Визначення напружено-деформованого стану при пластичній деформації

Мета роботи. За викривленням координатної сітки визначити напружено-деформований стан тіла.

Загальні відомості.Розрізняють деформації двох видів - лінійні (подовження або стискування) і кутові (зрушення). Величина малих відносних лінійних деформацій визначається відношенням приросту довжини ребра до вихідної довжини і позначається з індексом, вказуючим напрям осі координат (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Позначення складових деформацій

Величина деформації зрушення визначається кутом між напрямами ребер в початковій стані і після деформації: γ_xy, γ_yz, γ_zx і так далі.

Перший індекс вказує напрям осі, паралельно якою ребро знаходилося у вихідному стані, а другий - вісь, у напрямку до якої обернулося ребро.

Складові деформації можуть бути визначені на підставі вивчення переміщень точок тіла в процесі деформації.

Розглянемо переміщення точок а, b, с, d елементарного прямокутника з ребрами dх і dz в координатній площині xoz (рис. 2.2). Після деформації ці точки займають положення а₁, b₁, с₁, d₁. При цьому переміщення точки а у напрямі осі ох позначимо через u_x, у напрямі осі oz - через u_z. Переміщення точок b, с, d уздовж осей ох і oz будуть декілька відрізнятися від переміщень точки а. Наприклад, переміщення точки с у напрямі осі ox, так само, як і точки а, буде рівне u_x, але, крім того, за рахунок подовження ребра ас крапка c отримає додаткове переміщення

де - інтенсивність зміни переміщень u_x уздовж осі ox.

Рис. 2.2. Схема до визначення компонент зсувів і деформацій

Часто при вивченні деформованого стану усередині тіла зручно користуватися квадратною координатною сіткою. Така сітка наноситься на меридіональний перетин заготівки або головну площину асиметричної заготівки, на яких розтягуючи напруги відсутні або малі.

Досліджувана модель заздалегідь розрізається. На одну з площин наноситься сітка і фотографується. Потім частини заготівки складаються разом і піддаються обробці тиском як цілісне металеве тіло. Після формозмінення модель знову рознімається по фізичному розрізу, а викривлена деформацією сітка фотографується. Показником викривлення площини роз'єму заготівки може служити якісним показником збігу площини розрізу з головною площиною напружений-деформованого стану. На отриманих знімках сітки фіксуються два типа кривих: перший – геометричне місце точок, що розташовувалися до деформації в площині, перпендикулярній осі симетрії (сімейство горизонталей); другий – геометричне місце точок, що розташовувалися до деформації на постійній відстані від осі симетрії (сімейство вертикалей).

Якщо позначити через R і Z – початкові (до деформації) циліндричні координати матеріальної точки тіла, що деформується, а через r і z – відповідні координати тієї ж матеріальної точки в деформованому тілі, то завдання дослідження зведеться до визначення функціональної залежності, що пов'язує поточні координати (змінні Ейлера r і z) з початковими (змінні Лагранжа R і Z). Такий функціональний зв'язок може бути заданий рівністю:

(2.1)

(2.2)

Для випадку кінцевих деформацій можна нехтувати пружною зміною об'єму. Тоді похідні поточних координат з початкових рівнянь (2.1) і (2.2):

(2.3)

будуть зв'язані між собою залежністю

(2.4)

Рис. 2.3. Викривлена деформацією сітка поряд досліджуваної точки М

При обробці викривленої координатної сітки значення часткових похідних поточних координат по початкових можуть бути визначені з достатньою для практики точністю шляхом безпосередніх вимірів параметрів викривленої координатної сітки.

На рис. 2.3 показана викривлена квадратна сітка і точка М, початкові координати якої Z = Z_i і R = R_j. Індекс i – позначає порядковий номер лінії сітки горизонталі, а індекс j – порядковий номер лінії сітки вертикалі. Початок відліку ведеться зазвичай від торцевої поверхні заготівки і від осі симетрії. Значення початкових координат точки М можуть бути визначені шляхом простого відліку числа клітинок сітки від торця заготівки і від осі симетрії.

На кривій Z = Z_i поточні координати (z, r) є функціями лише одного аргументу R і поблизу точки М можуть бути розкладені в ряди по зростаючих мірах різниці (R - R_j). Обмежуючись трьома першими членами, отримаємо:

Враховуючи, що

R_j – R_j-1 = R_j+1 – R_j = δ,

(де δ - вихідна сторона клітинки) отримаємо вирази проекцій вектора М₃М₄ на координатні осі:

(2.5)

Абсолютно аналогічними будуть вирази проекцій вектора М₁М₂:

(2.6)

Проекції векторів, що сполучають точки M_l, М₂ і М₃, M_4, на координатні осі r і z можуть бути визначені як різниці координат цих двох точок (при вимірі від осі).

Позначивши (рис. 2.3): l_R – довжину хорди, що сполучає точки M₁ і М₂; l_Z – довжину хорди, що сполучає точки М₃ і М₄; ψ_R – кут між радіальним напрямом і дотичною до кривої M₁M₂ у точці М; ψ_Z – кут між віссю симетрії і дотичною до кривої М₃M₄ у точці М, праві частини рівнянь (2.5) i (2.6) запишемо у вигляді:

(2.7)

Похідні поточних координат по початкових задовольняють рівнянню наступного вигляду:

(2.8)

де кут γ = ψ_Z + ψ_R є доповненням до прямого кута, що складається позитивним напрямом дотичних і кривих R = const i Z = const у будь-якій точці їх перетину. У фізичному представлені він може бути ототожнений з кутом зрушення.

Якщо права частина рівняння не близька до одиниці, тобто величина кута γ буде більше 0,45 рад, то його можна визначити безпосередньо по формулі:

(2.9)

де угол χ = ψ_Z - ψ_R.

Через рівність (2.1) – (2.3) і (2.5) між частковими похідними, поточних координат по початкових і частковими похідними початкових координат по поточних існують прості залежності:

(2.10)

Підставляючи в праві частини рівності (2.10) їх значення з (2.9), остаточно отримаємо:

(2.11)

Цей метод визначення часткових похідних початкових координат по поточних (рівняння 2.11) або поточних координат по початкових (рівняння 2.9) на підставі безпосередніх вимірів викривленої деформацією сітки досить універсальний і простий. Але не завжди він може бути застосований. Зустрічаються складності при обробці викривленої координатної сітки в зоні осі симетрії. Тому для обробки викривленої сітки в осьовій зоні переважно використовувати метод, аналогічний вищевикладеному, але з обов'язковим коректуванням вихідних даних.

Для визначення величини головних компонентів деформації використовується теорема про перетворення елементарної сфери радіусу ρ₀ у еліпсоїд, півосі якого а/ρ₀, b/ρ₀ i с/ ρ₀ рівні r/R.

Величини півосей а/ρ₀ i b/ρ₀ легко визначити по формулах:

звідки:

(2.12)

Головні компоненти результативної деформації:

(2.13)

Індексація головних компонентів проставляється після визначення їх величин. Для контролю використовується умова постійності об'єму

ε_a + ε_b + ε_c = 0.

Інтенсивність деформованого стану визначається по формулах (2.1).

Для визначення напряму головних осей результативної деформації можна скористатися формулою

(2.14)

де α – кут між віссю симетрії і напрямом першої головної осі результативної деформації.

Таким чином, деформований стан матеріальних часток по всьому перетину заготівки може бути повністю визначений.

При виконанні умов монотонності протікання процесу формозмінення можна по деформованому стану судити про напружене осісиметрично полягання часток або всього тіла в поточній стадії процесу, не лише у разі, коли σ_i постійно за всім обсягом тіла, але і у разі, коли необхідно врахувати зміцнення, змінне що за об’ємом деформується тіла.

Встановимо зв’язок між компонентами напруги і деформації за умови збігу їх головних осей.

Позначимо: σ_а – нормальна напруга на елементарному майданчику, перпендикулярній осі 2а еліпсоїда, на який перетворилася елементарна сфера; σ_в – нормальна напруга на майданчику, перпендикулярній осі 2b; σ_θ = σ_с – нормальна напруга на майданчику, перпендикулярній осі 2с, яка лежить в меридіональній площині перетину. Природно, що σ_а, σ_в I σ_θ – головні компоненти напруги, що діє в околиці даної матеріальної точки М.

При сісиметричному завданні компоненты результативної деформації визначаються, як показано вище, трьома величинами:

1) відношенням r/R – відстані r будь-якої даної матеріальної точки від осі симетрії до вихідної відстані R тієї ж точки від тієї ж осі;

2) відношенням a/b – півосей еліпса в площині меридіонального перетину тіла, що деформується;

3) кутом а, що складається великою віссю еліпса з позитивним напрямом осі симетрії Z.

Перші дві величини сповна визначають три головні компоненти результативної деформації:

ε_a + ε_b + ε_c = 0. (2.15)

Значення інтенсивності результативної деформації визначається формулою

(2.16)

яка може бути приведена до вигляду

Матеріали, інструмент, устаткування.Свинцеві зразки: а) циліндричної форми діаметром 50 мм, висотою 50 і 75 мм; ацетон; наждаковий дрібнозернистий папір; клей; гідравлічний прес або універсальна іспитова машина; нагрівальна піч; сушильна шафа; пристосування для нанесення координатної сітки; циркуль; лінійка; креслилка.

Порядок проведення роботи. Для виявлення нерівномірності деформації при пресуванні на поверхні зразків, підлягаючих склеюванню, завдати координатну сітку у виді окружностей 3...5 мм. Потім поверхні зразків із нанесеною координатною сіткою пошліфувати на плоскій плиті, покритою дрібнозернистим наждаковим папером, і промити ацетоном.

Шліфовані поверхні зразків (обидві половинки) покрити тонким прошарком клею і просушити приблизно 10-15 хв, потім ці поверхні вдруге покрити клеєм і після 2-3-хвилинного просушування обидві половинки склеїти. Для кращого склеювання обидві половинки зразка затиснути струбциною, зразки помістити в сушильну шафу і сушити при температурі 120-140 °С протягом 2-3 годин.

Перед осіданням виконати виміри координат вузлів сітки, вважаючи початком координат крапку 0 - центр перетину, а напрями координатних осей поєднати з осями симетрії так, як показано на рис. 2.4, а. Вузли координатної сітки позначити двома індексами: i - номер вузла по напряму осі ox; j - номер вузла по напряму осі oz. Унаслідок симетрії перетину досить обмежитися вимірами координат вузлів для 1/4 частини перетину.

Рис. 2.4. розташування координатних осей до деформації (а), після деформації (б) і нумерація вузлів даного вічка (в)

Перед осіданням скласти два зразки так, щоб грань з координатною сіткою знаходилася у вертикальній площині симетрії. Осідання виробляти на сухих шорстких бойках з показником деформації 20...40 %.

Після осідання виконати виміри координат вузлів сітки (рис. 2.4, б). Точність вимірів координат при використанні інструментального мікроскопа - 0,1 мм, при використанні штангенциркуля - 0,2 мм, лінійки - 0,5 мм.

Деформовані зразки треба роз'єднати в такий спосіб: помістити їх у ванну з ацетоном, де витримати протягом 1-1,5 год., а потім помістити в нагрівальну піч, де протягом 10-15 хв витримати при температурі 230-260 °С.

Після цих операції зразки легко розділяються. Після розклеювання зразків потрібно пронумерувати всі осередки координатної сітки і підрахувати інтенсивність їхньої деформації.

Головні компоненти деформованого стану і інтенсивність деформації визначають за формулами (2.12), (2.13) та (2.16). Контрольні розрахунки проводять за формулою (2.15). Визначити напрямки головних осей результативної деформації можливо за формулою (2.14). Але до неї входять окрім відомих величин l_R і l_Z ще невизначені кути χ і γ. Кут зсуву γ визначається за формулою (2.8). Кут γ може мати як позитивне, так і негативне значення, тому sin (2α – χ) має бути одного знаку, що і кут γ; cos (2α – χ) має бути одного знаку, що і різниця l_Z² – l_R².

Для визначення значення кута 2α необхідно розрахувати кут χ. З рис.2.3 слідує:

(2.17)

Кут χ розраховують як суму і остаточно отримуємо:

(2.18)

Таким чином, для визначення всіх параметрів деформації, а саме: її головних компонентів, інтенсивності і напрямків головних осей результативної деформації – необхідно провести послідовних розрахунок за формулами (2.12), (2.13), (2.16), (2.8), (2.14), (2.17) і (2.18).

Таблиця 2.1. – Розміри і деформаційні параметри форми зразків

Номер точки	lR	lZ	Rj	ri,j	ri,j+1 – ri,j-1	ri+1,j – ri-1,j

Таблиця 2.2. – Параметри деформаційного стану

Номер точки	εa	εb	εc	εi	γ рад	χ рад	2α рад

Зміст звіту. Замалювати поверхню зразків із координатною сіткою до і після деформації. Визначити інтенсивність деформації в різноманітних зонах пресування у залежності від відношення перетину зразка до його початкової висоти. Заповнити таблиці 2.1. та 2.2. На підставі отриманих даних побудувати графік зміни компонентів деформованого стану за номером точки, а також графік залежності напруженого стану від ступеня деформації. Робота закінчується складанням висновків.

Контрольні питання.

1.Що таке схема напруженого стану? Наведіть можливі

2.Що таке схема деформованого стану? Наведіть можливі.

3.Засоби зменшення неоднорідності деформації.

4.Вплив неоднорідності деформації на якість металу.

5. Причини утворення різноманітних зон тертя на контактній поверхні.

Література. [1], |2], [4].

Лабораторна робота №3