Теория метода и описание прибора. Плоское движение совершает маятник Максвелла, который представляет собой диск, насаженный на тонкий стержень и подвешенный на двух нитях

Плоское движение совершает маятник Максвелла, который представляет собой диск, насаженный на тонкий стержень и подвешенный на двух нитях, закрепленных на оси диска (см. рис. 4.3). Нить накручивается на ось диска. При раскручивании нити диск спускается, вращаясь вокруг своей оси. Плоское движение диска можно рассматривать как сумму поступательного движения оси вращения АВ и вращательного движения диска вокруг неподвижной оси АВ. Поэтому для описания движения маятника Максвелла воспользуемся основными уравнениями динамики:

поступательного движения

, (4.22)

где – результирующая всех сил, действующих на тело массой m; – его ускорение;

и вращательного движения

, (4.23)

где – результирующий момент всех сил, действующих на тело с моментом инерции J; – его угловое ускорение.

Рис.4.3

На ось действуют две силы – сила натяжения нити (маятник висит на двух нитях) и сила тяжести , где – суммарная масса диска и оси. Следовательно, . Сила натяжения нити создает вращательный момент , где r – радиус осевого стержня. Тогда уравнения в проекциях на ось ОХ и на ось вращения АВ соответственно имеют вид

(4.24)

Для решения этой системы уравнений воспользуемся связью между тангенциальной составляющей ускорения и угловым ускорением . Тогда для момента инерции маятника Максвелла мы получаем выражение

. (4.25)

Из этого выражения видно, что маятник Максвелла будет двигаться равноускоренно. Если учесть, что маятник опускается с высоты без начальной скорости, то

, (4.26)

тогда из выражения (4.25) следует

. (4.27).

Следовательно, по этой формуле мы сможем определить момент инерции маятника Максвелла.

Момент инерции однородного диска и цилиндра относительно оси, проходящей через ось симметрии цилиндра, можно определить также по формуле

, (4.28)

где m₁ – масса цилиндрического тела, R₁ – его радиус.

Используя формулу (4.28), можно легко получить формулу для моментов инерции полых цилиндрических тел:

, (4.29)

где R₂ – внешний, R₁ – внутренний радиус полого цилиндра.

Момент инерции нескольких тел равен сумме моментов инерции каждого тела в отдельности. Следовательно, момент инерции маятника Максвелла J_P равен сумме моментов инерции диска J_D, кольца J_K и

оси J_O:

J_P = J_O + J_D +J_K.

Тогда для момента инерции маятника Максвелла можно получить расчетную формулу

, (4.30)

где m_O – масса оси, m_D – масса диска, m_K – масса кольца, R_D – радиус диска, R_K – внешний радиус кольца, R_O – радиус оси.

Маятник, поднятый на высоту , обладает потенциальной энергией . При скатывании маятник одновременно движется поступательно и вращается относительно оси, поэтому его кинетическая энергия

. (4.31)

При падении маятника происходит изменение его потенциальной и кинетической энергии так, что полная механическая энергия остается постоянной согласно закону сохранения механической энергии:

, . (4.32)

Изменение потенциальной энергии маятника

, (4.33)

где m – масса маятника, h – высота падения.

Изменение его кинетической энергии

, (4.34)

где (D – диаметр оси маятника), ; следовательно,

. (4.35)

По закону сохранения энергии

. (4.36)

Описание прибора

Маятник Максвелла – это диск, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях. На диск накладывается одно из трех колец, изменяя таким образом его момент инерции J_P = J_O + J_D +J_K, где J_O – момент инерции оси маятника, J_D – момент инерции диска, J_K – момент инерции кольца, аксиально надетого на диск.

Маятник с надетым кольцом удерживается в верхнем положении (нулевая отметка шкалы) электромагнитом, который действует при включении прибора в сеть. На колонке прибора закреплена миллиметровая шкала, по которой определяется длина маятника.

На верхнем неподвижном кронштейне кроме электромагнита находится фотоэлектрический датчик. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном положении, соответствующем длине маятника.

Таким образом, при отключении электромагнита мятник падает с высоты h, равной длине маятника. Время падения отмечается секундомером.

Порядок выполнения работы и обработка результатов

измерений

Задание 1. Определение момента инерции маятника Максвелла относительно его оси

1. Надеть на диск кольцо, прижимая его до упора.

2. Нажатием клавиши СЕТЬ включить напряжение питания, при котором высвечиваются лампочки фотоэлектрических датчиков №1 и №2 и циферблат миллисекундомера. Одновременно включается электромагнит.

3. На ось маятника намотать нить подвески, стараясь, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

4. Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая внимание на то, что нить в этом положении не была слишком скручена. Убедиться, что нижняя грань кольца отвечает нулю шкалы на колонке. Чуть повернуть маятник в направлении его движения (на угол около 5^о).

5. Установить нуль миллисекундомера нажатием клавиши СБРОС.

6. Нажать клавишу ПУСК, при этом отключается электромагнит, маятник падает, включается миллисекундомер, идет отсчет времени.

7. Замер времени повторить 5 раз. Все измерения занести в табл. 4.3.

8. Определить значение среднего времени падения.

9. Измерить внешний диаметр оси маятника D.

10. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника h, а по формуле m = m_O + m_D + m_K вычислить массу маятника вместе с кольцом, где m_O – масса оси маятника, m_D – масса диска, m_K – масса кольца. Значения масс отдельных элементов нанесены на них.

11. По формуле (4.27) определить момент инерции маятника J.

12. Все результаты измерений записать в табл. 4.3. Под таблицей выполнить расчеты.

13. При выполнении работы ось маятника должна быть параллельна оси прибора.

14. По формуле оценить погрешность измерения момента инерции.

15. По формуле (4.30) определить расчетное значение момента инерции маятника Максвелла.

16. Сравнить расчетное значение момента инерции с его экспериментальным значением. Сделать выводы.

17. Опыт повторить с другими кольцами.

Таблица 4.3

h, м	D , м	m, кг	ti, с	t ср , с	J, кг∙м2

Задание 2. Проверка закона сохранения механической энергии

1. Определить момент инерции маятника Максвелла, используя формулу (4.30) задания 1.

2. Рассчитайте изменение потенциальной энергии по формуле (4.33).

3. Рассчитайте изменение кинетической энергии по формуле (4.35).

4. Для этого выполните пункты 1–10 задания 1.

5. Проверьте закон сохранения механической энергии по формуле (4.36).

6. Повторите пункты 1–4 с различными кольцами.

7. Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 4.4.

Таблица 4.4

H, м	D, м	M, кг	J, кг.м2	t, c	tср., с	ΔП, Дж	ΔТ, Дж

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цель работы.

2. Назовите основные виды движения твердых тел.

3. Запишите уравнение движения для маятника Максвелла.

4. Дайте определение момента инерции материальной точки, твердого тела.

5. Получите формулу для момента инерции полых цилиндрических тел относительно оси, проходящей через ось симметрии.

6. Запишите формулу кинетической энергии тела при сложном движении.

7. Запишите закон сохранения механической энергии для маятника Максвелла.

8. Сделайте выводы по работе.