Описание установки и метода измерений. Цель работы: определить радиус кривизны поверхности зеркала

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ КАТАЮЩЕГОСЯ ШАРИКА

Цель работы: определить радиус кривизны поверхности зеркала.

Приборы и принадлежности: вогнутое зеркало, шарики, секундомер, микрометр.

Описание установки и метода измерений

На рис. 6.1 показано сечение сферического зеркала MLN плоскостью чертежа. L – наинизшая точка зеркала. Если шарик поместить в произволь-ную точку С, а затем отпустить, он будет совершать колебательное движение.

Рис. 6.1

Для нахождения радиуса кривизны зеркала R используют закон сохранения механической энергии. В точке С механическая энергия шарика равна его потенциальной энергии , так как шарик неподвижен, а в точке L механическая энергия шарика равна его кинетической энергии, которая слагается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения .

Если пренебречь трением между шариком и поверхностью зеркала, то закон сохранения механической энергии для шарика будет иметь вид

, (6.1)

где – масса шарика, h – высота точки С по отношению к точке L, – скорость поступательного движения шарика в точке L , ω – угловая скорость вращательного движения шарика в той же точке, I – момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его диаметр.

Учитывая, что момент инерции шарика , и, согласно (Т.5), (где r – радиус шарика), уравнение (6.1) можно преобразовать

. (6.2)

Высоту h, на которую поднимается центр масс шарика при его отклонении от положения равновесия, можно выразить через радиус кривизны поверхности, по которой движется центр масс шарика . Рассмотрим треугольник COD, в котором ОС = R¢, ОD = R¢ – h, DC = A (отрезок DC можно считать равным амплитуде колебаний шарика А, так как при сравни-тельно малых отклонениях от положения равновесия хорда и стягиваемая ею дуга практически совпадают). Поскольку треугольник СОD прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора

.

Если в последнем выражении раскрыть скобки и пренебречь величиной второго порядка малости (каковой является ), то получим, что

. (6.3)

Для нахождения скорости шарика необходимо знать уравнение его движения. Шарик совершает затухающие колебания, но при расчете радиуса кривизны не будет большой ошибкой считать, что он совершает незатухающие колебания, так как при малых коэффициентах затухания периоды затухающих и незатухающих колебаний различаются незначи-тельно. Итак, будем считать, что шарик совершает гармоническое колеба-тельное движение, описываемое уравнением

, (6.4)

где x – смещение шарика от положения равновесия в момент времени t, A – амплитуда колебаний, ω – циклическая (или круговая) частота колебаний, связанная с периодом колебаний T соотношением:

. (6.5)

Взяв первую производную от смещения (6.4) по времени, получим скорость шарика как функцию времени

. (6.6)

Из (6.6) следует, что максимальное значение скорость имеет при sinwt = 1, то есть в точке L скорость шарика равна

. (6.7)

Подставив (6.3) и (6.7) в (6.2), получим формулу для расчёта радиуса кривизны поверхности, по которой движется центр масс шарика

. (6.8)

Как видно из (6.8), для расчета R¢ необходимо знать только период колебаний шарика, который легко найти, измерив время t, за которое шарик совершает n колебаний: .

Из рис. 6.1 видно, что радиус кривизны поверхности зеркала R равен:

. (6.9)

Порядок выполнения работы

1. С помощью секундомера определить время 5–10 полных колебаний шарика, и найти период его колебаний. Проделать не менее 3 раз.

2. Найти среднее значение периода и по (6.8) вычислить значение R¢.

3. Измерить диаметр шарика d и найти его радиус. Найти радиус кривизны поверхности зеркала R.

4. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

№	n	t	T	<T>	R′	d	r	<r>	R

5. Вычислить погрешность измерения R и R′ и записать результат с учётом погрешности.

Контрольные вопросы

1. В каких движениях участвует шарик? Запишите формулы полной

механической энергии шарика в положениях С и L и закон сохранения

механической энергии для него.

2. Выведите связь высоты подъема шарика h с амплитудой его колебаний А и радиусом R¢.

3. Запишите уравнение движения центра масс шарика. Найдите скорость

его движения. Чему равна максимальная скорость шарика?

4. Выведите формулу (6.8) для расчета радиуса кривизны R¢ поверхности, по которой движется центр масс шарика.

5. Нарисуйте силы, действующие на шарик в какой-либо точке его

траектории, и запишите II закон Ньютона для этого положения.

6. Что такое момент инерции твёрдого тела? Его физический смысл? Чему равен момент инерции шара?

Литература

1. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. – М.: Наука, 1989.– С. 94–116.

2. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2001. С. 34–46.