Динамика теории относительности.

Согласно теории относительности все законы природы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Законы классической механики не инвариантны относительно этих преобразований. Например, второй закон Ньютона имеет вид:

(1)

В механике Ньютона масса m считается постоянной величиной. Эйнштейн показал, что для того, чтобы уравнения (1) были инвариантны относительно преобразований Лоренца, необходимо считать, что масса зависит от скорости и эта зависимость имеет вид:

(2)

Здесь m_o – значение массы, измеренное в неподвижной системе (масса покоя), m – значение той же массы, измеренное в системе, движущейся относительно первой с постоянной скоростью u, .

С учетом (2) уравнения (1) будут верны и в теории относительности, в явном же виде их можно записать так:

(3)

Аналогично и импульс тела в теории относительности будет иметь вид:

(4)

Исключительно важным следствием теории относительности является связь между массой и энергией. Выведем это соотношение.

Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

(5)

(6)

Учитывая, что масса является переменной величиной, преобразуем формулу (5).

(7)

(8)

Преобразуем формулу (8), выразив из нее u².

(9)

Возьмем дифференциал от (9).

(10)

Подставим (9) и (10) в (7).

, (11)

Проинтегрируем формулу (11):

, (12)

Эйнштейн осмыслил эту формулу следующим образом.

- кинетическая энергия тела,

- полная энергия (13)

- энергия покоя (14)

Формула (13) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии. Согласно этому закону всякая частица (или область поля), имеющие энергию W, обладают массой . И наоборот, всякой массе m присуща энергия .

Из этой же формулы вытекает, что изменение массы ведет к эквивалентному изменению энергии и наоборот:

(15)

При обычных изменениях энергии Dm мало и не может быть замечено. Например:

Заметным этот эффект становится лишь при ядерных превращениях и в астрономических явлениях. Оценим, например, насколько уменьшается масса Солнца за счет его излучения.

Энергия солнечного излучения, попадающего на 1 м² поверхности Земли в 1 с, составляет к=1,4^.10³Дж/м²с (солнечная постоянная). Умножив эту величину на площадь поверхности сферы с радиусом R, равным расстоянию от Солнца до Земли, найдем суммарную энергию DW, теряемую Солнцем за 1 с за счет излучения:

R=1,5^.10¹¹м, DW=к^.4pR²=1,4^.10^3.4^.3,14^.2,25^.10²²=4^.10²⁶Дж/c

Соответственно этому уменьшению энергии масса Солнца за 1с уменьшается на величину равную

Как видно, изменение массы составляет очень большую величину. Однако, учитывая большую массу Солнца (М=1,984^.10³⁰кг) относительное уменьшение массы Солнца за 1с оказывается ничтожно малым:

Формула (12) представляет собой выражение для кинетической энергии в теории относительности. Оно совершенно непохоже на формулу кинетической энергии в классической механике. Но при малых скоростях (u<<c) релятивистские формулы должны переходить в обычные классические формулы. Покажем, что и формула (12) при u<<c переходит в обычную формулу кинетической энергии.

По правилам приближенных вычислений при можно записать:

Тогда:

То есть получается обычная формула для кинетической энергии.

При сближении нейтронов и протонов для образования ядра атома их энергия уменьшается на некоторую величину E_св, которая называется энергией связи. Таким образом, энергия ядра E_я оказывается меньше, чем суммарная энергия образующих это ядро свободных протонов и нейтронов E: E_я = E - E_св . В свою очередь, это приводит к тому, что масса ядра M_я становится меньше суммарной массы составляющих это ядро частиц M на величину D = Eсв/c², которая в ядерной физике называется дефектом массы ядра.

Зависимость удельной энергии связи E_св/А от А, где А – число протонов и нейтронов в ядре (массовое число), приведена на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Зависимость удельной энергии связи от массового числа

Элементы механики жидкостей*