Курсовая работа по теоретической механике

Тема: «Динамика механических систем »

Выполнил:

Студент группы 8Л02

Крайдер А.В

Проверил:

Шумский М.П

Томск 2011 г.

Приложение «Исторический экскурс»

Динамика систем тел как отдельная дисциплина базируется на принципах классической

механики. Материальная точка, как наиболее простой объект исследования, удовлетво-

ряет уравнениям Ньютона, которые были опубликованы в 1686 г. в его работе

“PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica”.ПонятиетвердоготелабыловведеноЭйле-

ромв 1775 г. веготруде “Nova methodusmotumcorporumrigidarumdeterminandi”. Для

учета действия связей и шарниров Эйлер использовал принцип замены действия связей

их силами реакции. Полученные уравнения известны в механике как уравнения Ньютона-

Эйлера.

Механическая система впервые была рассмотрена в 1743 г. Даламбером вего “Traitede

Dynamique”, где он провел различия между активными силами и силами реакции и ввел

принцип, ныне носящий его имя. В 1788 г. в работе «MecaniqueAnalytique» Лагранж про-

вел анализ связанных механических систем, применив вариационные принципы к кине-

тической и потенциальной энергии механической системы, принимая во внимание

кинематические связи между телами системы и выбранные обобщенные координаты, и

получил в результате так называемые уравнения Лагранжа первого и второго рода. Урав-

нения Лагранжа второго рода – минимальный набор дифференциальных уравнений вто-

рого порядка, описывающих динамику механической системы.

Несмотря на очевидные успехи вплоть до 60-х годов прошлого века сложность решаемых

задач была ограничена объективными причинами – нелинейные эффекты различной

природы и неэффективные численные методы делали решение более или менее слож-

ных задач чрезвычайно затруднительной процедурой, требующей большого объема руч-

ного труда. Высокие требования на сложность моделей в первую очередь для

космической отрасли и бурное развитие вычислительной техники привели к появлению

нового раздела механики – динамики систем тел, в котором, принципы классической ме-

ханики были дополнены и расширены с точки зрения применения компьютерныхалго-

ритмов синтеза и решения уравнений движения механических систем.

Одни из первых алгоритмов (формализмов) компьютерного синтеза уравнений движения

были предложены в 1965 Хукером и Маргулисом и в 1967 Роберсоном и Швертассеком.

Кроме этих численных формализмов развивались также методы символьного вывода

уравнений движения, один из первых был опубликован Шиленым и Кройцером в 1977.

Первые законченные коммерческие программные продукты для моделирования дина-

мики систем тел появились 80-х годах прошлого столетия.

Задача №1.

Применение уравнений Лагранжа к исследованию движения

Механической системы с двумя степенями свободы.

Представленный чертеж:

Дано:

m₁=3m

m₂=3m

m₃=m

m₄=m

q₁,q₂

Решение задачи с полным пояснением:

Для решения задачи используем уравнения Лагранжа

2 рода:

Уравнение общей кинетической энергии:

Виртуальное движение:

Для однородных дисков 3 и 4 найдем момент инерции

По формуле: так как у дисков 3 и 4

Одинаковые массы и радиусы.

Найдем кинетическую энергию для каждого тела:

Вычислим сумму всех кинетических энергий:

Найдем обобщенные силы:

1) (

2)

Применим уравнения Лагранжа

Задача №2.

Теорема об изменении кинитической энергии механической системы(интегральная форма)

Представленный чертеж:

Дано:

S=2м

Решение задачи с пояснением:

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Выразим искомую скорость :

Точка Р для катка 3-м.ц.с, то

Сумма работ всех внешних сил, на заданном перемещении:

Работа пары сил сопротивления качению катка 3.

Перемещение выразим через заданное S:

Задача №3

Решение задачи по принципу Даламбера.

Представленный чертеж:

Дано:

Решение:

Покажем активные силы:

т.к. a₁=a₃ то заменим a₁=a₃=a