Визначення моменту інерції махового колеса

Теоретичні відомості

Момент інерції I характеризує інертність тіла при обертальному русі, тобто здатність тіла реагувати визначеним кутовим прискоренням b на діючий момент сили М.

Основне рівняння динаміки обертального руху

М=Iβ, (1)

де М – момент сили, що дорівнює добутку сили на плече, тобто найкоротша відстань від осі обертання до напрямку дії сили.

Момент інерції матеріальної точки щодо якої-небудь осі обертання

, (2)

де m – маса матеріальної точки, r - відстань матеріальної точки від осі обертання.

Момент інерції твердого тіла щодо якої-небудь осі обертання дорівнює

, (3)

тобто сумарному моменту інерції всіх матеріальних точок, і залежить від розподілу маси щодо осі обертання (рис.1):

Рис. 1

, (4)

де αV – елемент об’єму, ρ – щільність тіла.

У табл. 1 наведені моменти інерції деяких тіл (m – маса тіла).

Таблиця 1

Тіло	Проходження осі	Момент інерції
Диск чи циліндр (радіусу r)	Через вісь циліндра	I= m r2/2
Куля (радіусу r)	Через центр ваги	I = 2/5 mr2
Однорідний тонкий стрижень (довжиною l)	Через центр ваги перпендикулярно його довжині	I = 1/12 ml2
Через кінець стрижня перпендикулярно його довжині	I = 1/3 ml2

У табл. 2 наведена блок-схема основних закономірностей для поступального й обертального руху тіла.

Таблиця 2

Поступальний рух	Обертальний рух
Маса m Швидкість , Кількість руху, чи імпульс тіла Сила Кінетична енергія Основне рівняння динаміки поступального руху Закон збереження кількості руху F = 0,	Момент інерції I Кутова швидкість w Момент кількості руху, чи момент імпульсу тіла Момент сили Кінетична енергія Основне рівняння динаміки обертального руху Закон збереження моменту кількості руху М = 0

Опис установки

Прилад складається з махового колеса, насадженого на вал, і відлікової лінійки (рис. 2).

Експериментальна установка складається із махового колеса 4, яке закріплене на валу 2. До валу прив’язана нитка 1, яка закріплюється на кронштейні 5. На вал намотується нитка, вал піднімається і фіксується у верхньому положенні електромагнітом 6. Коли натиснути кнопку “Пуск”махове колесо починає рухатись, а на табло іде відлік часу. Як тільки махове колесо перетинає світловий промінь фотодатчика 7 електронний секундомір зупиняється і на табло висвітлюється час руху махового колеса. Якщо в результаті руху до повного розмотування шнура вантаж проходить відстань h₁, то це означає, що в початковий момент руху система мала потенційну енергію.

(5)

Потенційна енергія витрачається на подолання сили тертя і збільшення кінетичної енергії системи

, (6)

де - кінетична енергія поступального руху вантажу в нижній точці шляху;

- кінетична енергія обертального руху махового колеса в момент, коли вантаж знаходиться в нижній точці;

F_тр.h₁ – робота з подолання сили тертя.

Силу тертя можна визначити, якщо прийняти, що, обертаючись за інерцією, махове колесо піднімає вантаж m на висоту h₂ < h₁.

При цьому потенційна енергія системи дорівнює

. (7)

Втрата потенційної енергії системи буде дорівнює роботі, витраченої на подолання сили тертя:

. (8)

Із формули (8)

. (9)

Підставивши формулу (9) у формулу (8), визначимо момент інерції махового колеса:

,

,

(10)

Швидкість вантажу в нижній точці визначаємо за формулою

, (11)

, (12)

де t – час опускання вантажу.

Кутова швидкість вала , (13)

де r – радіус вала.

Підставимо формулу (12) у формулу (13):

, (14)

де d – діаметр вала.

Підставивши формули (12) і (14) у формулу (10), одержимо:

=

(15)

.

Порядок виконання роботи

1. Вимірити штангенциркулем діаметр вала d.

2. Відзначити за шкалою найнижче положення вантажу (m)l₂.

3. Намотати шнур на вал і відзначити за шкалою найвище положення вантажу l (при цьому маховик повинен закріпитися на магніті) .

4. При верхньому положенні вантажу l₁ відпустити маховик і включити секундомір натисканням клавіші «пуск». Коли шнур розмотається і вантаж буде в нижньому положенні l₂, за секундоміром визначити час опускання вантажу t .

5. Записати нове положення вантажу l₃, коли він піднімається, .

6. Вимір повторити три рази і дані вимірів записати в табл. 3.

7. За формулою (15) підрахувати момент інерції махового колеса.

8. Абсолютна похибка виміру .

9. Середньоквадратична похибка .

10. Довірчий інтервал вимірюваної величини , де t_p,n – коефіцієнт Стьюдента (див. додаток) , Р =0,95, n – число вимірів.

11. Відносна похибка вимірів .

12. Остаточне значення моменту інерції махового колеса при р=0,95.

Таблиця 3

№

d, м

m, кг

L1, м

L2, м

h1, м

l3, м

h2, м

t, c

I, кг∙м2

Icp, кг∙м2

∆Ii, кг∙м2

(∆Ii)2, кг∙м2

S(I), кг∙м2

εI, кг∙м2

I, кг∙м

s, %

Icp εI при р=0,95

Контрольні запитання

1. Що таке момент інерції? Чому він дорівнює для матеріальної точки і твердого тіла? У яких одиницях виміряється?

2. Сформулювати закон збереження кількості руху.

3. Сформулювати закон збереження моменту кількості руху.

4. Сформулювати закон збереження енергії. Чому дорівнює сила тертя, якщо вантаж повертається в початкове положення, тобто h₁ = h₂.

Лабораторна робота № 3