Задачи для самостоятельного решения. Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

И АТОМНОЙ ФИЗИКИ

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989. - Гл. 37, § 37.1 - 37.4; гл. 38.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т. 3. - гл. 10, § 59 - 63; гл. 11, § 64.

Атом водорода по теории Бора

1. Первый постулат Бора. Электрон в атоме водорода движется, не излучая, по круговой орбите, для которой момент импульса электрона mVr равен целому кратному величины :

(29.1)

где m – масса электрона, V – скорость электрона на n-й орбите; r_n – радиус n-й орбиты; h – постоянная Планка; n – целое число (n = 1, 2, 3,…).

2. Второй постулат Бора. Электрон в атоме при переходе с одной орбиты на другую излучает или поглощает один квант энергии:

(29.2)

где Е₂ и Е₁ – полные энергии электрона в атоме на соответствующих орбитах;

(29.3)

3. Длина волны l света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, может быть определена из сериальной формулы

(29.4)

где R – постоянная Ридберга R = 1,097 ^. 10⁷ м^-1; n₁ и n₂ – квантовые числа, определяющие номера орбит электрона.

4. Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую,

(29.5)

где E_i – энергия ионизации атома водорода: E_i =13,6 эВ; v – частота; с = 3 ^. 10 ⁸ .

Для водородоподобных атомов

(29.6)

где Z – порядковый номер элемента.

Элементы квантовой механики.

Волны де Бройля

Формула де Бройля. Длина волны l, связанная с частицей, обладающей импульсом р, выражается равенством

. (29.7)

Так как импульс р в классическом приближении (V << c) выражается формулой

, (29.8)

то

, (29.9)

где т_о – масса покоя частицы.

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме, импульс

(29.10)

Тогда

(29.11)

Иногда при вычислениях длины волны де Бройля по формуле (29.7) импульс р частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию W_к. При этом следует пользоваться соотношениями:

- в классическом случае

(29.12)

- в релятивистском случае

(29.13)

где Е_о – энергия покоя частицы

Соотношение неопределенности для координаты и импульса

(29.14)

где Dр_х – неопределенность проекции импульса на ось х; Dх – неопределенность координаты; h = 6,62 ^. 10^-34 Дж ^. с – постоянная Планка.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить энергию фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.

Решение

Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,

где E_i – энергия ионизации атома водорода ( E_i =13,6 эВ); n₁ = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон; - номер орбиты, с которой переходит электрон (т - номер спектральной линии в данной серии).

Для серии Пашена n₁ = 3, m = 2, n₂ = n₁ + m = 3 + 2 = 5.

Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:

Ответ: e = 0,97 эВ.

Задача 2.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U = 51 В. Найти длину волны де Бройля.

Дано:

U = 51 B

m_o = 9,1 ^. 10^-31 кг

Кл Кл

l -?

где h – постоянная Планка, т – масса электрона, V – скорость. Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющее поле, равна работе этого поля, т.е.

,

откуда

Тогда

Ответ: l = 1,71 ^. 10^-10 м.

Примечание. Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Е_о.

Таким образом, W_к << E_o, и для решения задачи можно использовать формулы классической механики.

Если , то необходимо учитывать зависимость массы от скорости и пользоваться формулами релятивистской механики.

Задача 3. Кинетическая энергия W_к электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенности, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение

Соотношение неопределенности для координаты и импульса имеет вид

где Dх – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Dр – неопределенность импульса частицы (электрона); - постоянная Планка, деленная на 2p.

Из соотношения неопределенности следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Dх = l. (1)

Соотношение неопределенности (1) можно записать в этом случае в виде

.

Откуда

.

Физически разумная неопределенность импульса Dр, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса р, т.е.

Импульс р связан с кинетической энергией W_к соотношением

Заменим Dр значением ( такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

Ответ: l_min = 6,2 ^. 10^-11 м.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Исходя из первого постулата Бора, вывести формулу, определяющую радиус n-й орбиты электрона в атоме водорода. Вычислить радиусы первых трех орбит.

Ответ: r₁ = 0,529 ^. 10^-10 м; r₂ = 2,12 ^. 10^-10 м; r₃ = 4,77 ^. 10^-10 м.

Задача 2.Зная заряд электрона и радиус орбиты, определить потенциальную, кинетическую и полную энергии электрона, находящегося на первой орбите в атоме водорода.

Ответ: W_п = -27,2 эВ; W_k = 13,6 эВ; W = -13,6 эВ.

Задача 3.Определить длину волны, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера.

Ответ: l = 4,34 ^. 10^-7 м.

Задача 4.Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).

Ответ: l₁ = 1,87 ^. 10^-6 м; l₂ = 8,2 ^. 10^-7 м.

Задача 5. Вычислить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.

Ответ: W = 12,1 эВ.

Задача 6. Определить наименьшее и наибольшее значения энергии фотона в ультрафиолетовой части спектра водорода (серии Лаймана).

Ответ: W₁ = 10,2 эВ; W₂ = 13,6 эВ.

Задача 7.Атомарный водород, возбужденный светом с определенной длиной волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они принадлежат.

Ответ: серия Лаймана l₁ = 1,216 ^. 10^-7 м; l₂ = 1,026 ^. 10^-7 м; серия Бальмера l = 6,563 ^. 10^-7 м.

Задача 8.Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?

Ответ: V = 10 ⁶ .

Задача 9. Вычислить длину волны, которую испускает ион гелия Не⁺ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой же подсчет для иона лития Li ⁺⁺.

Ответ: l₁ = 0,3 ^. 10^-7 м; l₂ = 0,135 ^. 10^-7 м.

Задача 10.Найти энергию E_i и потенциал U_i ионизации ионов Не⁺ и Li⁺⁺.

Ответ: гелий E_i = 8,64 ^. 10^-18 Дж = 54 эВ; U_i = 54 В; литий E_i = = 1,95 ^. 10^-17 Дж = 122 эВ; U_i = 122 В.

Задача 11. Вычислить частоты обращения электрона в атоме водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту.

Ответ: частота обращения 8,3 ^. 10¹⁴ и 2,4 ^. 10¹⁴ ; частота излучения 4,6 ^. 10¹⁴ .

Задача 12.Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны l = 1215 . Определить радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

Ответ: r = 2,12 ^. 10^-10м.

Задача 13. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.

Ответ: U₁ = 10,2 В.

Задача 14. Найти: 1) радиусы первых трех боровских электронных орбит в атоме водорода; 2) скорость электрона на них.

Ответ: r₁ = 0,53 ^.10^-10 м; r₂ = 2,12 ^. 10^-10 м; r₃ = 4,77 ^. 10^-10 м; V₁ = = 2,19 ^. 10 ⁶ ; V₂ = 1,1 ^. 10 ⁶ ; V₃ = 7,3 ^. 10 ⁶ .

Задача 15. Вычислить кинетическую энергию электрона, находящегося на п-й орбите атома водорода. Задачу решить для п = 1, 2, 3 и ¥.

Ответ: W₁ = 2,18 ^. 10 ^–18 Дж = 13,6 эВ; W₂ = 5,44 ^. 10^-19 Дж = 3,4 эВ; W₃ = 2,42 ^. 10 ^-19 Дж = 1,51 эВ; W₄ = 0.

Задача 16.Найти: 1) период обращения электрона на первой боровской орбите в атоме водорода; 2) его угловую скорость.

Ответ: Т = 1,43 ^. 10 ^–16с; w = 4,4 ^. 10 ¹⁶ .

Задача 17. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.

Ответ: l₁ = 3,65 ^. 10 ^–7 м; l₂ = 6,56 ^. 10 ^–7 м.

Задача 18. 1) Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии спектра водорода. 2) Какую наименьшую скорость должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?

Ответ: l = 1,21 ^. 10 ^–7 м; V = 1,9 ^. 10 ⁶ .

Задача 19.Определить потенциал ионизации атома водорода.

Ответ: U_i =13,6 В.

Задача 20.1) Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода? 2) Какую наименьшую скорость должны иметь эти электроны?

Ответ: V = 2,2 ^. 10 ⁶ ; W = 13,6 эВ.

Задача 21. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?

Ответ: .

Задача 22. Какую наименьшую энергию (в электрон-вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найти длины волн этих линий.

Ответ: W = 12,1 эВ; l₁ = 1,21 ^.10 ^–7 м; l₂ = 1,03 ^.10 ^–7 м; l₃ = 6,56 ^.10 ^–7 м.

Задача 23.В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?

Ответ: .

Задача 24. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны ?

Ответ: на 2,56 эВ.

Задача 25. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?

Ответ:

Задача 26.Определить максимальную энергию e_max фотона серии Бальмера в спектре излучения атомарного водорода.

Ответ: e_max = 3,4 эВ.

Задача 27. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атома водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?

Ответ: .

Задача 28. Определить наибольшее и наименьшее значения энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серия Лаймана).

Ответ: e_min = 10,2 эВ; e_max = 13,6 эВ.

Задача 29. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны l = 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

Ответ: r = 4,75 ^. 10 ^–10 м.

Задача 30. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Ответ: e = 2,55 эВ.

Задача 31.Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на основной.

Ответ: e = 12,1 эВ.

Задача 32. Определить длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость равна 1000 . Сделать такой же подсчет для протона.

Ответ: l₁ = 7,3 ^. 10 ^–10 м; l₂ = 4 ^. 10 ^–13 м.

Задача 33.Электрон движется со скоростью 200000 . Определить длину волны де Бройля, учитывая изменение массы в зависимости от скорости.

Ответ: l = 2,7 ^. 10 ^–12 м.

Задача 34.Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1 ?

Ответ: U = 150 В.

Задача 35. Определить длину волны де бройля электрона, если его кинетическая энергия равна 1кэВ.

Ответ: l = 0,38 ^. 10 ^–10 м.

Задача 36. Найти длину волны де Бройля для протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов в 1 кВ и 1 МВ.

Ответ: l₁= 9,07 ^. 10 ^–13 м; l₂ = 2,86 ^. 10^-14 м.

Задача 37. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

Ответ: l = 3,3 ^. 10 ^–10 м.

Задача 38.Определить длину дебройлевской волны электрона, находящегося на второй орбите в атоме водорода.

Ответ: l = 6,7 ^. 10 ^–10 м.

Задача 39. С какой скоростью движется электрон, если дебройлевская длина волны электрона численно равна его комптоновской длине волны?

Ответ: V = 2,12 ^. 10 ⁸ .

Задача 40. Определить длину дебройлевской волны электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного спектра рентгеновских лучей приходится на длину волны .

Ответ: l = 0,6 ^.10 ^–10 м.

Задача 41. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 ^. 10 ^–3 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.

Ответ: l = 10 ^–10 м.

Задача 42. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 22,5 В.

Ответ: l = 2,58 ^. 10 ^–10 м.

Задача 43.Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью V = 0,6 с (с - скорость света в вакууме).

Ответ: l = 1,76 ^. 10 ^–15 м.

Задача 44. На узкую щель шириной 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость 3,65 ^. 10 ⁸ . Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние между двумя максимумами первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 cм от щели.

Ответ: х = 6 ^. 10 ^–5м.

Задача 45. Рассчитать длину волны де Бройля для: а) электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В; б) камня массой 100 г, летящего со скоростью 1 ; в) Земли на своей орбите (М_з = 6 ^. 10²⁷ кг). R_з-с = 1,5×10¹¹ м. v = .

Ответ: а) l = 10 ^–10 м; б) l = 6,6 ^.10 ^–33 м; в) l = 3,6 ^. 10 ^–63 м.

Задача 46. Получить в общем виде формулу, выражающую зависимость волны де Бройля от ускоряющего потенциала для релятивистской частицы.

Задача 47.Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы дебройлевская длина волны l была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?

Ответ: 1) U = 8,2 ^. 10^-4 В; 2) U = 820 В.

Задача 48.Определить длины волн де Бройля a-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

Ответ: l₁ = 3,2 ^. 10 ^–13 м; l₂ = 9 ^. 10 ^–13 м.

Задача 49. Протон обладает кинетической энергией W_k = 1 кэВ. Определить величину дополнительной энергии DW , которую необходимо ему сообщить для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась в три раза.

Ответ: DW = 8 кэВ.

Задача 50.Определить длину волны де Бройля для частицы массой т = 1 г, движущейся со скоростью V = 10 . Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства частицы? Почему?

Ответ: l = 6,62 ^. 10 ^–32 м.

Задача 51. Вычислить длину волны l де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией W_k = 13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Сравнить полученное значение l с диаметром d атома водорода (найти отношение ). Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода? Диаметр атома водорода принять равным удвоенному значению боровского радиуса.

Ответ: l = 3,3 ^. 10 ^–10 м.

Задача 52. Вычислить длину волны l де Бройля для тепловых (Т = 300 К) нейтронов. Следует ли учитывать волновые свойства нейтронов при анализе их взаимодействия с кристаллом? Расстояние между атомами в кристалле принять равным 0,5 нм (масса нейтрона т_n = 1,67 ^. 10 ^–27 кг).

Ответ: l = 1,78 ^. 10 ^–10 м.

Задача 53. Определить неточность в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью V = 1,5 ^. 10 ⁶ , если допускаемая неточность в определении скорости DV составляет 10 % от ее величины. Сравнить с диаметром атома водорода и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае (d ~ 10 ^–10м).

Ответ: Dх = 7,7 ^. 10 ^–10 м.

Задача 54. Определить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию W_min электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1 нм.

Ответ: W_min = 3,8 эВ.

Задача 55. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной «яме» шириной l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

Ответ: DW_min = 112,5 эВ.

Задача 56*. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 ^. 10 ^–15 м.

Задача 57.Электрон, неопределенность импульса которого не превышает 1 %, движется в электронно-лучевой трубке со скоростью 10 ⁸ . Можно ли в данном случае рассматривать электрон как материальную частицу, т.е. не учитывать его волновые свойства?

Ответ: Dх = 0,7 ^. 10 ^–7 м.

Задача 58. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

Задача 59.Электрон с кинетической энергией W = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить (в процентах) относительную неточность, с которой может быть определена скорость электрона.

Ответ: 5 ^. 10 ^–3 %.

Задача 60. Используя соотношение неопределенностей , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ~ 1 ^. 10 ^–10 м.

Ответ: e = 4 эВ.

Задача 61. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре W_min = 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, размеры ядра.

Ответ: d = 1,44 ^. 10 ^–15 м.

Задача 62. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический (W = 10 эВ) пучок электронов падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Dх = а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса электрона в двух случаях: а) а = 1 ^. 10 ^–8 м; б) а = 1 ^. 10 ^–10 м.

Ответ: а) 0,6 %; б) 60 %.

Задача 63*. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна: а) 5 ^. 10 ^–7 м; б) 1 ^. 10 ^–10 м? Каким областям спектра электромагнитных волн соответствуют эти длины волн?

Задача 64.При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью DV_x = 10 ^–2 . Оценить неопределенность координаты Dх: а) для электрона; б) для броуновской частицы массой т ~ 10 ^–15 кг; в) для дробинки массой т ~ 10 ^–4 кг.

Задача 65.Исходя из того, что радиус атома имеет величину порядка 10 ^–10 м, оценить скорость движения электрона в атоме водорода.

Ответ: V ~ 2 ^. 10 ⁶ .

Задача 66. Положение пылинки массой т ~ 10 ^–15 г определено с точностью до 10 ^–6 м. Определить неточность в определении скорости пылинки.

Задача 67*. Во сколько раз дебройлевская длина волны l-частицы меньше неопределенности ее координаты Dх, которая соответствует неопределенности импульса в 1 %?

Ответ: 16 раз.

Задача 68. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неточность импульса этой частицы?

Ответ: 16 %.

Задача 69. Используя соотношение неопределенностей , найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию W_min электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l .

Ответ: .

Задача 70. Используя соотношение неопределенностей , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ~ .

Ответ: W = 4 эВ.

Задача 71.Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой или классической частицей?

Ответ: Dх = 38,8 нм.

Задача 72.Определите отношение неопределенности скорости элктрона, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м, и пылинки массой m = 10^-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

Ответ: .

Задача 73.Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.

Ответ: l = 0,197 пм.

Задача 74.Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля l для него была равна 1 нм.

Ответ: U = 0,822 мВ.

Задача 75.Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

Ответ: l = 1 нм.

Задача 76.Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля l = 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.

Ответ: m = 1,672×10^-27 кг.