При плоском напряженном состоянии

Цель работы:

Экспериментальная проверка расчетных формул для определения величины, и направления главных напряжений при плоском напряженном состоянии от совместного действия изгиба и кручения.

Общие сведения

Тонкий и достаточно длинный цилиндр защемлен одним концом и нагружен на свободном крае силой Р и скручивающим моментом m (рис. 1).

По граням элемента 1-2-3-4, вырезанного в окрестности точки C плоскостями, проходящими через ось цилиндра, и плоскостями, нормальными к ней, действуют касательные и нормальные напряжения.

Касательные напряжения определяются по формуле

где M_k - крутящий момент, в данном случае он равен скручивающему моменту m; - полярный момент сопротивления сечения цилиндра, причем a=d/D, D и d - наружный и внутренний диаметры цилиндра.

Нормальные напряжения в точке C, принадлежащие крайнему верхнему волокну I-I, будут равны:

где - изгибающий момент в сечении на расстоянии l_C от свободного края цилиндра;

W - осевой момент сопротивления.

Для кольцевого сечения он равен

Элемент 1-2-3-4, вырезанный вокруг точки C, показан на рис. 2.

Величина главных напряжений s₁ и s₃ в этом случае определяется по формуле

Направление максимального главного напряжения находится из следующего выражения

где a₀ - угол, отсчитываемый от направления s до направления s₁. Положительный угол a₀ отсчитывается против часовой стрелки. Напряжения, входящие в формулы (4) и (5), берутся по абсолютной величине.

Экспериментальное исследование напряженного состояния в точке C

Для экспериментального исследования напряженного состояния в стенках цилиндра используем веерную розетку из трех тензорезисторов, показанную на рис. 3 (вид сверху).

В случае совместного действия силы P и скручивающего момента m на конце консоли (см. рис. 1) направление главных напряжений неизвестно и может быть определено по относительным деформациям e_u, e_x, e_v в направлениях u, x, v (рис.4).

Направление минимального главного напряжения s₃ в нашем случае определится по формуле

Можно установить, что направление максимального главного напряжения s₁ определится по формуле

где j₀ - отсчитывается от направления u; a₀ - отсчитывается от направления x (см. рис. 4).

Относительные продольные деформации в направлении действия главных напряжений находятся по формуле

Относительные деформации в направлении датчиков u, x и v, входящие в формулы (6) и (7), определим по показаниям прибора

; ;

Здесь Dn_u, Dn_x, Dn_v - приращения показаний прибора на ступень нагрузки; K_e - цена деления прибора в относительных деформациях.

Главные напряжения определяются выражениями

где m, E - коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала цилиндра, соответственно.

Порядок выполнения работы

Работа выполняется на установке CM 18A (рис. 5).

На тонкостенный цилиндр 1, изготовленный из дюралюминия, наклеены тензорезисторы в виде веерной розетки. На рис. 3 показан вид сверху на точку А.

1. Снять отсчеты на тензометрической установке для датчиков v, x, u (каналы соответственно 1, 2, 3) при отсутствии нагрузки на подвесках 3 и 4.

2. Плавно без ударов загрузить подвеску 4 грузом весом DP₁, а подвеску 3 - грузами весом DP₂ по схеме, изображенной на рис. 6.

3. Снять отсчеты на тензоустановке для датчиков 1, 2 и 3.

4. Повторить операцию загружения подвески 4 следующей ступенью нагрузки DP₁, а подвески 3 ступенью DP₂ и снять отсчеты.

5. Результаты отсчета записать в таблицу наблюдения (см. форму отчета).

6. Разгрузить установку.

7. Вычислить опытные относительные деформации и напряжения по формулам (7), (8), (9) и (10).

В расчетах принять для дюралюминиевого цилиндра модуль Юнга E=71 ГПа и коэффициент Пуассона m=0,3.

8. Вычислить теоретические напряжения по формулам (1), (2), (4), учесть, что при такой схеме загружения расчетный крутящий момент на ступень нагружения , а расчетный изгибающий момент .

9. Сопоставить теоретические и опытные напряжения

10. Вычислить теоретическое и опытное значение наклона максимальных главных напряжений по формулам (5), (6), (6¢) и сопоставить их.

11. Оформить отчет по прилагаемой форме.

Отчет 11

Цель работы:…………………………………………..…………………………..

…………………………………………………………….…………………………

…………………………………………………………….…………………………

Установка………………………………….………………………………………

Схема нагружения

l_С =………см;

l = ……….см.

Измерительные приборы………………………………………………………..

Цена деления прибора K_e = …………………..

Данные о цилиндре:

наружный диаметр D =………..мм;

внутренний диаметр d = …………..мм;

……….;

модуль упругости E = ………….ГПа;

коэффициент Пуассона m = …………

Схема наклейки тензорезисторов

Таблица наблюдений

№	Нагрузка, Н	Отсчёты показаний тензорезисторов
Датчик v канал № 1	Датчик x канал № 2	Датчик u канал № 3
P1	P2	n1	Dn1	n2	Dn2	n3	Dn3
DP1 = Н DP2 = Н	Dnvср=	Dnxср=	Dnuср=

Главные деформации

=…………………….=……….

…………..; ……………

Главные напряжения

=………………..=…………МПа;

=………….……..=…………МПа.

Моменты сопротивления сечения цилиндра

…………………….=………см³;

…………..……….=………см³.

Теоретические напряжения

……………..=…………Н×м;

……………..=…………Н×м;

……..=……МПа; ……..=……МПа.

Характер напряженного состояния в точке C

Теоретические главные напряжения

……………………………=…………. МПа;

s₁=…………….МПа; s₂=…………….МПа.

Сопоставление теоретических и опытных напряжений

………………………………….=………..%;

………………………………….=………..%.

Опытное значение угла, определяющего направление максимального главного напряжения

………………………………=…………..;

j₀ =……………….;

a_0(оп) = 45⁰-j₀ =………….=……….

Тот же угол, найденный по теоретической формуле

……………………=……….;

a₀ =………………….

Сопоставление теоретического и опытного значений угла

………………………………..=………………..%

Выводы по работе…………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

Отчет принял

……………………………..

……………………………..