, т. е. когда справедлив закон сохранения энергии.

Из анализа графика на рис. 18 приходим к выводу, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее х₂и левее х₁, так как кинетическая энергия K не может быть отрицательной величиной и, следовательно, потенциальная энергия U не может быть больше полной. В таком случае говорят, что тело находится впотенциальной яме с координатами х₁£ х£ х₂.

В точке с координатой х₀ потенциальная энергия частицы минимальна. В этой точке действующая на частицу сила F_x = - dU/dx = 0. При смещении частицы из положения х₀влево или вправо на нее действует возвращающая сила. Поэтому положение х₀ является положением устойчивого равновесия.

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рисунок 19). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е - заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где U(x) £ E, т. е. в областях I (х₁ £ х £ х₂) и III (х ³ х₃).

Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьерв области II (х₂ £ х £ х₃), ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е < U, а высота – определяется разностью (U_max – Е).Для того, чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме и совершает колебания между точками с координатами x₁ иx₂.

I II III

В точке с координатой x₀ (рис. 19) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила F_x = - dU/dx (U- функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии dU/dx = 0, то в точке с координатой x₀сила F_x(x₀) = 0. При смещении частицы из положения x₀(и влево, и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение x₀ является положениемустойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x₀¢(для U_max). Однако эта точка соответствует положениюнеустойчивого равновесия,так как при смещении частицы из положения x₀¢появляется сила, стремящаяся отклонить ее от этого положения.

Движение тел с переменной массой*

Вклассической механике масса движущегося тела может изменяться лишь вследствие присоединения к телу или отделения от него материальных частиц или частей тела. В результате этого

.

Уравнение поступательного движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) имеет вид:

, (2.2.7)

где m, – масса и скорость тела в рассматриваемый момент времени,

– результирующая внешняя сила,

– скорость отделяющихся частиц (частей) после отделения (если ), или присоединяющихся частиц до присоединения (если ),

– относительная скорость отделяющихся или присоединяющихся частиц, т.е. их скорость относительно тела.

Реактивная сила

. (2.2.8)

В случае движения ракеты, когда , а , связь между скоростью ракеты и ее массой выражается формулой Циолковского:

, (2.2.9)

где m₀ – начальная масса ракеты.

Из формулы Циолковского ясно, что, чем больше скорость истечения газов реактивной струи ракетного двигателя относительно ракеты , тем большую скорость может приобрести ракета.

Максимальная (характеристическая) скорость ракеты равна:

, (2.2.10)

где – начальная масса топлива.

Реактивное движение

Реактивным называется движение с изменяющейся массой.

Рассмотрим движение ракеты. Пусть в момент времени t масса ракеты m(t) и скорость . Импульс ракеты . Через промежуток времени dt масса ракеты изменилась и стала (m‑dm), скорость , количество движения Также надо учесть количество движения порции газа . Приращение количества движения равно импульсу внешней силы:

,

учтем добавочное условие dm = dm_газ. Раскрывая скобки, имеем:

.

Пренебрегая членом второго порядка малости и учитывая добавочное условие dm = dm_газ, имеем . Окончательно получаем уравнение Мещерского:

,

в этом уравнении , скорость истечения струи газа относительно ракеты.

Если представить ракету и струю газа как замкнутую систему, то получим уравнение Циолковского

.

Это уравнение легко решается в предположении, что скорость газа и скорость ракеты направлены вдоль одной прямой в противоположных направлениях, т. е.: .

В этом случае

; .

Константа определяется из начальных условий: при t = 0, v = 0, m = m₀.

.

Последнее соотношение позволяет оценить запас топлива, необходимый для достижения заданной скорости.