Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси 0х плоская продольная волна S = Acos(ω t − kx +ϕ ). Выделим в среде

элементарный объем V , настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать оди-наковыми и равными. Выделенный объем обладает кинетической

энергией К = ¹₂ mυ² . Если масса m = ρΔV , а υ= ^∂_∂^S_t , то

К =

ρ ∂S

2

V .

(6.5.1)

∂t

Потенциальная энергия упругой деформации рассматриваемого

объема

П = 1 k ( l ) 2 =

ESl0

l 2

=

E

V

ε2 ,

(6.5.2)

l0

где

k =

ES

; l0 − первоначальная

длина

рассматриваемого

объема;

l

ε =

l − относительная деформация объема;

V = Sl −первоначаль-

l0

ный объем. Используя формулу (6.4.8) и, учитывая, что ε = ∂S ∂x , по-лучим

П =	ρυ 2		∂S 2	(6.5.3)
			V .
		∂x

Тогда полная энергия упругой волны

W = K + П =	ρ	∂S 2			∂S 2
			+υ			V .
		∂t			∂x

Определим плотность энергии, разделив (6.5.4) на объем

w =	W	=	ρ	∂S 2	+υ			∂S 2
							.
V
			∂t				∂x

(6.5.4)

V

(6.5.5)

Продифференцируем уравнение плоской продольной волны (6.2.8) по времени t и по координате х и подставим выражения в фор-

мулу (6.5.5) учтя, что k ² υ ² = ω²

w =^ρ₂ A ²ω²sin²(ω t − kx +ϕ)+ υ² k ² A ²sin²(ω t − kx +ϕ)=_{. (6.5.6)}=ρA ² ω² sin² ( ω t − kx +ϕ)

Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке сре-ды равно

w =		ρA	ω .	(6.5.7)

Таким образом, плотность энергии и среднее значение плотно-сти энергии пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны А.

Количество энергии, переносимое волной через некоторую по-верхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток энергии Ф через данную поверхность равен энер-гии dW переносимой за время dt

Ф = dW .	(6.5.8)
dt

Ф измеряется в ваттах.

Для характеристики распространения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называема плотностью потока энергии. Плотность потока энергии численно равна потокуэнергии через единичную площадку S , помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. На-правление вектора плотности потока энергии совпадает с направлени-

ем переноса энергии.

Если через площадку S , перпендикулярную к направлению

распространения волны, переносится энергия	W за время t ,то
плотность потока энергии равна
j =	Ф =	W	.	(6.5.9)
S t
	S
Рассмотрим объем цилиндра с основанием	S и высотойυΔt

(υ − фазовая скорость волны). В случае малого объема цилиндра, плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать оди-наковой и поэтому энергию можно найти как произведение плотности

энергии ω на объем	V = S υΔt
		W = w V = w SV	t .	(6.5.10)
Подставив выражение (6.5.10) в последнее выражение, получим
		w S υΔt			r
j =					= wυ или	j =ωυ,	(6.5.11)
	S t
где rj − вектор плотности	потока энергии, называемый вектором
Умова.
Интенсивность волны равна
		I = j	=	w υ=2	ρA	ω υ.	(6.5.12)

Данное выражение справедливо для волны любого вида.

Определим поток энергии через поверхность S. Для этого разо-бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через пло-щадку dS пройдет энергия dW. Объем цилиндра, где вычисляется энергия, равен dV = υdtdS cos ϕ. Тогда в этом объеме содержится энергия

		dW = wdV = wυ dtdS cosϕ= jdS cosϕ = jdSdt ,	(6.5.13)
r	r	r
где dS	= ndS ; n − единичный вектор нормали к поверхности dS.
Поток энергии через элементарную поверхность dS
		dФ=	dW	=	jdSdt	r r	(6.5.14)
		dt	dt	= jdS .

Поток энергии через поверхность S равен

Ф = ∫ dФ = ∫ jdS .

(6.5.15)

S S