Статистическая обработка результатов эксперимента

Физические измерения

В данной работе рассматривается классификация экспериментов и погрешностей, а также простейшие методы математической обработки результатов наблюдений.

Физическая величина – характеристика особенности физического объекта или явления, которая отображает его свойство, состояние или происходящий в нем процесс. Физические величины имеют количественное и качественное содержание.

Измерение – экспериментальное определение количественного значения физической величины с помощью специально предназначенных для этого технических средств. Измерение включает в себя наблюдение и математические операции для определения результата измерений.

Измерения подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины является показанием какого-либо прибора, например: длина – на шкале линейки, температура – на термометре, напряжение – на вольтметре и т.п.

Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение получают вычислением на основании ее зависимостей от величин, измеряемых прямо, т.е. по формулам (ускорение, энергия и т.п.)

Количественно измерения подразделяются на одно- и многократные.

К однократным отнесем измерения, не только проводимые один раз, но и те значения физических величин, которые мы сами задаем в экспериментах, например, высоту, с которой опускаем груз, массу этого груза и т.п.

При многократных измерениях эксперименты повторяются несколько раз при одинаковых исходных состояниях (независимые наблюдения).

Погрешности физических измерений

В процессе измерений всегда присутствуют погрешности, т.е. отклонения результата наблюдения физической величины х от ее истинного значения х_ист.. Абсолютные погрешности Δх выражаются в единицах измеряемой величины и равны

Δх = х – х_ист., (1.1)

а относительные – в процентах:

. (1.2)

Невозможно определить истинное значение измеряемой величины даже в результате большого числа измерений, но можно дать истинному значению оценку, то есть указать его наиболее вероятное значение и указать погрешность измерений. Указание погрешности позволяет вычислить вероятность того, что истинное значение измеряемой величины окажется в том или ином интервале значений.

Погрешности подразделяют на три типа.

Систематическая погрешность при повторении одинаковых наблюдений остается постоянной или изменяется закономерным образом. Если природа и значение ее известны, такая погрешность может быть исключена из конечного результата введением соответствующей поправки (например, учет сдвига нуля шкалы прибора). Главной особенностью систематических погрешностей является возможность их оценки до проведения измерений.

Случайная погрешность проявляется в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений вследствие беспорядочных воздействий весьма большого числа случайных факторов. Очевидно, что оценить величину случайной погрешности до проведения измерений невозможно.

Промах возникает в результате небрежности или ослабления внимания экспериментатора. Промахи легко выявить, поскольку соответствующие результаты заметно отличаются от остальных, например: не в том месте поставлена десятичная запятая при записи числа. Промахи должны быть исключены из ряда наблюдений.

Оценка величины систематической погрешности

Систематические погрешности являются следствием несовершенства приборов, а также недостатков методики измерения. В связи с этим рассматривают инструментальные погрешности, которые связаны с конструкцией измерительного прибора.

Одна из них своим происхождением имеет точность нанесения делений шкалы. В условиях лабораторного практикума эта погрешность всегда существенно меньше других, и в дальнейшем мы ее учитывать не будем.

Другой тип погрешности связан с принципом действия прибора и выражается в виде приведенной погрешности (класса точности). Классом точности называют относительную погрешность, приведенную к пределу измерений х_пр.:

. (1.3)

Класс точности принимает значения 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Обычно ими характеризуются электроизмерительные приборы. Абсолютная погрешность таких приборов постоянна по всей шкале для выбранного предела измерений, ее можно определить по формуле (1.3).

Очень часто при измерениях возникает необходимость оценки долей наименьшего деления шкалы. В некоторых приборах (штангенциркуль, микрометр) для этой цели предусмотрены специальные дополнительные шкалы, называемые нониусами. На тех приборах, где нониусов нет, в связи с приближенной оценкой доли наименьшего деления возникает погрешность отсчета. Для обычных шкал эту погрешность принимают равной половине цены деления прибора С, т.е. . Например: для линейки с миллиметровыми делениями Δх_отсч.= 0,5 мм, а с сантиметровыми – 0,5 см. Если шкала прибора зеркальная, то погрешность отсчета берут равной С/5. Погрешность микрометра и штангенциркуля указана на этих приборах.

При использовании цифровых приборов за погрешность отсчета принимают единицу младшего разряда. Для лабораторных секундомеров это, как правило, 0,01 или 0,001 с.

Погрешность отсчета берется в качестве систематической ошибки в том случае, если нет других данных о погрешности прибора, например, нет информации о классе точности.

Величина сдвига нуля шкалы обычно определяется в начале наблюдений и сразу проводится коррекция результатов.

Погрешность метода измерений – это самая сложная по своей природе систематическая погрешность. В механике главной причиной таких погрешностей являются силы трения различного вида, в электричестве – это неучитываемые падения напряжений на внутренних сопротивлениях приборов, контактов и подводящих проводов и т.п. Существование этой погрешности выявляется обычно при несовпадении теоретически рассчитанных и измеренных величин с учетом всех других погрешностей. Это происходит, как правило, при достаточно высокой точности измерений.

Оценка погрешности при прямых однократных измерениях

При этом типе измерений мы будем оценивать только систематическую погрешность, связанную с видом применяемых приборов. Это либо приведенная погрешность, либо погрешность отсчета. Следовательно, необходимо знать либо класс точности прибора, либо цену деления шкалы измерительного прибора.

Погрешность табличных величин, если она не оговорена в справочнике, берется равной 5 единицам в разряде, следующем за младшим. Например, если значение g берется равным 9,8 м/с², то Δg=0,05 м/c². Если же взять величину g равной 9,81 м/с², то Δg=0,005 м/с².

К погрешности табличной величины сведется и погрешность измерения массы, т.к. она определена по эталонным грузам (как правило, выгравирована на используемых грузах и перегрузках).

Отметим, что при записи значений измеряемых величин нули справа указывают на точность измерений. Например, такая запись длины L = 1,00 м предполагает погрешность ΔL = 0,005 м, а при записи L = 1 м подразумевается ΔL = 0,5 м. Аналогично запись значений масс в виде m=100 г и m=0,1 кг неэквивалентна с точки зрения точности. Правильная запись m = 100 г = 0,100 кг. Еще один пример: если х = 1,26∙10³, то погрешность Δх = 0,005×10³ = 5, а при записи х = 1260 получим погрешность Δх = 0,5, т.е. в десять раз меньше.

Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения Гаусса.

Смысл закона Гаусса заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть х_о. Проведя несколько раз измерения, вместо х_о получаем набор значений х₁, х₂,… х_i,… x_n. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение х_о, но можем найти, с какой вероятностью Р величина х_о окажется в любом интервале значений а<x_o<b. Область значений а<x_o<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)

и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx – малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, áxñ – их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

.(1.7)

Рис. 1.1

Как видно из рис.1.1, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины áxñ и шириной 2σ – расстоянием между точками перегиба. Значение áxñ обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что áxñ – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой áxñ не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 2σ – 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал S_áxñ, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.

Стандартный доверительный интервал, или среднеквадратичная погрешность среднего, согласно выводам математической статистики убывает пропорционально и определяется формулой

. (1.8)

Таблица 1.1

Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)

N	P
0,5	0,7	0,9	0,95	0,999
	0,82	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,74	1,2	2,1	2,8	8,6
	0,72	1,1	1,9	2,4	6,0
	0,70	1,1	1,8	2,3	4,8
	0,69	1,1	1,7	2,1	3,9
	0,67	1,0	1,6	2,0	3,3

Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента:

Δх_сл.= t (P,n) ^. S_áxñ. (1.9)

Оценка погрешности при прямых многократных измерениях

Ошибка при этих измерениях складывается из случайной и систематической погрешностей. Выполнив n измерений и записав их результаты в табл.1.2, вычисляют по формуле (1.6) среднее арифметическое значение измеряемой величины. Затем по формуле (1.8) вычисляют стандартный доверительный интервал, находят по табл.1.1 коэффициент Стьюдента в зависимости от требуемой надежности (вероятности) и числа измерений и по формуле (1.9) вычисляют величину случайной погрешности.

Поскольку величину случайной погрешности в некоторой степени регулирует сам экспериментатор, то возникает вопрос, до каких же пределов имеет смысл уменьшать величину этой погрешности? Напомним, что при любых измерениях присутствует систематическая погрешность, связанная с ограниченной точностью используемых приборов. Поэтому оптимальной методике многократных измерений соответствует такая, при которой величина случайной ошибки Δх_сл. не превышает величины систематической Δх_сист. Этот критерий служит для оценки максимально разумного числа наблюдений N. Дальнейшее повышение точности измерений должно происходить за счет применения более точных приборов.

Полная погрешность при многократных измерениях определяется по формуле

. (1.10)

Если одна из компонент Δх_сл. или Δх_сист. в два и более раза превышает другую, то меньшей пренебрегают. Причина этого в том, что случайная погрешность при малом числе измерений (N<15) по формуле (1.9) определяется приближенно. Погрешность этого приближения составляет порядка 30%. Такая погрешность величины Δх позволяет говорить только об оценке величины погрешности, а при записи значения использовать округление. Если первая значащая цифра равна 1, то округляют до двух значащих цифр, например: Δх=0,013. Если первая значащая цифра больше или равна 2, то округляют до одной (первой) значащей цифры, например: Δх=0,35789 0,4 или Δх=0,035789 0,04.

Результат измерений (среднее значение áxñ) также округляется до разряда последней значащей цифры в уже округленной погрешности. Например, при Δх=0,4 имеем áxñ=1,2578 1,3. Окончательный результат измерений записывается в виде

Х = áxñ Δx =1,3 0,4 (размерность измеряемой величины).

Оценка погрешности косвенных измерений

Результат косвенных измерений вычисляется по расчетной формуле, куда обычно входят как табличные величины, так и величины, полученные при прямых измерениях. Каждая из них имеет свою погрешность, а задача состоит в том, чтобы учесть их влияние на погрешность конечного результата.

Существуют математические приемы, с помощью которых из расчетной формулы выводится функция для вычисления погрешности косвенных измерений. Эти приемы различны в зависимости от вида расчетной формулы, которая может содержать либо только сомножители, либо еще и слагаемые. Чтобы эти действия были более наглядны, возьмем в качестве примера формулу для определения ускорения, а при равноускоренном движении без начальной скорости, которая содержит только сомножители,

, (1.11)

где S – путь, t – соответствующее время.

1. Логарифмируем расчетную формулу:

.

2. Берем дифференциал от левой и правой части. Напомним, что дифференциал какой-либо величины y – это ее изменение dy при бесконечно малом изменении аргумента dx, а производная некоторой функции – это отношение дифференциалов функции и аргумента, т.е. . Отсюда следует, что дифференциал функции равен . Кроме того, производная от функции равна , а дифференциал суммы равен сумме дифференциалов. В результате дифференцирования получаем:

. (1.12)

3. Заменяем дифференциалы величин на соответствующие абсолютные погрешности, а также все знаки «минус» меняем на знак «плюс», т.е. относительные погрешности только складываются:

. (1.13)

Обычно путь S является однократным измерением (задается самим экспериментатором), а соответствующее время t измеряется несколько раз. Погрешность Δt вычисляется по формуле (1.10), а в знаменатель (1.13) подставляется среднее время átñ. Получим среднее значение ускорения áañ, подставив в формулу (1.11) среднее время átñ и соответствующий ему путь S. Максимальная абсолютная погрешность ускорения определяется из (1.13):

. (1.14)

Формула (1.14) указывает на оптимальную методику проведения измерений, т.е. на достижение максимальной точности определения ускорения. Для этого время надо измерять точнее, чем путь, так как отно-сительная погрешность времени входит в формулу (1.14) с коэффициентом2.

Если расчетная формула содержит как сомножители, так и слагаемые, то вычисляется сначала максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения. Используем в качестве примера формулу для измерения потенциальной энергии шарика массой m, падающего с высоты Н₁ до отметки Н₂:

W = mg (H₁ – H₂), (1.15)

где g – ускорение свободного падения.

Для получения формулы вычисления ошибки измерений проделаем следующие операции:

1. Возьмем дифференциал от расчетной формулы:

dW = g (H₁ – H₂) dm + m (H₁ – H₂) dg + mg (dH₁ – dH₂). (1.16)

2. Заменим дифференциалы на соответствующие абсолютные погрешности, а также знаки «минус» между дифференциалами на знаки «плюс». Получаем:

ΔW = g (H₁ – H₂)Δm + m (H₁ – H₂)Δg + mg (ΔH₁ +ΔH₂). (1.17)

3. Делим левую и правую части на расчетную формулу. Поделим выражение (1.17) на (1.15), получим относительную погрешность измерения:

. (1.18)

Из формулы (1.15) следует, что с максимальной точностью следует измерять высоты Н₁ и Н₂, так как относительная погрешность есть результат деления на малую величину разности (Н₁ – Н₂). В этой формуле величины m, Н₁, Н₂ являются результатами однократных измерений, а ускорение свободного падения g – табличной величиной.

1.1. Определение погрешности прямого многократного

измерения времени. (Лабораторная работа 1)

Теория метода и описание прибора

Примером прямых многократных измерений может служить массив измерений времени лабораторным секундомером. Поскольку цена деления секундомера 0,01 с, а реакция человека составляет десятые доли секунды, то при попытках остановить секундомер точно на заданном значении мы получим набор случайно распределенных около этого значения результатов.

Порядок выполнения работы и обработка результатов

измерений

1. Ознакомиться с работой секундомера и подключить его к сети.

2. В качестве тренировки попытаться несколько раз установить на секундомере значение 1,00 с или какое-либо другое, указанное преподавателем.

3. Проделать серию измерений (5 – 7 раз) с целью установления на секундомере указанного значения времени.

4. Записать результаты измерений в табл.1.2.

5. Вычислить среднее значение по формуле (1.6).

6. Найти погрешности отдельных измерений: .

7. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений:

8. Определить среднеквадратичную погрешность среднего по формуле (1.8).

9. Для данного числа измерений и доверительной вероятности найти в табл. 1.1 значение коэффициента Стьюдента .

10. Вычислить случайную погрешность по формуле (1.9).

11. Записать значение систематической погрешности (погрешности прибора) _.

12. Вычислить полную погрешность измерений по формуле (1.10).

13. Оценить относительную погрешность по формуле (1.2).

Таблица 1.2

№

1.2. Определение погрешности косвенного измерения удельного

сопротивления. (Лабораторная работа 2)

Теория метода и описание прибора

В качестве примера косвенных измерений определим удельное сопротивление хромоникелевого провода с помощью прибора ФРМ-01. (Подробное описание этого прибора можно получить у лаборанта).

Удельное сопротивление r найдем путем измерения активного сопротивления R, так как

, (1.19)

где длина провода, площадь поперечного сечения провода.

Отсюда получим:

, (1.20)

где диаметр провода.

Для проведения измерений используем режим точного измерения тока.

Рис. 1.2. Схема измерений в режиме точного измерения тока

В этой схеме показания вольтметра включают в себя падения напряжения как на измеряемом сопротивлении R, так и на внутреннем сопротивлении амперметра

. (1.21)

Отсюда имеем:

. (1.22)

Порядок выполнения работы и обработка результатов

измерений

Для вычисления удельного сопротивления необходимо измерить длину провода l, его диаметр d, а также ток I и соответствующее падение напряженияU_v. Внутреннее сопротивление амперметра задано в паспортных данных прибора ФРМ-01 и равно R_A=0,15 Ом.

Таблица 1.3

		0,15

Рекомендуется следующий порядок действий при проведении измерений.

1. Ознакомиться с описанием прибора ФРМ-01.

2. Установить подвижный кронштейн на отметку 40-45 см, отсчитывая от основания. По шкале на колонне снять отсчет длины . Данные записать в табл. 1.3 в метрах.

3. Диаметр провода измерить микрометром. Данные занести
в табл. 1.3 в миллиметрах.

4. Подключить прибор к сети и нажать клавишу «сеть».

5. Выбрать режим работы переключателем «мост» (клавишу нажать, т.е. режим ).

6. Средним переключателем выбрать измерительную схему (рис.1.2) – режим точного измерения тока. Клавиша должна быть отжата.

7. Потенциометром «рег.тока» установить такое значение тока, чтобы показания вольтметра были не менее 0,9 В.

8. Показания вольтметра и амперметра занести в табл. 1.3, причем ток записать в амперах.

9. Потенциометром установить минимальное значение тока и выключить прибор.

10. По формулам (1.22) и (1.20) рассчитать удельное сопротивление провода . Результат представить в .

11. Сравнить результат с табличным значением .

Вычисление погрешности измерения удельного сопротивления

Поскольку удельное сопротивление r вычисляется по формуле (1.20), состоящей только из сомножителей, то для вывода функции вычисления погрешности можно воспользоваться методикой, аналогичной для формулы (1.11). Эту процедуру предлагаем проделать самостоятельно, используя разобранный пример (1.12) - (1.13). В эту функцию будут входить погрешности измерения сопротивления , длины и диаметра . Из технических данных установки ФРМ-01 следует, что погрешность измерения длины составляет ± 2 мм. Погрешность измерения диаметра будет определяться погрешностью микрометра.

Величина сопротивления вычисляется по формуле (1.22), это результат косвенного измерения. Поскольку формула (1.22) содержит частное и разность, то величина погрешности должна определяться так же, как и для формулы (1.15). Действуя так же, как и при выводе выражений (1.16) – (1.18), получаем:

. (1.23)

Отсюда относительную погрешность сопротивления можно оценить по формуле (полагая ):

. (1.24)

Погрешность внутреннего сопротивления амперметра определяется как погрешность табличных данных, т.е. , .

Погрешности значений тока и напряжения определяются по классу точности приборов, т.е. по формуле (1.3). Для нашего случая оба прибора имеют класс точности К = 1,5, поэтому

,

.

Для значений напряжения и тока в правой половине шкалы приборов относительная погрешность сопротивления не должна превышать 8%.

Определенная нами погрешность измерения удельного сопротивления r будет тем доверительным интервалом, внутри которого около среднего значения r должно находиться истинное значение r_ист.. По результатам измерений необходимо сделать вывод.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цель данной работы.

2. Что такое измерение? На какие виды подразделяются измерения?

3. Что такое погрешности? На какие типы подразделяются погрешности?

4. Какие погрешности называются инструментальными? Что такое класс точности?

5. Как можно оценить погрешности при прямых однократных измерениях?

6. Что такое доверительный интервал?

7. Чему равна верность того, что величина окажется в интервале значений а<х₀<b? Чему равна функция плотности распределения? Что она характеризует?

8. Какой вид имеет гауссова кривая? Какими параметрами она характеризуется? Что определяет площадь под гауссовой кривой?

9. Что определяет и чему равно среднее квадратичное отклонение?

10. Что характеризуют коэффициенты Стьюдента, от чего они зависят?

11. Как вычисляется стандартный доверительных интервал?

12. Как определяется величина случайной погрешности?

13. Как оценивается погрешность при учете систематической и случайной погрешностей?

14. Как вычисляются погрешности при косвенных измерениях?

15. Сделайте выводы по работе.