Та основні теорії міцності

При першому знайомстві з механічними напруженнями відмічалося, що напруження в точці залежать від орієнтації перерізу. Сукупність напружень, що діють по різних площадках, проведених через точку, характеризують напружений стан у точці.

Оберемо довільну ортогональну систему координат і запишемо напру­ження, які діють у досліджуваній точці деталі на малих координат­них площадках (рисунок 8.1 а), у вигляді

(8.1)

Математичний об’єкт (8.1) називають тензором напружень .

Рисунок 8.1

У тій самій точці деталі уявно виріжемо тетраедр (рисунок 8.1 б), три грані якого – координатні площадки, а одна грань – довільно орієнтована площа­дка з нормаллю . Якщо заданий тензор , тобто задані напруження на ко­ординатних площадках, то з трьох рівнянь рівноваги ( , , ) сил, що діють на грані тетраедра, можна визначити три невідомі скла­дові повного напруження на довільній площадці. Оскі­льки таким чином можна визначити напруження на будь-якій площадці, то можна стверджувати:

Тензор напружень цілком визначає напружений стан у точці.

Тензор напружень симетричний відносно головної діагоналі:

; ; . (8.2)

Це можна довести з рівнянь рівноваги ( , , ) щодо моментів сил, які діють на грані малого кубика (рис. 8.1 а). Рівняння (8.2) відомі як закон парності дотичних напружень:

На будь-яких ортогональних площадках дотичні напруження,

перпендикулярні спільному ребру цих площадок, рівні за величиною

та спрямовані обидва до ребра або обидва від ребра.

Тензор напружень може бути приведений до діагонального виду

( ) (8.3)

Це означає, що у будь-якій точці деталі завжди знайдуться три ортогональні головні площадки, на яких немає дотичних напружень. Ці площадки розташовуються у площинах симетрії еліпсоїда, в який перетворюється кулька після деформування (рисунок 8.2).

Нормальні напруження на головних площадках називаються головними напруженнями.

Їм дають числові індекси відповідно з правилом

Головні напруження являються коренями характеристичного або, за іншою назвою, „вікового” рівняння тензора напружень:

. (8.4)

Головні напруження мають екстремальні властивості, тобто – найбільше, а – найменше за інші напруження на будь-яких площадках в даній точці деталі.

„Вікове” рівняння (8.4) завжди має три дійсні корені – головні напруження. Відповідно до кількості ненульових коренів класифікують види напруженого стану (НС):

· Одновісний (лінійний) НС – лише одне головне напруження ненульове.

· Двовісний (плоский) НС – два з трьох головних напружень ненульові.

· Трьохвісний (об’ємний) НС – всі три головні напруження ненульові.

Особливо можна виділити окремий випадок двохвісного НС –
чистий зсув:

Можна довести, що на площадках, однаково нахилених до головних площадок та (тобто під кутом ), діють максимальні дотичні напруження, величина яких

(8.5)

Ці дотичні напруження більші за всі , які діють на будь-яких інших площадках у даній точці деталі. Як ми узнаємо далі, на цьому важливому факті будується один з підходів щодо оцінки небезпечності напруженого стану в точці.

У загальному випадку всякому напруженому стану в точці деталі відповідає певний деформований стан, який представляє сукупність лінійних деформацій по різних напрямках та кутових деформацій на всіляко орієнтованих площадках. Аналогічно тензору напружень тензор деформацій
(8.6)

цілком визначає деформований стан у точці. Тензор деформацій має властивості, аналогічні властивостям тензора напружень . Головні деформації – це деформації у напрямках головних напружень .

Зв’язок між компонентами і встановлюють експериментально та формулюють у виді фізичного закону. Для пружного матеріалу при малих деформаціях напруження і деформації зв’язані лінійними залежностями, які називають узагальненим законом Гука (всього шість рівнянь (8.7), (8.8)):

; ;

; (8.7) ; (8.8)

; ,

де , , – пружні константи.

Наведені вище математичні залежності використовуються в уточнених розрахунках на міцність деталей при складному опорі. Разом з тим в інженерній практиці досить широке розповсюдження отримали розрахунки на міцність з використанням відповідних теорій міцності.

В багатьох елементах конструкцій, які мають складну геометричну форму або піддаються складному навантаженню, аналіз виявляє складний (2- або 3-вісний) напружений стан (НС) у певних точках цих конструкцій. У таких випадках виникають дві пов’язані проблеми:

По-перше, за якою мірою (критерієм) порівнювати напружені стани? Наприклад, який НС, серед наведених на рисунку 8.3, найбільш небезпечний?

Рисунок 8.3

По-друге, як при зростанні навантаження прогнозувати граничний напружений стан, наприклад, початок пластичного деформування або початок крихкого руйнування? Це проблема оцінки коефіцієнта запасу при складному НС.

Легко звести ці дві проблеми до однієї за допомогою поняття про
еквівалентне напруження:

– це таке напруження простого розтягу, яке за обраним

критерієм є рівнонебезпечним даному складному напруженому стану.

Маючи правило підрахунку , з двох складних НС будемо вважати більш небезпечним той, для якого більша величина , а граничним будемо вважати такий НС, для якого або . Умова міцності запишеться у виді .

Розглянемо лише кілька найбільш розповсюджених у практиці інженерних розрахунків критеріїв, за допомогою яких вирішуються поставлені проблеми.

Критерій максимальних дотичних напружень (Треска – Сен-Венана)

(ІІІ-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Згідно з цим критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли максимальні дотичні напруження (8.5) сягають характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Якщо застосувати формулу (8.5) для заданого складного НС та еквівалентного йому за величиною простого розтягу, то отримаємо таку формулу для еквівалентного напруження:

(8.9)

Застосуємо цей критерій для НС на рисунку 8.3 а. Такий тип двохвісного НС часто зустрічається в задачах на сумісну дію згину та кручення. Головні напруження знаходяться з «вікового» рівняння (8.4). Після їх підстановки у (8.9) отримаємо

(8.10)

У прикладі на рисунку 8.3 підрахунки дають ; , тобто перший НС більш небезпечний.

Критерій питомої потенційної енергії формозміни (Губера – Мізеса)

(ІV-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Пояснимо деякі слова у назві критерію. „Питома” енергія означає, що енергія розраховується на одиницю об’єму. Потенційна енергія, накопичена у деформованій деталі, умовно розбивається на дві частини: одна пов’язана зі зміною об’єму, інша – тільки зі зміною форми. Енергія зміни об’єму виключається з розгляду, а за критерій береться лише питома потенційна енергія формозміни .

Згідно з IV критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли питома потенційна енергія формозміни сягає характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Еквівалентне напруження за цим критерієм визначається формулою

. (8.11)

Застосуємо цей критерій для НС на рисунку 8.3 а. Знайшовши головні напруження з „вікового” рівняння (8.4), отримаємо після їх підстановки у (8.11) та значних спрощень

. (8.12)

У прикладі на рисунку 8.3 підрахунки дають

; ,

тобто і за цим критерієм перший НС більш небезпечний.

Відмітимо, що ІІІ і ІV критерії дають близькі результати, різниця не перевищує . Обидва критерії непогано підтверджуються випробуваннями для матеріалів, які однаково опираються розтягу і стиску. Появу у матеріалі малих пластичних деформацій ІV критерій визначає більш точно ніж ІІІ.

Для крихких матеріалів, для яких границя міцності на розтяг зазвичай набагато менша, ніж на стиск , ІІІ і ІV критерії непридатні.

Критерій Мора (феноменологічний підхід)

В інженерній практиці широкого розповсюдження набув критерій Мора, який будується на експериментальних даних без будь якої фізичної гіпотези. Слово „феноменологічний” саме і означає, що не наводиться фізичного тлумачення запропонованої формули, аби вона підтверджувалася випробуваннями. Згідно з цим критерієм умова міцності має вид

, (8.13)

де і – відповідно граничне і допустиме напруження на розтяг;

– граничне напруження на стиск.

Розрахунок на стійкість

При осьовому стисканні короткого стержня міцність його характеризується значенням максимальних напружень стискання. Стискання стержня, що має значну довжину, може супроводжуватися викривленням продольної осі, в результаті чого виникають додаткові напруження від згинання. Тому розрахунок таких стержнів виконується з умов міцності та стійкості.

Розглянемо шарнірно-опертий стержень, що стискається силою (рисунок 9.1). Поки сила незначна ось стержня зберігає початкову прямолінійну форму. Якщо цей стержень відхилити вбік на незначну величину, а потім силу, що визиває відхилення прибрати, стержень знову повернеться до свого початкового прямолінійного положення. Такий стан рівноваги прийнято називати стійким.

Але при збільшені сили наступить момент коли стержень не випрямиться. Найменше навантаження при котрому початкова форма рівноваги перестає бути стійкою, називається критичним.

В історії техніки було чимало випадків руйнування важливих інженерних споруд в наслідок втрати стійкості (в основному залізничних мостів).

Задачу визначення критичної сили уперше розв’язав відомий вчений академік Леонард Ейлер шляхом вирішення диференційного рівняння викривленої продольної осі

; (9.1) , (9.2)

де – найменший з осьових моментів інерції перерізу, оскільки викривлення стержня відбувається у площині найменшої жорсткості,

– довжина стержня.

Значення критичної сили залежить від способу закріплення його кінців. Пояснимо це на прикладі стержня з одним жорстко закріпленим, а другим вільним кінцями, навантаженим силою (рисунок 9.2).

Порівняючи схеми деформацій стержнів на рисунках 9.1, 9.2 можливо спостерігати, що викривлена ось стержня затисненого одним кінцем находиться в тих же умовах, що і стержня з шарнірно-опертими кінцями, але при подвійній довжині. Тому в загальному випадку для визначення критичної сили замість вводиться зведена довжина

, (9.3)

де – коефіцієнт зведеної довжини, що залежить від способів кріплення кінців стержня: для шарнірного закріплення ; один кінець закріплений, другий вільний ; обидва кінця закріплені ; один кінець закріплений, другий закріплений шарнірно .

Якщо поділити значення критичної сили на площину отримаємо критичне напруження

, (9.4)

де – мінімальний радіус інерції;

– гнучкість стержня.

Формула Ейлера справедлива для того випадку, коли критичні напруження не перевищують границі пропорційності .

Цій умові відповідає критичне значення гнучкості

; (9.5)

для ст. 3

У тих випадках коли користування формулою Ейлера неможливе і користуються емпіричною формулою Ясинського

, (9.6)

де і – коефіцієнти, що залежать від матеріалу. Для ст. 3 при гнучкостях , , .

При гнучкостях стержні настільки короткі, що практично руйнуються внаслідок втрати міцності. Тому для таких стержні за критичне напруження приймають границю текучості .

Надійність роботи зтисненого стержня забезпечена, якщо будуть забезпечені умови міцності , та стійкості . Відношення – коефіцієнт зменшення допустимого напруження на міцність при розрахунку на стійкість. Він залежить від матеріалу та гнучкості стержня і його значення наведені у таблицях. Таким чином формула для розрахунку на стійкість має вигляд

, (9.7)

звідки

. (9.8)

Розрахунки по цій формулі проводяться методом послідовних наближень.