Статистична обробка результатів вимірювання

ВСТУП

Відповідно до робочої програми дисципліни “Стандартизація, метрологія і контроль” для студентів денної та заочної форми навчання, які навчаються за напрямами підготовки 6.050401 «Металургія» та 6.050402 «Ливарне виробництво», в результаті вивчення дисципліни студент повинен:

знати:

– значення стандартизації, метрології, контролю якості продукції та сертифікації в народному господарстві України і, зокрема, у ливарному виробництві;

– суть стандартизації, її мету, сучасний стан в Україні, урядові документи що стосуються стандартизації, органи стандартизації, метрології та сертифікації;

– визначення стандартизації і стандарту, класифікацію стандартів, порядок розробки та перегляду стандартів;

– методи стандартизації;

– єдині системи стандартів, зокрема ЄСКД;

– системи переважних чисел і системи нормальних лінійних розмірів;

– правові аспекти стандартизації;

– екологічні аспекти стандартизації;

– основні питання міжнародної стандартизації;

– застосування стандартів у ливарному виробництві;

– основи метрології, теорії вимірювань та теорії похибок;

– методи контролю якості продукції, особливості суцільного та вибіркового контролю;

– шляхи і напрямки підвищення якості продукції;

– економічну ефективність застосування стандартів та підвищення якості продукції;

– мету і порядок добровільної та обов’язкової сертифікації продукції;

вміти:

– користуватися стандартами у повсякденній практичній діяльності;

– виконувати розрахунки з застосуванням Міжнародної системи одиниць SІ;

– розрахувати абсолютну та відносну похибку вимірювання;

– намітити шляхи зменшення ризику постачальника та споживача;

– визначити і намітити основні параметри системи контролю якості продукції в галузі ливарного виробництва;

– вибрати схему сертифікації продукції та систем якості в залежності від виробничих умов, скласти план підготовки до сертифікації;

мати навички практичного використання нормативних документів.

Практичні заняття мають на меті виробити зазначені вміння та практичні навички. Практичні заняття з метрології присвячені, головним чином, розв’язанню задач, пов’язаних з використанням основних, похідних, кратних ічастинних одиниць системи СІ, а також з плануванням вимірювань та статистичною обробкою їх результатів. Практичні заняття із стандартизації полягають у детальному розгляді питань цієї галузі, які мають практичне значення у повсякденній діяльності фахівця, аналізі типових виробничих ситуацій,розв’язанні задач, пов’язаних зі стандартизацією та сертифікацією.

ОДИНИЦІ СИСТЕМИ СІ

Мета заняття - прищеплення практичних навичок щодо класифікації одиниць системи SІ, утворення похідних одиниць, переведення фізичних величин з однієї розмірності в іншу.

Для успішного виконання завдань цього розділу необхідно знати:

– основні та додаткові одиниці системи СІ;

– класифікацію одиниць системи СІ;

– правила перетворення розмірностей;

– правила утворення похідних одиниць з використанням визначаючих співвідношень;

– скорочені найменування та позначення деяких похідних одиниць;

– позасистемні одиниці, використання яких допускається міжнародними стандартами та законодавством України;

– метод переведення фізичних величин з використанням розмірних відношень.

Завдання 1.1. Для кожної з вказаних одиниць вкажіть: її назву, яку фізичну величину вона вимірює, чи входить вона до системи СІ, чи є основною, додатковою, похідною, кратною, частинною; якщо одиниця не входить в систему СІ, то чи дозволяється її використання в Україні: кг, МВт, °С, пуд, м/с.

Відповідь:

кг – кілограм, основна одиниця системи СІ; вимірює масу;

МВт – мегават, похідна кратна одиниця системи СІ, вимірює потужність;

°С – градус Цельсія, не входить до системи СІ, але допускається до застосування, вимірює температуру;

пуд – пуд, , не входить до системи СІ, не допускається до застосування, вимірює масу;

м/с – метр за секунду, похідна одиниця системи СІ, вимірює лінійну швидкість.

Для самостійної роботи: г, Н, кг/м³, Па, кДж, л, кал/(моль·°С), мВ, дм, Дж/(моль·К), ат, доба, м/с², фунт, кал, Дж/с, моль, кд, кг·м/с², год, ср, т, К.

Індивідуальні завдання.

Для кожної із заданих одиниць виміру вкажіть: назву одиниці виміру; яку фізичну величину вона вимірює; чи входить вона в систему SI; чи є вона основною, похідною, кратною, частинною. Якщо одиниця виміру не входить у систему SI, чи допускається її використання нарівні з одиницями системи SI в Україні..

1) дм; 2) кг; 3) м/с; 4) пуд; 5)°C; 6) год.; 7) В; 8) А; 9) г;10) дюйм; 11) кг/м3; 12) Н; 13) с; 14) л; 15) К; 16) км; 17) Дж;18) кал; 19) т; 20) Гц; 21) Вт; 22) мкс; 23) МПа; 24) м; 25) доба;26) мкм; 27) фут; 28) рад; 29) кВт; 30) см; 31) хв.; 32) фунт;33) м/с2; 34) мПа; 35) аршин; 36) кг × м/с2; 37) ГДж; 38) ср; 39)кд;
40) Дж/с; 41) мс; 42) кт; 43) мм; 44) т/м3; 45) Н/м2; 46)Дж/(кг × К); 47) с-1; 48) кг/м3; 49) нм; 50) кН.

Завдання 1.2. Виразіть похідну одиницю Н через основні, використовуючи визначаючі співвідношення: v = s/t; a = v/t; F = am.

Відповідь:

[v] = [s]/[t] = м/с; [a] = [v]/[t] = м/с²; [F] = [a][m] = кг·м/с². Н = кг·м/с².

Для самостійної роботи: Гц (f = N/t); Дж (v = s/t; a = v/t; F = am; A = Fs);

Вт (N = A/t); В (U = N/I); Ом (R = U/I).

Індивідуальне завдання

Визначте вимірність і назву величини, розрахованої за вказаною формулою. Вкаж1ть назви фізичних величин, що входять у формулу, і назви одиниць їх виміру.

1) А = F × s × соs a ([F] = Н; [s] = м; [α] = рад);

2) N = А/t ([А] = Дж; [t] = c);

3) s = a × t²/2 ([а] = м/с²; [t] = с);

4) ρ = М/(а × b × с) ([М] = кг; [а] = [b] = [c] = м);

5)F = m × a ([m] = кг; [а] = м/с²);

6) N = U × I ([U] = B; [1] = A);

7) v = 2gH ([g] =м/с²;[H] = м);

8) а = F/m ([F] = Н; [m] = кг);

9)s = v × t ([v] = м/с [t] =с);

10) v == ω × R ([ω] = с-1; [R] = м);

Завдання 1.3. Чи правильно записане рівняння Ах² + В = С, якщо величини мають вказану розмірність: [А] = Па; [В] = Н; [С] = кг·м/с² Якщо правильно, то яку розмірність матиме шукана величина х? Якщо ні, то чи можна виправити помилку шляхом переведення якоїсь величини в інші одиниці?

Розв’язання:

Використовуючи третє та друге правила перетворення розмірностей, маємо умови правильного написання рівняння: [Ах² + В] = [С]; [Ах² + В] = [Ах²] =[В], отже, [В] = [С]. Перевіримо останню умову: оскільки Н = кг·м/с² – рівняння записано правильно. Визначимо розмірність х. З першого правила випливає:

[Ах²] = [А]·[х]². Отже, враховуючи, що [Ах²] = [В], маємо: [х]² = [В]/[А] =Н/Па. Оскільки Па = Н/м², [х]² = м² і, нарешті, [х] = м.

Для самостійної роботи:

а) [А] = кг; [В] = кг; [С] = Н;

б) [А] = с²; [В] = м²; [С] = см²;

в) [А] = Дж; [В] = Дж; [С] = кг·м²/с².

Індивідуальне завдання

Чи правильно написане рівняння А + В × х = С, якщо величини мають вказану розмірність? Якщо ні, то чи можна виправити помилку шляхом переведення величин в інші одиниці? Якщо так, то у яких одиницях буде виражено х?

1) [А] = кг; [В] = м³; [С] = кг;

2) [A] = Н; [В] = см²; [С] =Па;

3) [А] = Н; [В] = м; [C] = кг м / с²;

4) [А] = м; [В] = с; [С] = км;

5) [А] = Дж; [В] = Н [С] = Дж;

6) [А] = Гц; [В] = Гц [С] = с-1;

7) [А] = кг; [В] = м³; [С] = г;

8) [А] = Н; [В] = м²; [С] = Н;

9) [А] = кг; [В] = кг / м³; [С] = Н;

10) [А] = Вт; [В] = 1; [С] = Дж / с.

Завдання 1.4. Переведіть об’ємну витрату газу 1,25 м³/год у см³/с.

Розв’язання:

Такі задачі зручно розв’язувати, використовуючи метод розмірних співвідношень, таких як 1000 м/км, 3600 с/год (читаються: “метрів у кілометрі”, “секунд у годині”) тощо. Розмірні співвідношення ставлять у чисельнику або знаменнику таким чином, щоб непотрібні розмірності скоротилися. Якщо якась розмірність має степінь, що відрізняється від одиниці, треба піднести у відповідний степінь розмірне співвідношення та його розмірність. Використаємо розмірні співвідношення: 100 см/м та 3600 с/год. Маємо:

Для самостійної роботи: переведіть: а) густину 3,8 г/см³ у кг/м³; б) тиск 18фунтів на квадратний дюйм у МПа (розмірні співвідношення: 25,4 мм/дюйм;0,4535 кг/фунт); в) теплоємність 9,5 кал/(моль·°С) у Дж/(моль·К) (4,1868Дж/кал).

Індивідуальне завдання

Переведіть з одних одиниць в інші, користуючись співвідношенням одиниць.

1)теплоємність 8,6 кал/(моль × °С) у Дж/(моль × К); співвідношення 4,1868 Дж/кал;

2) густину 0,349 фунт/куб. дюйм у кг/м³; співвідношення 0,4535 кг/фунт; 25,4 мм/дюйм;

3) об’єм 182 куб. фута у м³; співвідношення 0,3048 м/фут;

4)тиск 8,2 ат у МПа; 1 ат = 1 кгс/см²; співвідношення 9,81 Н/кгс;

5) межу міцності 5,6 кгс/мм² у кПа; співвідношення 9,81 Н/кгс;

6)температуру 1400°С у К;

7) частоту обертання 900 об/хв у Гц;

8)об’єм 0,6 × 108 мм3 у м³;

9)густину 6,8 г/с³ у кг/м³ ;

10) швидкість 20 м/с у км/год.

Завдання 1.5. Визначте розмірність гравітаційної сталої у рівнянні закону всесвітнього тяжіння

де F – сила тяжіння, Н; m1, m2 – маси тіл, кг; r – відстань між тілами, м.

Розв’язання:

З формули закону всесвітнього тяжіння маємо:

У відповідності з правилами перетворення розмірностей

Для самостійної роботи: визначте розмірність коефіцієнтів у емпіричних формулах:

а) коефіцієнту S1 у формулі для розрахунку тривалості заповнення ливарної форми

де τ – тривалість, с; G – маса металу, кг; δ – товщина стінки виливка, мм.

б) коефіцієнтів А₁ і В₁ у емпіричній формулі Аксьонова для пресування

ρ = А₁ + В₁··p0,25,

де ρ – густина суміші, кг/м3;

р – тиск пресування, Па.

в) коефіцієнтів А₂ і В₂ у емпіричній формулі Аксьонова для струшування

ρ = А₂ + В₂··а0,3,

де ρ – густина суміші, кг/м³;

а – питома робота струшування, Дж/м².

Індивідуальне завдання

Виразіть задані похідні розмірності через основні, використовуючи наведені визначаючі співвідношення.

1) Н (F = а × m; а = v/t; v = s/t);

2) Дж (А = F × s; F = а × m; а = v/t; ; v = s/t);

3) Вт (N = А/t; А = F × s; F = a × m; a = v/t; v= s/t);

4) В (U = N/I; N = A/t; A = F × s; F = a × m; a = v/t; v = s/t);

5) Па (p = F/f; F = a × m; a = v/t; v= s/t; f = a × b; а, b – лінійні розміри);

6) Гц ( ν = N/t; N – кількість коливань)

СИСТЕМА ПЕРЕВАЖНИХ ЧИСЕЛ

Мета заняття - прищеплення практичних навичок з використання рядів переважних чисел.

Для успішного виконання завдань цього розділу необхідно знати:

– правила утворення рядів переважних чисел;

– структура рядів переважних чисел;

– основні властивості рядів переважних чисел.

Завдання У ливарному цеху вирішили уніфікувати моделі надливків длясталевих виливків з метою включення їх до стандарту підприємства. Маси надливків повинні утворювати ряд R5. Мінімальна маса надливку 1 кг, максимальна 100 кг. Усі моделі геометрично подібні. Визначаючий розмір, мм, моделі обчислюють за формулою d = 103 × 3 m r , де m – маса надливку, кг; ρ – густина рідкої сталі кг/м³. Розрахувати ряд визначаючих розмірів моделей, якщо ρ = 7200 кг/м³.

Розв’язання. Користуючись стандартним рядом R5 ( додаток В), утворимо ряд мас надливків, кг: 1,0; 1,6; 2,5 4,0; 6,3; 10,0; 16,0; 25,0; 40,0; 63,0; 100,0. Далі, за формулою розрахуємо ряд визначаючих розмірів, мм: 52; 61; 70; 82; 96;112; 131; 152; 177; 206; 241.

Для самостійної роботи:

Розрахувати ряд діаметрів, мм, ливникових стояків, площі поперечного перерізу яких утворюють ряд переважних чисел від 1 до40 см2.

Індивідуальне завдання

1) Складіть ряд місткості (кг) розливних ковшів на основі ряду переважних чисел R5: а) від 50 до 1500 кг; б) від 10 до 630 кг; в) від 800 до 15000 кг.

2) Складіть ряд місткості (м3) засіків для зберігання сипкого матеріалу, що має густину насипної маси 1200 кг/м3, на основі ряду переважних чисел R10: а) від 5 до 100 т; б) від 40 до 800 т; в) від 63 до 300 т.

3) Визначте ряд діаметрів ливникових стояків, площі поперечного перерізу яких утворюють ряд переважних чисел R10: а) від 1 до 25 см²; б) від 2,5 до 60см².

4) Розрахуйте ряд вантажів для форм на основі ряду переважних чисел R5. Маса вантажів: а) від 16 до 400 кг; б) від 25 до 1600 кг.

5) Розрахуйте розміри квадратних вічок лабораторних сит для розсіву сипкого матеріалу на фракції від 0,02 до 2,5 мм, що утворюють ряд переважних чисел R5.

6) Розрахуйте розміри вантажів кубічної форми, якщо їх маси утворюють ряд переважних чисел R10: а) від 25 до 630 кг; б) від 10 до 250 кг; в) від 5 до 100кг; г) від 0,25 до 4 кг. Густина матеріалу вантажів 7800 кг/м³.

7) Визначте поділки нерівномірної шкали приладу для вимірювання вологості формових сумішей. Поділки шкали утворюють ряд переважних чисел від 1до 8% а) R20; б) R40.

8) Розрахуйте температури переходу для термофарб, що утворюють ряд переважних чисел: а) R10 від 400 до 1200 °С; б) R20 від 250 до 800 °С.

9) Розрахуйте ряд стандартизованих значень тиску пресування форм від 0,2 до 5 МПа, що утворюють ряд переважних чисел R10. Розрахуйте зусилля пресування для першого і останнього членів ряду, якщо розміри пресової колодки а) 600 ´ 800 мм; б) 800 ´ 1000 мм; в) 400 ´ 600 мм; г) 1000 ´ 1500 мм; д) 1500 ´ 2500мм.

СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАННЯ

Мета заняття - прищеплення практичних навичок у галузі обробки результатів вимірювання.

Для успішного виконання завдань цього розділу необхідно знати:

• сутність точкового та інтервального оцінювання істинного значення вимірюваної величини;

• метод розрахунку математичного сподівання на основі багаторазових спостережень;

• метод розрахунку величини випадкової похибки на основі багаторазових спостережень;

• правила запису інтервальної оцінки.

З метою підвищення точності вимірювання, а також оцінювання випадкової похибки часто застосовують метод багаторазових спостережень. При цьому декілька разів вимірюють одну й ту ж саму фізичну величину, внаслідок чого випадкові похибки, так би мовити, взаємно компенсують одна одну: що більше спостережень, то ближче результат вимірювання до істинного значення величини і менше випадкова похибка (на жаль, систематичну похибку таким способом зменшити неможливо).

На основі багаторазових спостережень визначають точкову та інтервальну оцінки істинного значення вимірюваної величини.

Точкова оцінка, яка і є дійсним значенням величини, - це середнє арифметичне результатів усіх виконаних спостережень (математичне сподівання):

, (1.1)

де xi – результат і-го виміру;

n – загальна кількість вимірів.

Точкова оцінка не дає жодної інформації про точність вимірювання або його похибку.

Щоб дати інтервальну оцінку, треба спочатку розрахувати середньоквадра-тичне відхилення

. (1.2)

Імовірну випадкову похибку можна розрахувати за формулою

(1.3)

де t –критерій Стьюдента.

Величину критерію Стьюдента знаходять із таблиці розподілу Стьюдента (додаток А) в залежності від двох аргументів: 1) кількості ступенів свободи f = n – 1; 2) довірчої ймовірності р або рівня значущості a = 1 – р. Рівень значущості задає сам дослідник. Що менше цей рівень (більше довірча ймовірність), то менше точність, але більше надійність оцінки. У технічних вимірюваннях найчастіше беруть р = 0,95 (a = 0,05). Критерій Стьюдента має різне значення в залежності від того двобічне або однобічне обмеження має вимірювана величина. Наприклад, якщо згідно з стандартом вміст вуглецю в чавуні повинен знаходитись у межах від 2,8 до 3,2%, обмеження двобічне, якщо вміст сірки в сталі не повинен перевищувати 0,03% - однобічне.

Визначивши абсолютну похибку, можна записати інтервальну оцінку величини х у вигляді x = x ± Dx з імовірністю р. Межі, у яких знаходиться істинне значення величини, називають довірчим інтервалом.

Завдання 3.1. Дати точкову та інтервальну оцінку величини х, виходячи з такого ряду її спостережень: 1,00; 1,01; 1,00; 1,02; 0,98; 0,99. Довірчу ймовірність взяти рівною 0,95. Знайти відносну похибку вимірювання.

Розв’язання. Подібні задачі зручно розв’язувати, використовуючи таку таблицю:

Визначимо відхилення кожного виміру від середнього значення і запишемо (без знаку) у другу колонку. Піднесемо ці числа в квадрат (остання колонка) і просумуємо.

Визначимо середньоквадратичне відхилення

Далі, виходячи з кількості ступенів свободи f = 6 – 1 = 5 і рівня значущості a = 1 – 0,95 = 0,05, знайдемо в таблиці (додаток А) величину критерію Стьюдента (для двобічного обмеження) t = 2,57.

Розрахуємо ймовірну абсолютну похибку:

Для самостійної роботи: дати точкову та інтервальну оцінку істинного значення величини х (довірча ймовірність вказана в дужках):

а) 0,030; 0,028; 0,031 (0,95);

б) 1285; 1291; 1280; 1280; 1284 (0,9);

в) 1,25; 1,20; 1,26; 1,24; 1,22; 1,25; 1,25 (0,99).

Індивідуальне завдання

Дайте точкову та інтервальну оцінку істинного значення величини х,користуючись наведеними результатами кількох її спостережень. Запишіть оцінку у вигляді х ± Δх. Визначте абсолютну та відносну похибки вимірювання. Покладіть довірчу ймовірність, як зазначено в дужках.

1)0,0312; 0,0314; 0,0320; 0,0318; 0,0322 (0,95);

2)21,64; 21,90; 22,11; 21,95; (0,99);

3)0,36; 0,38; 0,36; 0,41; (0.95);

4)18,4; 19,3; 17,0; (0,9);

5)1210; 1213; 1220; 1222; (0,95);

6)150,1; 148,3; 155; (0,9);

7)352,3; 351,0; 352,2 350,0; 352,0; (0,99);

8)0,012; 0,010; 0,011; 0,013; (0,95);

9)30,0; 30,2; 29,7; (0,9);

10) 5,1; 4,8; 5,0; 4,9; 5,2; 5,1; (0,9).

ПЛАНУВАННЯ ВИМІРЮВАНЬ

Мета заняття: прищеплення практичних навичок у галузі планування вимірювань.

Для успішного виконання завдань цього розділу необхідно знати:

– стадії процесу вимірювання;

– метод апріорного оцінювання необхідної кількості спостережень.

– Процес вимірювання складається з таких стадій:

– підготовка і планування вимірювань;

– виконання вимірювань;

– обробка і аналіз отриманих даних.

Підготовка і планування вимірювання:

– визначення мети і завдання вимірювання;

– аналіз апріорної інформації (очікуваного діапазону значень вимірюваної величини, можливої похибки тощо);

– розробка (або вибір) фізичної та математичної моделі об’єкту;

– аналіз умов вимірювання;

– встановлення необхідної точності вимірювань;

– розробка конкретної методики вимірювань;

– визначення методів обробки результатів.

Одним з найважливіших елементів планування вимірювань методом багаторазових спостережень є апріорне оцінювання мінімально необхідної кількості спостережень, щоб забезпечити допустиму величину похибки оцінювання істинного значення вимірюваної величини. Це можна зробити з використанням таблиці (додаток Б). Для цього необхідно знати: величину допустимої похибки; апріорне значення середньоквадратичного відхилення; довірчу ймовірність або рівень значущості.

Завдання 4.1. Визначити мінімально необхідну кількість аналізів вмісту сірки у зразку сталі. Апріорна інформація:

– мета вимірювання – приймальний контроль партії виливків;

– очікуваний діапазон вмісту сірки: 0,02 – 0,04%;

– вимірювання виконується шляхом хімічного аналізу за чинним стандартом;

– апріорна величина середньоквадратичного відхилення 0,001%;

– допустима похибка ± 0,002%;

– довірча ймовірність 0,9;

– метод обробки результатів – стандартний статистичний, з визначенням точкової та інтервальної оцінок.

Розв’язання. Скористуємося таблицею (додаток Б) для однобічного критерію Стьюдента, оскільки вміст сірки обмежується стандартом тільки з одного оку, а саме - зверху. Спочатку розрахуємо величину w(відношення допустимої похибки до апріорного середньоквадратичного відхилення):

З таблиці знаходимо найближче менше значення w = 1,68, якому відповідає мінімально необхідна кількість аналізів – 3.

Завдання 4.2. Відповідно до завдання 3.1, виконали аналізи і отримали такі значення вмісту сірки: 0,025: 0,027 та 0,025%. Перевірити, чи вірно знайдена мінімальна кількість аналізів, оцінити істинний вміст сірки в сталі.

Розв’язання. Виконаємо статистичну обробку результатів. Складемо таблицю

Середнє значення:S = 0,0257%

Середньоквадратичне відхилення:

Результат статистичної обробки результатів аналізів підтверджує апріорне значення середньоквадратичного відхилення.

Продовжимо статистичну обробку: визначимо інтервальну оцінку дійсноговмісту сірки в сталі. Для 2-х ступенів свободи при рівні значущості 0,1 однобічний критерій Стьюдента дорівнює t = 1,89. Отже, абсолютна похибка

Інтервальна оцінка істинного значення вмісту сірки: S = 0,0257 ± 0,00126%,або, після округлення, S = 0,026 ± 0,001%. Як бачимо, похибка (≈ 0,001%) виявилася меншою за допустиму (0,002%).