III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить

Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник.

Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить, то начнутся колебания, которые будут затухать под действием силы трения маятника о плоскость, сопротивления среды и трения в подвесе маятника. Основной причиной в данном случае будет сила трения о плоскость; две другие силы трения несущественны и ими можно пренебречь. Силы, действующие на маятник в отклоненном положении, изображены на рис. 25. Их четыре: сила тяжести mg , сила N нормальной реакции плоскости, сила F_TР трения о плоскость и сила Т натяжения подвеса. Сила трения связана с силой реакции плоскости законом Амонтона – Кулона:

, (1)

где f –коэффициент трения.

Разложим силу тяжести на компоненты mg_||, параллельную плоскости, и mg_^, перпендикулярную плоскости. Сила N нормальной реакции уравновешивает компоненту mg_^:

,

где γ – угол отклонения плоскости от вертикали.

Тогда для силы трения имеем:

Обозначим начальный угол отклонения маятника вдоль плоскости α₀, максимальный угол в противоположную сторону (через половину периода) α_1/2, угол отклонения через период α₁. При медленном убывании амплитуды потери энергии за каждый период приблизительно одинаковы и . За период точка касания маятником плоскости проходит путь:

.

При этом сила трения совершает работу:

. (2)

На величину этой работы уменьшается полная механическая энергия маятника. В крайних положениях эта энергия представлена только потенциальной компонентой mgh, поэтому:

, (3)

где h₀ и h₁ – высоты подъема маятника в крайних положениях, соответствующие углам α₀ и α₁ соответственно.

Рисунок 26 – Связь высоты подъема и угла отклонения маятника.

Связь высоты подъема маятника с углом отклонения определим из рис. 26. В отклоненном положении центр тяжести маятника поднят вдоль плоскости на отрезок BD = AC = ℓ(1 – cosα) . Из треугольника BDE получаем:

Последнее приближенное равенство справедливо при малых углах, в этом случае . Подставляя выражение для каждой из высот в уравнение (3) и учитывая формулу (2), получим:

.

Сократив с обеих сторон равенства одинаковые множители и произведя преобразования, получим следующее выражение:

. (4)

Рассмотрим n последовательных колебаний наклонного маятника. Формула аналогичная (4) будет справедлива для каждого из n периодов:

. (5)

Здесь α₁, α₂ … α_n – угловые амплитуды отклонения после второго, третьего... n-го периода колебаний. При сложении всех выражений (5) в правой части все промежуточные углы α₂, α₃ … α_n–1 сократятся. После деления на число периодов п получим окончательную формулу для определения коэффициента трения:

. (6)

Для маятника в виде шарика, катящегося без проскальзывания по наклонной платформе, основной диссипативной силой является сила трения качения F_тр.к. Тормозящий момент силы трения качения пропорционален силе нормальной реакции:

, (7)

где f₁ - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины, R – радиус кривизны катящегося тела. Рассуждения, приведенные выше для трения скольжения, можно повторить для трения качения, используя вместо формулы (1) соотношение (7). При этом для коэффициента трения качения получим:

. (8)

IV. Порядок выполнения работы.