Математичний опис САК у змінних стану

Метод змінних стану заснований на понятті стану.

Стан системи в момент часу t₀ - це такий мінімальний набір відомо­стей про неї, якого разом з вхідною функцією u(t), заданою для інтервалу часу t₀ ≤ t ≤ t_k, достатньо для однозначного визначення вихідної функції y(t) для t₀ ≤ t ≤ t_k при кожному t_k ≥ t₀.

Стан системи можна охарактеризувати сукупністю деяких змінних
x₁(t), x₂ (t), …x_n(t), знання початкових значень яких x₁(0), x₂(0),…, x_n(0) і вхідного впливу u(t) дозволяє однозначно визначити майбутню поведінку динамічної системи. Ці змінні далі називатимемо змінними стану.

Способи задання змінних стану можуть бути різні. Звичайно використовують або ті, які дають перевагу в дослідженні математичної моделі системи, або ті, які мають ясний фізичний зміст.

У випадку наявності багатовимірної системи, що має m входів і r виходів, її стан у момент часу t, що характеризується змінними стану x₁(t), x₂(t),…, x_n(t) рис. 2.11, є функцією початкового стану x₁(0), x₂(0),…, x_n(0) і вхідних впливів u ₁(t), u₂(t),…, u_m(t), тобто

де ψ _i - однозначні функції своїх аргументів, i = 1,2,…,n .

Рис. 2.11 – Модель багатовимірної системи в змінних стану

Введемо в розгляд поняття вектора стану x(t) :

де T означає транспонування матриці.

Розмірність вектора стану збігається з порядком диференціального рівняння, яке описує динамічні властивості системи.

Сукупність всіх значень, які може прийняти вектор x(t) у момент часу t _, називається простором стану (фазовим простором), який можна розглядати як деякий абстрактний n -мірний векторний простір. Точка, що визначає положення кінця вектора стану x(t) в просторі станів, називається точкою зображення.

Рух кінця вектора стану x(t) в просторі станів називається траєкторією вектора стану (фазовою траєкторією).

Стан системи, описуваної диференціальним рівнянням першого порядку, характеризується вектором стану з однією змінною стану. Фазовий простір у цьому випадку називається одномірним і являє собою лінію на площині, а фазова траєкторія - відрізок цієї лінії рис. 2.12,а, яку описує кінець вектора стану від значення, рівного x(t₀ ) в початковий момент
часу t = t₀ до значення, рівного x(t_k) в кінцевий момент часу t = t_k

Рис. 2.12 – Фазовий простір і фазові траєкторії системи, описуваної диференціальним рівнянням:

а) - першого порядку;

б) - другого порядку;

в) - третього порядку

Стан системи другого порядку характеризується вектором стану з двома змінними x₁(t) і x₂(t) . Фазовий простір у цьому разі називається двовимірним і являє собою площину з прямокутними координатами x₁, x₂, а фазова траєкторія - криву на площині, що описує кінець вектора
стану x (t) при зміні часу від t = t₀ до t = t_k рис. 2.12, б.

На рис. 2.5,в показані фазова траєкторія у тривимірному фазовому про-сторі із системою координат x₁ x₂, x₃ і положення вектора стану x(t₀) для моменту часу t = t₀ . Тривимірний фазовий простір використовують для характеристики рухів системи третього порядку. Для системи n -го порядку змінні стани x₁(t), x₂(t),K, x_n(t) розглядаються як координати вектора стану x(t) в n - мірному фазовому просторі.

За аналогією з простором станів для багатовимірної системи керування вводять простір керувань (входів) і простір виходів. При цьому керуючі впливи u₁(t), u₂(t),…, u_m(t) й керовані координати розглядають як координати вектора керування в m - мірному просторі і координати вектора виходу в r - мірному просторі відповідно.

Слід зазначити принципове розходження, вкладене в зміст понять
векторів керування u(t) , виходу y(t) й вектору стану x(t). Всі складові
u₁(t), u₂(t),K, u_m(t) і y₁(t), y₂(t),K, y_r(t) векторів u(t) і y(t) є конкретними фізичними величинами. Вектор же стану системи x(t) є абстрактною характеристикою системи.

Якщо на систему діють збурення, що характеризуються вектором збурень f(t) = [f₁(t), f₂(t),K, f_l(t)], то в цьому випадку вводиться l - мірний простір збурень.

Щоб зв'язати послідовні стани системи в часі, використовують диференціальні рівняння

Праві частини цих рівнянь залежать від шуканих функцій x_i(t) і
не залежать від їхніх похідних. Система рівнянь першого порядку вигляду (2.37) називається системою n диференціальних рівнянь, записаною в нормальній формі Коші.

У загальному випадку число виходів (див. рис. 2.12) y₁(t), y₂ (t),…, y_r(t)
не залежить від числа n змінних стану - як правило, число змінних стану більше числа фізичних вхідних змінних і більше числа керованих змінних. Знання змінних стану дозволяє знайти кожний вихідний сигнал y_i(t) як деяко функцій g₁, g₂,…, g_r від змінних стану і входів:

При цьому праві частини рівнянь (2.37) і (2.38) (функції )
­ є однозначними функціями

Системи рівнянь (2.37) і (2.38) визначають стан динамічної системи в будь-який момент часу t і називаються рівняннями стану.

У загальному випадку як диференціальні рівняння (2.37) так і алгебраїчні рівняння (2.38) є нелінійними. Надалі будемо вважати, що ці рівняння лінеаризовані і, крім того, вони описують динамічні процеси в детермінованих стаціонарних системах. Нагадаємо, що в детермінованій системі кожному заданому вектору входу u(t) відповідає єдиний вектор виходу y(t) , а в стаціонарній системі її змінні стани x_i(t) , а також вихідні змінні y_i(t) не залежать від моменту t₀ і вхідних впливів u_k(t).

При прийнятих допущеннях рівняння (2.37) і (2.38) можуть бути перетворені до наступного вигляду:

; (2.39)

(2.40)

де

(2.41) (2.42)

Рівняння (2.39) і (2.40) можна подати у вигляді структурної схеми, наведеної на рис. 2.13.

Оскільки елементи матриць A , B , C і D - постійні числа, то і самі ці матриці також постійні. Квадратна матриця A розмірності n ´ n називається матрицею стану - структура цієї матриці визначає характер як вільних, так і змушених рухів системи.

Рис. 2.13 – Структурна схема багатовимірної лінійної системи

Матриця B розмірності n´ m називається матрицею керуючих впливів. Її структура визначає характер зв'язку задаючих впливів на вході системи з різними змінними стану. Матриця C розмірності r´n називається матрицею вихідних координат - її структура визначає характер зв'язку вихідних координат системи з окремими змінними стану. Матриця D розмірності r´m характеризує прямий (не динамічний) зв'язок вихідних координат з керуючими впливами; її структура визначає, як задаючі впливи на вході безпосередньо впливають на різні складові виходу. Для багатьох фізичних систем матриця D є нульовою.

При векторно-матричному запису диференціальних рівнянь основними ланками структурної схеми, як видно з рис. 2.6, є багатовимірні суматори,

інтегратори і матричні блоки A, B, C, D. Оскільки обумовлені елементами схеми операції лінійні, а коефіцієнти матричних блоків постійні, то схема лінеаризованої моделі на рис. 2.6 відповідає лінійній стаціонарній системі. Ця ж структурна схема при заміні матричних блоків з постійними матрицями на матричні блоки зі змінними матрицями A(t), B(t), C(t) і D(t) відповідатиме лінійній нестаціонарній системі.