Править] Движение под действием центральной силы

В общем случае любую траекторию тела можно представить в виде пространственной кривой, состоящей из сопряжённых поворотов в различных плоскостях вокруг мгновенных центров поворота C с различными значениями радиуса поворота r_c на том же Рис 1. Ниже предполагается, что всё рассмотрение вопроса ведётся с точки зрения наблюдателя, имеющего основание считать, что он находится в инерциальной системе отсчёта (ИСО)

Считается, что в центре силы находится источник силы которым может быть тяготеющая масса, либо электрический заряд в случае, если рассматриваемая сила есть характеристика соответствующего силового поля. Центр силы в общем случае не совпадает с мгновенным центром поворота — точка C на Рис. Это совпадение имеет место лишь при повороте тела по дуге окружности. ^[1]

Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами α и K сила может быть разложена на две составляющие: (2)

При этом есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.

есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой.^[9]

Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса)следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы :

Однако в поле центральной силы её момент всегда равен нулю (Формула (1)).Из этого непосредственно следует, что при любом движении тела в поле центральной силы момент количества движения движущегося под её действием тела остаётся постоянным:

. Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория, движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.

Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где гравитационное воздействия преоблаают и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться, как консервативная система , т.е. такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии.^[1]

E = W_k + W_p (25),где:

причём v_r и v_t соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1

Рис.2 К вопросу о зависимости параметров орбиты от полной энергии планеты

Воспользовавшись определением кинетического момента:L = mrv_t получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:

.

А для движения по нормали к траектории:

Тогда выражение для полной энергии тела будет иметь вид:

Введя в рассмотрение эффективный потенциал U ^* :

Получаем возможость связать диапазон изменения длины радиуса -вектора траектории тела с запасённой им энергией, что представлено на рис.2 ^[10]

Так при минимальной энергии движущегося тела E₃ тело движется по круговой орбите с радиусом r₀

Если энергия движения тела больше, скажем E₂,траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью r_a и большой r_b.

Наконец, при энергии E₁ тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние r_s

В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания

Два фундаментальных вида взаимодействия - слабое и сильное - проявляются в мире элементарных частиц и в атомных ядрах. Они действуют на малых расстояниях (слабое - порядка 10^{-18 м, сильное - 10-15 м) и в случае ньютоновой механики от них можно отвлечься. Два других фундаментальных вида взаимодействия, лежащие в основе всех механических явлений, - гравитационное и электромагнитное. Приведем законы этих сил в самом простом виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью.}

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения пропорциональна произведению масс точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки, от одного тела к другому:

,

(3.8)

где G-гравитационная постоянная.

Фигурирующие в этом законе массы называют гравитационными в отличие от инертной массы, входящей во второй закон Ньютона. По-другому эти массы можно назвать гравитационными зарядами, по аналогии с электрическими. Из опыта, однако, установлено, что гравитационная и инертная массы любого тела равны друг другу с относительной точностью до - экспериментально определенное современное значение. Поэтому можно считать их равными (т. е. выбрать один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить просто о массе, которая выступает как мера инертности тела или как мера гравитационного действия.

Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами и ,

(3.9)

где: r- расстояние между зарядами, k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

Заметим, что закон Кулона (3.3.2) перестает выполняться точно, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие движущихся зарядов оказывается сложным образом зависящим от их движения. Одну из частей этого взаимодействия, обусловленную движением, называют магнитной силой (отсюда и другое название данного взаимодействия -электромагнитное). При малых (нерелятивистских) скоростях магнитная сила составляет пренебрежимо малую часть электрического взаимодействия и оно с высокой степенью точности описывается законом (3.3.2). Степень малости определяется квадратом отношения относительной скорости зарядов v к скорости света в вакууме c: если , то закон весьма точен.

Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаимодействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопических, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий. Поэтому удобно ввести другие, приближенные, законы сил (которые в принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это необходимо для того, чтобы упростить математически задачу настолько, чтобы ее можно было практически решить.

С этой целью вводят, например, следующие силы.

Однородная сила тяжести

,

(3.10)

где т- масса тела, - ускорение силы тяжести.

Реакция опоры со стороны твердого тела на находящуюся на нем частитцу. Следует заметить, что в отличие от силы тяжести, вес (если частица покоится на горизонтальной плоскости) - это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес Р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес , где - ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

Упругая сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

,

(3.11)

где -радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; ?.>0 - положительный коэффициент упругости (жесткости), зависящий от "упругих" свойств той или иной конкретной силы. Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука величина этой силы определяется как величина растяжении (сжатии) пружины или стержня при упругой деформации.

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела,

,

(3.12)

где - относительная скорость поверхностей тел, - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости); - величина силы нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Эту силой обычно называют силой сухого трения. Формула (3.3.5) является упрощенным выражением экспериментального закона Кулона-Амонтона. Сила направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости, называемая также силой вязкого трения. Эта сила зависит от скорости тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору :

(3.13)

где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным.