Вимушені коливання точки в середовищі без опору руху

Вимушеними називаються коливання точки під дією поновлюючої та збурюючої сили. В навчальних задачах збурююча сила – це сила, що змінюється за часом відповідно гармонічному закону , де – амплітуда збурюючої сили, – її циклічна частота, – фаза збурюючої сили, – її початкове значення. В навчальних задачах може приймати значення 0 або . Якщо , то збурююча сила змінюється за законом синуса – ; якщо ж , то за законом косинуса:

.

Диференціальне рівняння вимушених коливань точки в середовищі без опору після перетворень

буде наступним:

.

Це неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Щоб знайти закон коливального руху точки та проаналізувати цей рух, треба провести процедуру інтегрування вказаного диференціального рівняння при заданих початкових умовах руху точки при :

1) 2)

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння складається із суми двох розв’язків:

, де

– це загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння що має вигляд

– це частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння Тут вигляд розв’язку залежить від вигляду правої частини диференціального рівняння та співвідношення частот і .

Якщо , то де коефіцієнт визначається за формулою

П р и м і т к а. За фізичним змістом абсолютне значення коефіцієнта є амплітудою чисто вимушених коливань:

де – статичне подовження пружини від дїї амплітудного значення збурюючої сили (характеризує вплив на амплітуду чисто вимушених коливань);
– коефіцієнт динамічності (характеризує вплив на амплітуду чисто вимушених коливань співвідношення частот і ).

Якщо ж – випадок резонансу, то де коефіцієнт обчислюється за формулою

П р и м і т к а. За фізичним змістом абсолютне значення добутку є амплітудою чисто вимушених коливань при резонансі, яка необмежено зростає пропорційно часу:

Тоді в перелічених двох випадках повні розв’язки диференціального рівняння вимушених коливань точки приймають вигляд:

В цих виразах коефіцієнти і – це сталі інтегрування, які визначаються шляхом підстановки початкових умов в повний розв’язок диференціального рівняння.

Приклад 1.Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд (Н), то амплітудне значення збурюючої сили дорівнює:

1) 12 Н; 2) 2 H;

3) 3 H; 4) 6 H.

Розв'язання. Відповідно диференціальному рівнянню вимушених коливань точки у даному випадку збурюючою силою є сила (Н); тоді амплітудне значення збурюючої сили дорівнює 2 Н.

Отже, правильною буде відповідь 2).

Приклад 2.Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд , то частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння треба шукати у вигляді:

1) 2)

3) 4) .

Розв'язання. Вигляд частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння залежить від вигляду його правої частини та від співвідношення частот і . В правій частині заданого диференціального рівняння , загальний вид якого знаходиться періодична функція ; з рівняння також випливає, що частота збурюючої сили приймає значення рад/с, а циклічна частота власних коливань точки – рад/с, тобто (резонансу немає). Тоді розв’язок треба шукати у вигляді правої частини диференціального рівняння: .

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 3.Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд , то частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння треба шукати у вигляді:

1) 2)

3) 4)

Розв'язання. Як і в попередньому прикладі 2, загальний вигляд заданого неоднорідного диференційного рівняння буде таким: ; з рівняння випливає, що частота збурюючої сили приймає значення рад/с, тобто і має місце резонанс. Тому розв’язок треба шукати у вигляді .

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд , то при резонансі частота збурюючої сили дорівнює:

1) рад/с; 2) рад/с;

3) рад/с; 4) рад/с.

Розв'язання. Згадуємо, що при резонансі частота збурюючої сили та частота власних коливань точки співпадають. Із заданого рівняння випливає,що частота власних коливань точки рад/с. Тоді при резонансі частота збурюючої сили повинна дорівнювати рад/с.

Отже, правильною буде відповідь 1).

Приклад 5.Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань точки має вигляд , то амплітуда чисто вимушених коливань становить:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Розв’язання. Як і в попередніх прикладах 2 і 3, задане неоднорідне диференціальне рівняння можна представити в такому загальному вигляді , де і приймають такі значення:

рад/с; рад/с, тобто (резонансу немає). Тоді амплітуда чисто вимушених коливань обчислюється за формулою і дорівнює

Отже, правильною буде відповідь 2).

3. Тестові завдання для самопідготовки студентів до комп’ютерного тестування

Завдання 1. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с².

Якщо маса ліфта 400 кг, а його прискорення a=4 м/с², то натяг канату T, за допомогою якого спускається ліфт, дорівнює:

1) T=5600 Н;

2) T=2400 Н;

3) T=3000 Н;

4) T=1600 Н.

x

А

α

α

Завдання 2. Вказати правильну відповідь. Якщо важка точка масою m спускається по негладкій площині, що складає кут з горизонтом, то диференціальне рівняння руху точки в проекціях на вісь x має вигляд:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Завдання 3. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с².

Якщо до нитки довжиною 1 м підвішен вантаж вагою 20 Н, а горизонтальна швидкість внаслідок поштовху дорівнює 2 м/с, то натяг нитки N безпосередньо після поштовху дорівнює:

1) N=14 Н;

2) N=28 Н;

3) N=42 Н;

4) N=32 Н.

Завдання 4. Вказати правильну відповідь.

600

SA

600

Якщо тіло вагою 40 Н спускається по негладкій поверхні, нахиленій під кутом 60^о до горизонту, а коефіцієнт тертя , то робота сили тертя на переміщенні S_A=1 м дорівнює:

1) Дж;

2) Дж;

3) Дж;

4) Дж.

Завдання 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо маса тіла, яке рухається поступально дорівнює 2 кг, а швидкість 5 м/с, то кінетична енергія тіла T становить:

1) T=10 Дж; 2) T=50 Дж;

3) T=25 Дж; 4) T=12,5 Дж

Завдання 6. Вказати правильну відповідь.

Якщо тіло масою 20 кг почало рухатись по горизонтальній площині під дією горизонтальної сталої сили і через 2 с його швидкість набула значення 2 м/с, то величина цієї сили дорівнює:

1) F=5 Н; 2) F=10 Н;

3) F=15 Н; 4) F=20 Н.

Завдання 7. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с².

x

А

Якщо сила ваги тіла А має значення 40 H (P=40 H),сила тяги і сила тертя відповідно становлять 12H і 4H (T=12 H, =4 H),то тіло буде рухатись вздовж осі x з прискоренням:

1) a=2 м/с²; 2) a=4 м/с²;

3) a=6 м/с²; 4) a=8 м/с².

Завдання 8. Вказати правильну відповідь.

А

SA

На заданому переміщенні S_A від’ємну роботу ( <0) виконує:

1) сила ; 3) сила ;

2) сила ; 4) сила .

φ1

“1”

“0”

Завдання 9. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с². Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр

Якщо тягарець А масою m, який прикріплено до невагомого стержня довжиною ОА=1 м, починає рухатись у вертикальній площині із положеня “0” з початковою швидкістю V₀=2 м/с, то при значенні кута φ₁=120º його швидкість в положенні “1” буде такою:

1) 5,83 м/с; 2) 4,05 м/с;

3) 6,2 м/с; 4) 10,2 м/с.

Завдання 10. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с². Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

„0”

R

„1”

φ1

Якщо візок масою m=100 кгз’їжджає з вершини сферичного куполу радіуса R=4 мі проходить положення “1”зі швидкістю V₁=1,2 м/с, то реакція поверхні в цьому положенні при значенні кута φ₁=45^о буде наступною (за абсолютною величиною):

1) =285 Н; 2) =671 Н;

3) =522 Н;4) =493 Н.

Завдання 11. Вказати правильну відповідь. Прискорення вільного падіння g прийняти рівним 9,8 м/с².

Якщо тіло масою 1 кг підвісили до кінця вертикальної пружини с коефіцієнтом пружності 100 Н/м, а в початковий момент часу пружина була розтягнута на 4 см і тіло відпустили без початкової швидкості, то амплітуда a вільних коливань дорівнює:

1) a=0,078 м; 2) a=0,098 м; 3) a=0,058 м; 4) a=0,048 м.

Завдання 12. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння коливань тіла має вигляд , а коефіцієнт пружності пружини с=150 Н/м, то маса тіла m дорівнює:

1) m=6 кг; 2) m=30 кг; 3) m=5 кг; 4) m=25 кг.

Завдання 13. Вказати правильну відповідь.

Якщо закон коливального руху матеріальної точки має вигляд (см), то амплітуда коливань a в см дорівнює:

1) 3 см; 2) 4 см; 3) 5 см; 4) 7 см.

Завдання 14. Вказати правильну відповідь.

Якщо тіло масою кг, що підвішено до вертикальної пружини, виконує вільні коливання з амплітудою м і коливання почались із положення статичної рівноваги з початковою швидкістю м/с, то жорсткість пружини дорівнює:

1) 64 Н/м; 2) 48 Н/м; 3) 76 Н/м.

Завдання 15. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань тіла має вигляд , то амплітуда чисто вимушених коливань дорівнює:

1) 1 м; 2) 0,5 м; 3) м; 4) м

Завдання 16. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань тіла має вигляд , то при резонансі частота збурюючої сили дорівнює:

1) 16 рад/с; 2) 32 рад/с; 3) 4 рад/с; 4) 20 рад/с.

Завдання 17. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вимушених коливань тіла має вигляд , то його частинний розв’язок треба шукати у вигляді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Завдання 18. Вказати правильну відповідь.

Якщо тіло масою кг виконує вільні вертикальні коливання на пружині жорсткістю 100 Н/м з амплітудою м і коливання почались із положення статичної рівноваги, то початкова швидкість тіла становить:

1) 0,316 м/с; 2) 0,421 м/с; 3) 0,212 м/с.

Завдання 19. Вказати правильну відповідь.

Якщо диференціальне рівняння вертикальних коливань тіла має вигляд і максимальне значення збурюючої сили 96 Н, то коефіцієнт жорсткості пружини становить:

1) 128 Н/м; 2) 422 Н/м; 3) 296 Н/м.

Завдання 20. Вказати правильну відповідь:

Якщо диференціальне рівняння коливального руху точки має вигляд , то коефіцієнт динамічності становить:

1) 0,248; 2) 0,333; 3) 0,433.

4. Відповіді до тестових завдань

Завдання 1 – відповідь: 2). Завдання 2 – відповідь: 2). Завдання 3 – відповідь: 2). Завдання 4 – відповідь: 4). Завдання 5 – відповідь: 3). Завдання 6 – відповідь: 4). Завдання 7 – відповідь: 1). Завдання 8 – відповідь: 4). Завдання 9 – відповідь: 1). Завдання 10 – відповідь: 2).

Завдання 11 – відповідь: 3). Завдання 12 – відповідь: 1). Завдання 13 – відповідь: 3). Завдання 14 – відповідь: 1). Завдання 15 – відповідь: 4). Завдання 16 – відповідь: 3). Завдання 17 – відповідь: 3). Завдання 18 – відповідь: 1). Завдання 19 – відповідь: 1). Завдання 20 – відповідь: 2).

Бібліографічний список.

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М.: Высш. шк., 1986. – 456 с.

2. Манашкін Л.А. Теоретична механіка. Конспект лекцій: у 3 ч. / Л.А. Манашкін, М.Л. Коротенко, В.С. Буров, Л.Г. Маслєєва, В.А. Татарінова, О.Л. Янгулова, В.В. Колбун. – Д., 1998. – Ч.3. Динаміка. – 80с.

3. Векерик, В.І. Теоретична механіка / В.І.Векерик. – І.-Ф., 2006. – 459 с.

4. Павловський М.А. Теоретична механіка / М.А. Павловський. – К.: Техніка, 2002. – 512 с.

Зміст

ВСТУП.. 3

1. Теоретичні питання. 3

2. Приклади розв’язання тестових завдань. 5

2.1. Основні рівняння динаміки точки. Перша задача динаміки точки. 5

2.2. Друга (зворотна) задача динаміки точки. 10

2.3. Коливальний рух матеріальної точки. 21

2.3.1. Вільні коливання точки в середовищі без опору руху 21

2.3.2. Вимушені коливання точки в середовищі без опору руху 26

3. Тестові завдання для самопідготовки студентів до комп’ютерного тестування. 29

4. Відповіді до тестових завдань. 33

Бібліографічний список. 33

Зміст. 33

Навчальне видання

МаслєєваЛюдмила Григорівна

Татарінова Валентина Анатоліївна

Янгулова Ольга Леонідівна

Недужа Лариса Олександрівна

Ахметова Олена Іванівна

теоретична механіка

РОЗДІЛи «динаміка ТОЧКИ»

Методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів
до тестового контролю

Редактор О. О. Котова

Комп’ютерна верстка Т. В. Шевченко

Формат 60х84 1/16. Ум. друк. арк. 2,44. Обл.-вид. арк. 2,61.
Тираж 300 пр. Зам. № ___.

Видавництво Дніпропетровського національного університету
залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

Свідоцтво суб’єкта видавничої діяльності ДК № 1315 від 31.03.2003

Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії:
вул. Лазаряна, 2; Дніпропетровськ, 49010, www.diitrvv.dp.ua