Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести
По второму закону Ньютона причиной изменения движения, т. е. причиной ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения.
Закон всемирного тяготения был открыт И.Ньютоном в 1682 году. Еще и 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс (рис.3.7). У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.
Рис. 3.7. Гравитационные силы притяжения между телами.
В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом И. Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная, как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.
Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
, (3.3)
Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной
G = 6,67·10-11, Н·м2/кг2 (СИ).
Экспериментально в лабораторных условиях закон всемирного тяготения был проверен английским физиком Кавендишем (1795г.). В своем опыте он использовал крутильные весы.
Два груза закреплялись на коромысле, подвешенном на упругой нити. Когда к этим грузам приближали другие два груза, сила притяжения между грузами возрастала, и это приводило к закручиванию упругой нити, на которой закреплялось коромысло. Поворот коромысла заканчивался, когда момент, создаваемый гравитационной силой, ни уравновешивался моментом возникающей при деформации кручения нити упругой силы. Кавендишу удалось не только проверить закон, но и уточнить численное значение гравитационной постоянной.
Из законов Ньютона следует, что масса в них имеет совершенно разный смысл.
Во втором законе Ньютона масса – мера инертности тела , а в законе всемирного тяготения масса характеризует величину, с которой два тела притягиваются друг к другу
Первым на это обратил внимание Ньютон. Он установил, что с точностью 0,001 эти массы для одного и того же тела имеют одну и ту же величину. С тех пор многие ученые делали попытки найти различие в инертной и гравитационной массах. В 1971г. нашими соотечественниками, физиками Пановым и Брагинским было показано, что с точностью 10-12 инертная и гравитационная массы неразличимы.
Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет движение тел вблизи поверхности Земли - все эти явления находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.
Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если М - масса Земли, RЗ - ее радиус, т - масса данного тела, то сила тяжести равна
,( 3.4 )
где g - ускорение свободного падении у поверхности Земли:
(3.5)
Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно надает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (R3 = 6,38-106 м), можно вычислить массу Земли М:
М= = 5,98·1024 кг.
При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.
Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля и Луна. Луна находится от Земли на расстоянии гл = 384·106 м. Это расстояние приблизительно в 60раз превышает радиус Земли Rз. Следовательно, ускорение свободного падения ал, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет
= 0,0027 м/с2
С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением.Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения :
= 0,0027 м/с2 ,
где Т= 27,3 суток - период обращения Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите и силы тяжести.
Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gл на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Поэтому ускорение gл определится выражением:
gл = = 0,17 g = 1,66м/с2
В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.
Рассмотри теперь вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Мы рассмотрим здесь только случай движения искусственного спутника по круговой околоземнойорбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200-300 км, и можно приближенно принять, расстояние до центра Земли равным ее радиусу R3. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через v1. Эту скороcть называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения . получим:
,
Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время
= 84 мин 12 с.
На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.
Движение спутника можно рассматривать как свободное падение,подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.
Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника v находится из условия
Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.
Период обращения такого спутника равен
Здесь Т - период обращения спутника на околоземной орбите. Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6R3. период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в космической радиосвязи. Орбита с радиусом r=6.6Rз называется геостационарной
.
Вес и невесомость
Силу тяжести тg, с которой тела притягиваются к Земле, нужно отличать от веса тела.Понятие веса широко используется в повседневной жизни.
Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес.При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса.Пусть тело лежит на неподвижном относительно Земли горизонтальном столе (рис. 3,8). Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной.На тело действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила упругости , с которой опора действует на тело. Силу называют силой нормального давления или силой реакции опоры.
Рис. 3.8. Вес тела, сила тяжести и сила реакции опоры
Силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга: . В соответствии с третьим законом Ньютона тело действует на опору с некоторой силой , равной по модулю силе реакции опоры и направленной в противоположную сторону: . По определению, сила и называемся весом тела. Из приведенных выше соотношений видно, что , т. е. вес тела Р равен силе тяжести тg, если тело неподвижно. Но эти силы приложены к разным телам!
Если тело неподвижно висит на пружине, то роль силы реакции опоры (подвеса) играет упругая силы пружины. По растяжению пружины можно определить вес тела и равную ему силу притяжения тела Землей. Для определения веса тела можно использовать также рычажные весы,сравнивая вес данного тела с весом гирь на равноплечем рычаге. Приводя в равновесие рычажные весы путем уравнивая веса тела суммарным весом гирь, мы одновременно достигаем равенства массы тела суммарной массе гирь, независимо от значения ускорения свободного падения в данной точке земной поверхности.. При этом равновесие рычажных весов сохраняется. Поэтому рычажные весы являются прибором для определения массы тела путем сравнения с массой гирь (эталонов).
Рассмотрим теперь случай, когда тело лежит на опоре (или подвешено на пружине) в кабине лифта, движущейся с некоторым ускорением относительно Земли. Система отсчета, связанная с лифтом, не является инерциальной. На тело по-прежнему действуют сила тяжести т и сила реакции опоры , но теперь эти силы не уравновешивают друг друга.
По второму закону Ньютона
Сила , действующая на опору со стороны тела, которую и называют весом тела, по третьему закону Ньютона равна . Следовательно, вес тела , в ускоренно движущемся лифте равен
(3.6)
Пусть вектор ускорения направлен по вертикали (вниз или вверх).
Если координатную ось ОУ направить вертикально вниз, то векторное уравнение для можно переписать в скалярной форме:
(3.7)
В ‘этой формуле величины Р, g и а следует рассматривать как проекции векторов на ось ОУ. Так как эта ось направлена вертикально вниз, то g> 0, а величины Р и а могут быть как положительными, так и отрицательными
Пусть, для определенности, вектор ускорения направлен вертикально вниз, тогда а > 0 (рис. 3.9).
Рисунок 3.9. Вес тела в ускоренно движущемся лифте. Вектор ускорения направлен
вертикально вниз. 1)a<g, Р<тg; 2) а =g ,Р = 0 (невесомость);3) a>g
Из формулы (1.47) видно, что если а < g, то вес тела Р в ускоренно движущемся лифте меньше силы тяжести. Если а > g, то вес тела изменяет знак. Это означает, что тело прижимается не к полу, а к потолку кабины лифта («отрицательный» вес). Наконец, если а =g,. то Р = 0. Тело свободно падает на Землю вместе с кабиной. Такое состояние называется невесомостью. Оно возникает, например, в кабине космического корабля при его движении по орбите с выключенными реактивными двигателями.
Если вектор ускорения направлен вертикально вверх (рис. 3.10), то а < 0 и,. следовательно, вес тела всегда будет превышать по модулю силу тяжести. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Действие перегрузки испытывают космонавты, как при взлете космической ракеты, так и на участке торможения при входе корабля в плотные слои атмосферы. Большие перегрузки испытывают летчики при выполнении фигур высшего пилотажа, особенно на сверхзвуковых самолетах.
Рис.3.10. Вес тела, движущегося с ускорением , направленным вверх