Задачи к контрольным заданиям

Статика

Задача С1

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке или соединены друг с другом шарнирно (рис. С1.0–С1.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С1.6–С1.9).

Рис. С1.0 Рис. С1.1

Рис. С1.2 Рис. С1.3

Рис. С1.4 Рис. С1.5

Рис. С1.6 Рис. С1.7

Рис. С1.8 Рис. С1.9

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке или шарнир, или жесткая заделка; в точке или гладкая плоскость (рис. С1.0 и С1.1), или невесомый стержень (рис. С1.2 и С1.3), или шарнир (рис. С1.4– С1.9); в точке или невесомый стержень (рис. С1.0, С1.3, С1.8), или шарнирная опора на катках (рис. С1.7).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом , равномерно распределенная нагрузка интенсивности и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С1; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условиях № 1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке , сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке , и нагрузка, распределенная на участке ).

Определить реакции связей в точках , , (для рис. С1.0, С1.3, С1.7, С1.8 еще и в точке ), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1а.

Таблица С1

Сила					Нагруженный участок
кН	кН	кН	кН
№ условия	Точка приложения	α, град	Точка приложения	α, град	Точка приложения	α, град	Точка приложения	α, град
	K		–	–	H		–	–	CL
	–	–	L		–	–	E		CK
	L		–	–	K		–	–	AE
	–	–	K		–	–	H		CL
	L		–	–	E		–	–	CK
	–	–	L		–	–	K		AE
	E		–	–	K		–	–	CL
	–	–	H		L		–	–	CK
	–	–	K		–	–	E		CL
	H		–	–	–	–	L		CK

Таблица С1а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	рис. С1.0, С1.3, С1.5, С1.7, С1.8	рис. С1.1, С1.2, С1.4, С1.6, С1.9

Указания. Задача С1 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

Пример С1.

На угольник ( ), конец которого жестко заделан, в точке опирается стержень (рис. С1,а). Стержень имеет в точке неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке нагрузка интенсивности и пара с моментом .

Дано: кН, , , м.

Определить: реакции в точках , , .

Решение:

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня (рис. С1,б). Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и составляющие и реакции шарнира . Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

Рис. С1

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С1,в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка (численно кН), пара сил с моментом и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими и , и пары с моментом . Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(4)

(5)

. (6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1)–(6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: кН, кН, кН, кН, кН, . Знаки минус указывают, что силы , и момент направлены противоположно показанным на рисунках.

Кинематика

Задача К1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка движется в плоскости (рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: , , где и выражены в сантиметрах, – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2

Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5

Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8

Рис. К1.9

Зависимость указана непосредственно на рисунках, а зависимость дана в табл. К1 (для рис. К1.0– К1.2 в столбце 2, для рис. К1.3– К1.6 в столбце 3, для рис. К1.7– К1.9 в столбце 4).

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону , заданному в табл. К1 в столбце 5 ( – в метрах, – в секундах), где — расстояние точки от некоторого начала , измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени с. Изобразить на рисунке векторы и , считая, что точка в этот момент находится в положении , а положительное направление отсчета – от к .

Таблица К1

Номер условия
Рис. 0–2	Рис. 3–6	Рис. 7–9
	12		4	4
	–6	8	6	2
	–3		4
	9		10	–2
	3	2	–4	4
	10		12	–3
	6	2	–3
	–2		–8	–2
	9		9	3
	–8	4	–6	–2

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические соотношения.

Пример К1а.

Даны уравнения движения точки в плоскости :

,

( , – в сантиметрах, – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

:

. (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

, ,

следовательно,

.

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1,а):

. (2)

Рис. К1,а

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

, ,

.

Для момента времени с: , , .

3. Аналогично найдем ускорение точки:

, ,

.

Для момента времени с: , , . (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

Получим

,

откуда

. (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и ,(4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с: .

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные при с числовые значения и , получим, что .

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и при с, найдем, что см.

Ответ: , , , , см.

Пример К1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону , ( – в метрах, – в секундах), где (рис. К1,б).

Определить скорость и ускорение точки в момент времени с.

Решение:

Определяем скорость точки:

.

При с получим .

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

,

,

.

Рис. К1,б

При с получим , , .

Изобразим на рис. К1,б векторы и , учитывая знаки и считая положительным направление от к .

Ответ: , .

Задача К2

Плоский механизм состоит из стержней 1–4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами. Точка находится в середине стержня . Длины стержней равны соответственно м, м, м, м. Положение механизма определяется углами . Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К2. Точка на всех рисунках и точка на рис. К2.7 – К2.9 в середине соответствующего стержня. Угловое ускорение стержня 1 с^-1.

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. К2.8 отложить от против хода часовой стрелки, а на рис. К2.9 – по ходу часовой стрелки и т.д.).

Рис. К2.0 Рис. К2.1

Рис. К2.2 Рис. К2.3

Рис. К2.4 Рис. К2.5

Рис. К2.6 Рис. К2.7

Рис. К2.8 Рис. К2.9

Определить ускорение точки звена 1 и величины, указанные в таблице в столбце «Найти».

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К2 (см. рис. К2б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданную скорость – от точки к (на рис. К2.5– К2.9).

Указания. Задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Таблица К2

№ условия	Углы, град	Дано	Найти
					ω1, 1/с	ω4, 1/с	vВ, м/с	ω звена	v точки
							–	–		B, E
						–		–		A ,D
						–	–			A, E
							–	–		D, E
						–		–		A, B
						–	–			A, E
							–	–		B, E
						–		–		A, D
						–	–			A, E
							–	–		B,E

Пример К2.

Механизм (рис. К2,а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами.

Рис. К2,а

Дано: , , , , , , м, м, м, с^-1, с^-2 (направления и – против хода часовой стрелки).

Определить: , , , .

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. К2,б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем . Точка принадлежит стержню . Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить . Численно:

м/с,

. (1)

Рис. К2,б

Направление найдем, учтя, что точка принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

, м/с. (2)

3. Определяем . Точка принадлежит стержню . Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки , принадлежащей одновременно стержню . Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня . Это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек и (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг МЦС . Вектор перпендикулярен отрезку , соединяющему точки и , и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:

. (3)

Чтобы вычислить и , заметим, что – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что . Тогда является равносторонним и . В результате равенство (3) дает

м/с, . (4)

Так как точка принадлежит одновременно стержню , вращающемуся вокруг , то . Тогда, восставляя из точек и перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС стержня . По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2,б видно, что , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что

, м/с. (5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и м, то

с^–1. (6)

5. Определяем (рис. К2,в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка принадлежит стержню 1. Полное ускорение точки разложим на тангенциальную и нормальную составляющие:

,

где численно

м/с²,

м/с². (7)

Рис. К2,в

Вектор направлен вдоль , а – перпендикулярно . Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К2в). Вычисляем

м/с².

Ответ: м/с, м/с, с^–1, м/с².

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Задача С1

1) Основные виды силовых воздействий и их свойства:

– сосредоточенная сила (проекции силы на оси; момент силы относительно точки как характеристика вращательного действия силы; величина и знак алгебраического момента;

– вращающий момент (пара сил), изображение пары на плоскости, момент пары;

– распределенные силы с постоянной интенсивностью (эпюра распределенных сил, приведение к равнодействующей).

2) Силы активные и реакции связей. Внешние закрепления конструкции (подвижный и неподвижный цилиндрические шарниры, скользящая заделка – втулка, жесткая заделка, невесомый стержень, нить, идеальная поверхность). Как направлены реакции этих связей? Сколько неизвестных составляющих реакции имеет каждая из перечисленных связей? В каком случае реакция связи содержит вращающий момент?

3) Виды представленных в конструкциях соединений тел между собой. Метод разбиения. Внутренние двусторонние и односторонние связи.

4) Каковы аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил?

5) Статическая определимость и неопределимость конструкции. Какие дополнительные условия представлены в задаче, которые делают конструкцию статически определимой? Как определяется статическая определимость в сочлененных конструкциях?

Задача К1

1) Координатный способ задания движения точки.

2) Определение скорости точки. Нахождение скорости при координатном способе задания движения.

3) Определение ускорения. Разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие.

4) Естественный способ изучения движения. Определение кинематических характеристик в естественных координатах.

Задача К2

1) Виды движений различных звеньев плоского механизма задачи К2.

2) Поступательное движение.

3) Вращательное движение вокруг неподвижной оси (центра ). Угловая скорость и угловое ускорение вращающихся звеньев. Как направлены и чему равны скорости точек вращающегося тела?

4) Плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей и его свойства. Как найдены МЦС звеньев механизма задачи?

5) Как формулируется теорема о проекциях скоростей двух точек тела? Как она используется для нахождения скоростей различных точек механизма?

Библиографический список

1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. 607 с.

2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: в 2х т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – СПб.: Лань, 2002. 736 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М: Высш. шк., 2008. 416 с.

4. Цывильский В.Л. Теоретическая механика / В.Л. Цывильский. – М: Высш. шк., 2008. 368 с.

5. Переславцева Н.С. Теоретическая механика: учеб. пособие / Н.С. Переславцева, Н.П. Бестужева. – Воронеж: ВГТУ, 2009. – 157 с.

6. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике / И.В. Мещерский. – СПб.: Лань, 2001. 448 с.

7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / под ред. А.А. Яблонского. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. 384 с.

содержание

Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Кинематика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Кинематика твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Содержание контрольных заданий, выбор вариантов,

порядок выполнения работ, общие

пояснения к тексту задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Принятые обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Задачи к контрольным заданиям . . . . . . . . . . . . . . 10

Статика. Задача С1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Кинематика. Задача К1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Задача К2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Программа, методические указания

и контрольное задание № 1

(статика, кинематика)

по дисциплине

«Теоретическая механика»

для бакалавров всех направлений

заочной и заочной ускоренной форм обучения

Составители:

Переславцева Наталья Сергеевна

Бестужева Наталья Петровна

В авторской редакции

Компьютерный набор Н.С. Переславцевой

Подписано к изданию 30.10.2012.

Уч.-изд. л. 1,9.

ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14