Просторова система збіжних сил

Вантаж Q вагою 1 кг підвішений в точці D, як показано на малюнку. Кріплення в точках А,В,С, D шарнірні. Визначити реакції опор А,В і С.

z D

_

S₃ _

Q

_

S₁

_

A 45^o S₂

C 15^o 30^o x

O 45^o

B

Дано. Q=1 кг у

<DAO=<DBO=45^o

<DOХ=30^o, <DCO=15^o

Визначити S₁,S₂,S₃

Рішення. _

На вузол D, діють сила Q, та реакції невагомих шарнірно з’єднаних стержнів AD, ВD та

СD. Обозначимо реакції стержнів відповідно отримаємо систему чотирьох сил, діючих на вузол А. Реакції направимо поздовж стержнів від вузла, рахуючи, що всі стержні працюють на розтяг.

Сили
Проекції	Q	S1	S2	S3
Ркх		-S1cos45o	S2cos45o
Рку		-S1 sin45ocos30о	-S2 sin45ocos30о	-S3cos15o
Ркz	- Q	-S1 sin45osіn30о	-S2 sin45osіn30о	-S3sin15o

Запишемо проекції сил на координатні осі в вигляді таблиці.

Запишемо рівняння збіжної просторової системи сил.

ΣP_kx= -S₁cos45^o + S₂cos45^o =0 (1)

ΣP_ky= -S₁ sin45^ocos30^о - S₂ sin45^ocos30^о - S₃cos15^o=0 (2)

ΣP_kz= -S₁ sin45^osіn30^о - S₂ sin45^osin30^о- S₃sin15^o - Q=0 (3)

З рівняння (1) S₁=S₂ підставимо в рівняння (2) та (3). Отримаємо

(S₁+S₂) sin45^ocos30^о+S₃sin15^o= 0

S₃=(-2S₁sin45^ocos30/ cos15^o)

(S₁+S₂) sin45^osin30^o+S₃sin15^o= -Q

2S₁sin45^ocos30-2S₁(sin45^ocos30/ cos15^o) sin15^o= -Q

S₁= - 2,64 кН

S₁= S₂= - 2,64 кН – стержні працюють на стиск

S₃=3,35 кН – стержень працює на розтяг.

Відповідь: S₁= S₂= - 2,64 кН, S₃=3,35 кН

Задачі для самостійного рішення

Визначити зусилля в невагомих стержнях АВ,АС і АВ, які виникають під дією сили Р

1A z P||Oz 2 z P||Oz

P D

60^o C B y

60^o 30^o y 60^o O 30^o C

60^o O D

30^o

B x

P

3 4

z z Плоскость АВС

AC||Dx; AD||Dy горизонтальна

C

B 45⁰

45^o B

45^o 45^o A

A P

_ C

x Q 45⁰

60^o

D D

x

y

y

5 6

z

z

A _

P C 60^o A

P||Oy

C 30^o P y

45^o 60^o

45^o D

60^o D B 60^o

B

x y x

7 8

z _ z _

AC||OB P P||Oy

D AB||OC A

60^o

C

O C y 60^o

60^o O 30^o

B D y

60^o A B

x

P x

9 10

z

z

D

B 30^o

A C

y x 60^o

O _ B

D P

30^o A

C _

x P AC||Bx; AD||By

y

Рішення:

Момент сили відносно центра

Пара сил

Моментом сили Р відносно точки О називається вектор чисельно рівний добутку модуля сили на плече, розташований перпендикулярно площині, проведений через лінію дії сили та точку, прикладений в цій точці і направлений так, щоб дивлячи на зустріч вектору, бачити силу Р, котра намагається обертати цю площину в сторону, протилежну обертанню годинникової стрілки.

А Mo Плече – найкоротша відстань

_ від точки до лінії дії сили Мо

_ r

Р Мо=Рd

d

В

О

_

Вектор-момент сили Мо відносно точки О можна розглядати як векторний добуток радіус вектора r, проведений з цієї точки в точку прикладення сили, на вектор сили Р

_ _ _

Мо= r ∙ Р

Система двох рівних по модулю, паралельних і протилежно направлених сил Р, Р’, називається парою сил.

Момент пари сил визначається добутком модуля однієї з сил пари на її плече.

Вектор момент М пари (Р,Р’), направлений перпендикулярно до площини дії пари в ту сторону, щоб, дивлячись назустріч цьому вектору, бачити що пара намагається обертати площину її дії в сторону, протилежну обертанню годинникової стрілки.

_

A d P’

_

P B

_

M

_

P’

_

P

Якщо пари лежать в одній площині, то замість вектора-моменту можна вказати напрямок обертання в цій площинні. Алгебраїчна величина моменту пари

М=±Рd

_ _

d P’ P d

_ _

P P’

М=+Рd М=–Рd

Момент пари сил рахують додатнім, якщо пара сил намагається обертати площину в сторону, протилежну обертанню годинникової стрілки, і від’ємним, якщо в сторону обертання годинникової стрілки.