Сложение гармонических колебаний(аналитически,графически)

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

X₁= A₁ cos( )

X₂= A₂ cos( )

Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет : x = X₁ +x₂= Acos( ).

Графический метод. Сложение сводится к суммированию ординат в каждый момент времени (чем больше точек, тем точнее)

Механические гармонические колебания.

Пусть материальная точка осуществляет прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х вокруг положения равновесия, которое принято за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t определяется уравнением:

X= Acos( )

Кинетическая энергия материальной точки, которая совершает прямолинейные гармонические колебания: T=

Потенциальная энергия материальной точки, которая совершает гармонические колебания под действием упругой силы F, будет равна: Р=

Дифференциальное уравнение гармонического колебания. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, , описываемые уравнением вида .Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур

.(где s = A cos(ω0t+φ)).

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника: mx=-kx.

T=2П .

Математический маятник.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

J=ml² ,где l — длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

Т=2П . Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Физический маятник.

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела. Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде Р=-mglsinα. Ft= –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 и периодом: Т=2П ,где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.